геометрическая прогрессия. разработка уроков
план-конспект занятия на тему

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
(5 ч)

У р о к  1

Цели: ввести понятие геометрической прогрессии; вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии; развивать логическое мышление учащихся и вычислительные навыки.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

В а р и а н т  I

1. Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

2. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии –16; –13; …

В а р и а н т  II

1. Выведите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

2. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии.

II. Объяснение нового материала.

1. Сформулировать определение геометрической прогрессии. Знаменатель геометрической прогрессии

 при bn ≠ 0, q ≠ 0.

2. Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (bn), заданная рекуррентно соотношениями

b1 = b, bn = bn – 1 ⋅ q 

(n = 2; 3; 4; …)

b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0.

3. Рассмотреть решение примеров 1–5 по учебнику на с. 157. Геометрическая прогрессия является  возрастающей  последовательностью,  если
b1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).

4. Обозначение геометрической прогрессии  b1, b2, b3, …, bn, …

5. Решить устно № 17.1 (а; в) и № 17.2.

6. Решить устно № 17.4 (б; в) и № 17.6 (а; в).

7. Вывод формулы n-го члена геометрической прогрессии

bn = b1 ⋅ qn – 1.

8. Разобрать решение примеров 1–5 на с. 159–160 учебника.

9. Геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию у = mqх, заданную на множестве N натуральных чисел.

На рис. 127а и рис. 127б изображены графики геометрической прогрессии у = 2х и  где х N.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 17.8 (в; г) с комментированием на месте.

в)

г)  q = 3,5.

2. Решить № 17.12 (в; б) на доске и в тетрадях.

в) q = b3 : b2 =   b1 = b2 : q =

б) q = b5 : b4 =  b4 = b1 ⋅ q3, отсюда

b1 = b4 : q3 = 1 :  = –8; b1 = –8.

О т в е т: б) –8; –0,5; в) 3; 0,5.

3. Решить № 17.13 (б; г). Учащиеся решают самостоятельно на доске и в тетрадях. Учитель при необходимости помогает в решении.

б)

г)

О т в е т: б)  г)

4. Решить № 17.15 (в; г). Решение объясняет учитель.

в)  bn = b1 ⋅ qn – 1; тогда  отсюда  значит,

г)  найдем q из равенства

 умножим обе части на  получим

21 – n = qn – 1;  отсюда

О т в е т: в)  г)

5. Решить. Учитель помогает в решении, если учащиеся затрудняются решить самостоятельно.

a)   А = –1250;  найдем  номер  n:  –1250 =  отсюда
 = 625 = 54, значит,  n = 8 N.

О т в е т: да.

в)  отсюда

О т в е т: нет.

IV. Итог урока.

Домашнее задание: изучить материал учебника на с. 156–161; решить № 17.8 (а; б); № 17.12 (а; г); 17.13 (а; в); № 17.15 (а; б).

У р о к  2

Цели: закрепить знание формулы n-го члена геометрической прогрессии в ходе решения задач; способствовать выработке навыков и умений решения систем уравнений.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

2. Приведите примеры геометрической прогрессии.

3. Решить устно № 17.1 (б; г), № 17.3, № 17.4 (а; г).

4. Записать на доске формулу n-го члена геометрической прогрессии.

5. Решите устно:

а) зная первые два члена геометрической прогрессии 1,6; 0,8; …, найдите следующие за ними четыре числа;

б) в геометрической прогрессии (bn) известны b1 = 3,2 и q = 2; найдите b2, b3, b4.

II. Выполнение упражнений и решение задач.

1. Решить № 17.13 (в; г) с комментированием на месте.

в) b1 = 2,5; q = –0,2; bn = b1qn – 1 = 2,5 ⋅ (–0,2)n – 1;

г)

2. Решить № 17.14 (в; г).

в) 4; 1;  … b1 = 4; b2 = 1; q = b2 : b1 =  bn = 4

г) ; 2; ; b2 = 2; ; q = b3 : b2 = ;

3. Решить № 17.9 устно.

4. Решить № 17.10 (б; г) самостоятельно с проверкой.

б) b1 = 270; ; b5 = b1 ⋅ q4 = ;

г) b1 =  b8 = b1 ⋅ q7 =

5. Решить № 17.21 (в; г). Решение объясняет учитель.

в) bn = b1 ⋅ qn – 1; по условию bn = 4 ⋅ 10–3, тогда

 отсюда

(0,2)n – 1 = (0,2)4; n – 1 = 4; n = 5.

г) bn = –2401;

(–7)n – 1 = (–7)7; n – 1 = 7; n = 8.

О т в е т: в) 5; г) 8.

6. Решить № 17.22 (в; г) на доске и в тетрадях.

