Методические рекомендации к самостоятельной работе "Вычисление неопределенных интегралов методом введения новой переменной".
методическая разработка на тему

Самостоятельная работа

Вычисление неопределенных интегралов методом введения новой переменной.

Цель работы: овладение методом введения новой переменной.

для вычисления интегралов.

        Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять интегралы.         

Рекомендации по выполнению.

1.Разобрать решение примеров.

2.Выполнить задания тренажера, используя указания.

3.Оформить решение задач тренажера в тетради.

 Определение. Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной функции f(x)  на заданном промежутке, если для всех x  из этого  промежутка справедливо равенство: F’(x)=f(x).

Теорема. Если функция F(x) является первообразной функции f(x)  на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+С, где С – любое действительное число.

Определение. Совокупность всех первообразных F(x)+С функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где f(x) – подынтегральная функция,  f(x)dx  - подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

    Таким образом, если F(x) – какая-нибудь  первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то = F(x)+С, где С – любое действительное число.

Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной: отсюда происходит и само название «неопределенный интеграл».

Свойства неопределенного интеграла:

1. =m, m – любое действительное число, не равное 0.

2.

3.

Таблица неопределенных интегралов дана в конспекте.

Алгоритм интегрирования методом замены переменной:

1. Определить, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл.
2. Определить, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записать эту замену.
3. Найти дифференциалы обеих частей замены и выразить дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной.
4. Произвести замену под интегралом.
5. Найти полученный интеграл по таблице.
6. В результате произвести обратную замену, т.е. перейти к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.

Пример: ; ; ; ;

     В простых случаях введение новой переменной u рекомендуется выполнять в уме, применяя следующие преобразования дифференциала dx:

      d(ax+b);     2x dx=(dx2);

Cos x dx=d(sinx);    

И обозначая мысленно выражение в скобка через u. Такой прием интегрирования называют непосредственным.

Найти интегралы:

1. ∫cos 3x dx.           2. ∫sindx.

Указание. Пример 1 можно решить двумя способами: 1) положив 3x=u, x=u/3, dx=du/3; 2)приведя интеграл к виду cos3xd(3x).

1. ∫e-3xdx.                          2. ∫.

1. ∫(ex/2+e-x/2)dx.           2. ∫.

3. ∫(3-2x)4dx.                4. ∫dx.

5. ∫   .                   6. ∫sin (a-bx)dx.

7. ∫dx.               8. ∫.

Указание. Примеры решаются по формуле:

∫ IuI +C,

Т.е. если числитель подынтегральный дроби есть производная от знаменателя, то интеграл равен логорифму знаменателя.

1. ∫.                     2. .

3. ∫ctg x dx .               4. ∫tg x dx.

5.dx.            6..

7.dx.             8..

9. ∫sin2x cosx dx.        10. ∫cos3x sinx dx.

Указание. Примеры можно решить подстановкой sinx=u или непосредственно, заменив cosx dx через d(sinx).

1.                2.

3. dx          4.

5.     6.

Указание. Примеры можно решить подстановкой x3=u или непосредственно, заменив x2dx через dx(x3).

Вычислить:

1.                         7.                            13.

2.                       8.                 14.

3.                       9.                         15.

4.                          10.                          

5.                              11.                            

6.                           12.                              

Оформить решение примеров в тетради.

По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений

Оформить отчет о работе