Решение № 17.22 (в) объясняет учитель.

в)  Найти b1 и q.

Разделим почленно второе уравнение на первое уравнение, получим:

г) b3 = 12; b5 = 48 (q < 0). Найти b1 и q.

По условию q < 0, значит, q = –2; b1 = 12 : 4 = 3.

О т в е т: в) –0,5; 13; г) –2; 3.

7. Решить задачу № 17.42.

Дано: b1 = 4; b3 + b5 = 80. Найти q и b10 (q • 1).

b3 + b5 = 80;   b1 ⋅ q2 + b1 ⋅ q4 = 80;   b1(q2 + q4) = 80;   4 ⋅ (q2 + q4)  =  80;
q2 + q4 = 20; q4 + q2 – 20 = 0; q2 = y; y2 + y – 20 = 0; y1 = –5; y2 = 4; то q2 =
= –5 нет решений; q2 = 4; q1 = 2 и q2 = –2 не удовлетворяет условию q > 1.

Если q = 2, то b10 = b1 ⋅ q9 = 4 ⋅ 29 = 4 ⋅ 512 = 2048.

О т в е т: q = 2; b10 = 2048.

8. Решить № 17.44. Учитель помогает в решении задачи.

О т в е т: b1 = 72; q =

9. Решить № 17.45 на доске и в тетрадях.

Делим второе уравнение на первое уравнение, получим

 q3 = 8; q = 2.

b1 = 14 : (1 + 2 + 22) = 14 : 7 = 2;  b1 = 2;  b2 = 4;  b3 = 8;  b4 = 16;  b5 = 32;
b6 = 64.

О т в е т: 2; 4; 8; 16; 32; 64.

III. Итог урока.

Домашнее задание:  на  отдельных листочках выполнить номера с 4 по  7  из  домашней  контрольной  работы,  № 4  на  с. 118–119  на  два  варианта,  к  ним  еще решить по 2 вариантам № 17.14 (а; б), № 17.21 (а; б) и № 17.22 (а; б).

У р о к  3

Цели: вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии; вырабатывать навыки нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Собрать листочки с домашней контрольной работой.

2. Сообщение учащимися исторического материала.

1) Доклад «О прогрессиях».

2) Пересказ древней индийской легенды об изобретателе шахмат.

II. Объяснение нового материала.

1. Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.

(I)   при q ≠ 1;         (II)   при q ≠ 1.

2. Разобрать решение примера 8 на с. 162–164 учебника.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 17.25 (г) (объясняет решение учитель).

г) b1 = 4; q =  n = 4;

2. Самостоятельно решить № 17.25 (б).

3. Решить № 17.27 (в; г) на доске и в тетрадях.

в) b1 = –4; q =  n = 13;

г) b1 = 4,5;  n = 8;

4. Решить № 17.47 (в). Решение объясняет учитель.

в)  n = 6. Найти сумму квадратов ее членов. Воспользуемся формулой  на с. 165 учебника.

О т в е т: 364.

5. Решить № 17.28 (в; г) на доске и в тетрадях.

в) –3;  … Найти S5.

b1 = –3; b2 =  n = 5.

г) … q = 3;  n = 5, тогда

О т в е т: а)  г)

6. Решить № 17.39 (г). Учитель объясняет решение.

г) b1 = 3;  Найти n.

 отсюда n = 5.

О т в е т: 5.

7. Решить задачу № 17.50∙.

Дана характеристическая прогрессия b1;  b2;  b3;  b4;  …  b2n – 1;  b2n. Обозначим  S  сумму членов прогрессии,  находящихся на четных местах:
S = b2 + b4 + … + b2n.

Имеем S = b1q + b1q3 + … b1q2n – 1 = b1q(1 + q2 + … + q2n – 2).

Обозначим  Р  сумму  членов  прогрессии,  находящихся  на  нечетных местах:

Р = b1 + b3 + … + b2n – 1.

Имеем Р = b1 + b1q2 + … b1q2n – 2 = b1(1 + q2 + … + q2n – 2).

Разделив S на Р, получим q, что и требовалось доказать.

IV. Итог урока.

1. Запишите на доске формулу n-го члена геометрической прогрессии.

2. Запишите формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

Домашнее задание:  изучить  по  учебнику  материал  на  с.  164–166; решить № 17.26 (а; в); № 17.27 (а; б); № 17.28 (а; б); № 17.47 (а); № 17.39 (а).

У р о к  4

Цели: закрепить в ходе упражнений знание формул n-го члена геометрической прогрессии и суммы членов конечной геометрической прогрессии; доказать теорему, выражающую характеристическое свойство геометрической прогрессии; научить учащихся применять характеристическое свойство геометрической прогрессии при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Двое учащихся решают на доске № 17.47 (а) и № 17.39 (а) из домашнего задания.

2. Учитель выборочно проверяет домашние работы у некоторых учащихся.

3. Решить устно № 17.13 (а); № 17.6 (б); № 17.7 (а; в); № 17.25 (а; в).

II. Изучение нового материала.

1. Провести доказательство теоремы, выражающей характеристическое свойство геометрической прогрессии; записать вывод:

2. Выполним преобразования равенства

Число  называют средним геометрическим чисел а и b.

Таким образом, последнее равенство означает, что модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.

3. Рассмотреть решение примера 11 на с. 167–168 учебника.

III. Выполнение упражнений.

1. Решить № 17.31 (а; б) с комментированием на месте.

а) b2 = 4; b4 = 16; b3 =  (b3 • 0).

b3 = 8; q = b3 : b2 = 8 : 4 = 2; q = 2.

б) b5 = 12; b7 = 3; по условию b6 • 0, тогда

 q = b7 : b6 = 3 : (–6) =

О т в е т: а) 2; 8; б)  –6.

2. Решить № 17.34 на доске и в тетрадях. Согласно характеристическому свойству

 3х = 6х2 – 6х; 6х2 – 9х = 0; 3х(2х – 3) = 0; 3х = 0 или 2х – 3 = 0; х = 0 или х = 1,5.

Подставляя х = 0 в заданные выражения х – 1,  6х, находим соответственно –1; 0; 0 – это не геометрическая прогрессия.

Подставляя х = 1,5 в заданные выражения находим 0,5;  9 – это конечная геометрическая прогрессия со знаменателем

О т в е т: 1,5.

3. Самостоятельно решить № 17.33 (с проверкой).

Согласно  характеристическому  свойству  (3у)2 = –81 ⋅ (–1);  9у2 = 81;
у2 = 9; у1 = –3; у2 = 3.

О т в е т: –3; 3.

4. Решить № 17.43 на доске и в тетрадях.

1; b2; b3; b4; 81. Отсюда b1 = 1; b5 = 81; найдем q.

b5 = b1 ⋅ q4; 81 = 1 ⋅ q4;  q4 = 34 или q4 = (–3)4;

тогда q = 3 или q = –3.

1) Если q = 3, то 1; 3; 9; 27; 81.

2) Если q = –3, то 1; –3; 9; –27; 81.

О т в е т: 1; 3; 9; 27; 81 или 1; –3; 9; –27; 81.

5. Решить № 17.29 (в; г). Решение № 17.29 (г) объясняет учитель.

в) b3 = 1; b5 =  (q > 0). Найти S5.

г)  b7 = 27. Найти S5.

Найдем b5 = b4 ⋅ q =  Применим формулу (II).

О т в е т: в)  г)

6. Решить № 17.29 (а) самостоятельно.

IV. Итог урока.

Домашнее задание: изучить материал на с. 166–167 учебника; решить № 17.31 (в; г); № 17.32, № 17.23; № 17.29 (б); № 17.35.

У р о к  5

Цели: способствовать выработке навыков и умений учащихся при решении заданий геометрической прогрессии, нахождении суммы членов конечной геометрической прогрессии; учить решать более сложные задачи, связанные с геометрической и арифметической прогрессией.

Ход урока

I. Самостоятельная работа (15 мин).

В а р и а н т  I

1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Выведите формулу n-го члена геометрической прогрессии.

2. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой b1 = 27; q =

В а р и а н т  II

1. Выведите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

2. Найдите  сумму  шести  первых членов геометрической прогрессии
–4; 8; …

II. Выполнение упражнений.

1. Решить № 17.26 (г). Один ученик самостоятельно решает на доске, остальные в тетрадях.

г) b1 = –9; q =  n = 6. Найти S6.

О т в е т:

2. Решить № 17.39 (в) на доске и в тетрадях.

в) b1 = 3; q = 2; Sn = 189. Найти n.

 189 = 3 ⋅ (2n –1); 2n – 1 = 63;

2n = 64; 2n = 26; n = 6.

О т в е т: 6.

3. Решить № 17.48 (а; в). Решение № 17.48 (а) объясняет учитель.

а) 1 +2 + 22 + … + 28. Найти Sn.

Воспользуемся формулой (II)  при q ≠ 1; b1 = 1; b2 = 2;
q = 2 : 1 = 2; q = 2; bn = 28 = 256;  S = 511.

в)  + … +  Найти S.

b1 =  b2 =  q =  

О т в е т: а) 511; в)

4. Решить задачу № 17.53∙. Решение объясняет учитель.

Имеем:

 b1; b2; b3;

 b1; b2; b3 – 16;            b1 = 9.

Опираясь на характеристическое свойство арифметической прогрессии, получаем соотношение:

2b2 = b1 + (b3 – 16); 2b1q = b1 +b1q2 – 16;

18q = 9 + 9q2 – 16; 9q2 – 18q – 7 = 0; q1 =  q2 =

Если  то b2 = b1q =  b3 = b2q =

Если  то b2 = b1q =  b3 = b2q =

О т в е т: 21 и 49 или –3 и 1.

5. Решить задачу № 17.54∙. Учитель помогает учащимся в решении задачи.

По условию  а1; а2; а3;

                       а1; а2 + 1; а3 + 14;

                            а1 + а2 + а3 = 24.

Опираясь на характеристическое свойство геометрической прогрессии, получаем соотношение:

(а2 + 1)2 = а1 ⋅ (а3 + 14); (а1 + d + 1)2 = а1 ⋅ (а1 + 2d + 14);

d2 + 2d + 1 = 12a1.

По третьему условию задачи а1 + а2 + а3 = 24;

а1 + (а1 + d) + (а1 + 2d) = 24; a1 + d = 8.

В итоге имеем систему уравнений:

О т в е т: 27; 8 и –11 или 3; 8; 13.

6. Повторение ранее изученного материала. Решить № 15.36 (в; г) самостоятельно с проверкой.

III. Итог урока.

Домашнее задание: повторить материал на с. 156–171 учебника; на отдельных листочках решить домашнюю контрольную работу № 4 номера 8, 9 и 10 на с. 118–119 задачника.

ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Цели: повторить и закрепить изученный материал об арифметической и  геометрической  прогрессии;  подготовить  учащихся  к  контрольной работе.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Сообщить учащимся результаты самостоятельной работы. Устранить ошибки, сделанные в ходе работы.

2. Собрать листочки с домашней контрольной работой. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

3. Записать на доске формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессии; формулы суммы членов конечной арифметической и геометрической прогрессии.

II. Подготовка к контрольной работе.

1. Найдите девятый член арифметической прогрессии 8,4; 8; 7,6… Вычислите сумму первых девяти ее членов.

2. Найдите седьмой член геометрической прогрессии  2; …

3. Найдите девятый член геометрической прогрессии  …

4. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий ее член на 6 больше первого. Найдите второй и четвертый члены этой прогрессии.

a2 = a1 + d = –2 + 3 = 1;   a4 = a1 + 3d = –2 + 9 = 7.

О т в е т: а2 = 1; а4 = 7.

5. Сумма третьего и шестого членов арифметической прогрессии равна 2. Четвертый ее член на 6 меньше первого. Найдите первый и пятый члены этой прогрессии.

a1 = 8;   a5 = a1 + 4d = 8 + 4 ⋅ (–2) = 8 – 8 = 0.

О т в е т: а1 = 8; а5 = 0.

6. Найдите все значения х, при которых значения выражений  являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Р е ш е н и е 

По характеристическому свойству геометрической прогрессии имеем:

36 – 12х + х2 = 3х2 + 7х – 10;

2х2 + 19х – 46 = 0;

D = 361 + 368 = 729 = 272

Если х = –11,5, то  не существует.

Если х = 2, то

Числа 4; 2; 1 – члены убывающей геометрической прогрессии.

О т в е т: х = 2.

7. Найдите сумму всех двузначных чисел, дающих при делении на 4 в остатке 3.

Р е ш е н и е 

Числа имеют вид  4 ⋅ у + 3,  тогда  двузначные  числа  11;  15;  19;  23; …; 99.

d = a2 – a1 = 15 – 11 = 4; d = 4. Найдем количество двузначных чисел n, если аn = 99:

аn = a1 + d(n – 1); 99 = 11 + 4(n – 1); 88 = 4n – 4; 4n = 92; n = 23.

Найдем сумму:

О т в е т: 1265.

8. Решить № 17.56.

Р е ш е н и е 

Имеем  а1; а2; а7 и а1 + а2 + а7 = 31.

Первое условие перепишем в виде  (a1 + d)2 = a1(a1 + 6d).

Второе условие можно переписать в виде a1 + (a1 + d) + (a1 + 6d) = 31;
3a1 + 7d = 31.

Получим систему уравнений:

3d2 – 124d + 28d2 = 0; 31d2 – 124d = 0; d(31d – 124) = 0;

d = 0 или 31d – 124 = 0; d = 4.

Если d = 0, то

Если d = 4, то а1 = 1; а2 = 5; а3 = 25.

О т в е т:  или 1; 5; 25.

III. Итог урока.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторив материал  § 16  и  § 17;  решить №  16.23  (б; в);  №  16.34  (а; б);  №  16.45; № 17.18 (а; в); № 17.26 (б).