Методические указания по дисциплине «МАТЕМАТИКА» для выполнения практических работ для студентов по теме "Пределы и их свойства"
учебно-методическое пособие по теме

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

"Жигулевский государственный колледж"

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

По дисциплине         МАТЕМАТИКА 

Курс      2

Составитель: Гусенкова Елена Станиславовна, преподаватель ГБОУ СПО «Жигулевский государственный колледж»

        Методические указания по выполнению практических работ адресованы  студентам очной  формы обучения.

        Методические указания включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС СПО третьего поколения, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической  работы студентов и инструкцию по ее выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок и образец отчета о проделанной работе.

ВВЕДЕНИЕ

Уважаемый студент!

        Методические указания по дисциплине «МАТЕМАТИКА» для выполнения практических работ созданы Вам  в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическим работам, правильного составления отчетов.

        Приступая к выполнению практической работы, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными стандартами третьего поколения (ФГОС-3), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

        Все задания к практической работе Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

        Отчет о практической работе  Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

        Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения зачета по дисциплине  и допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую  Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим  работам  или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

        Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.

Желаю Вам успехов!!!

Тема 1.1 Пределы, их свойства.

Практическая  работа № 1 «Элементарное исследование функций»

               Практическая работа № 2 «Полное исследование функций. Построение                графиков функций»

Учебная цель: вычислить производные, точки перегиба, найти максимум и минимум функции, строить графики.

Учебные задачи:  вычислять производные, точки перегиба, находить максимум и минимум функции, строить графики.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь: 

• решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления.

 знать: 

• основные понятия и методы математического анализа;
• схему исследования  функции

 Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.
2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
3. Решить  вариант.
4. Оформить отчёт

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических работ (обычная, в клетку).
2. Карточки-задания (25 штук).
3. Калькулятор (простой).
4. Ручка.        

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы:

Возрастание и убывание функции.

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух точек из неравенства следует, что ; убывающей на интервале , если из неравенства следует, что ; невозрастающей на интервале , если из неравенства следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства следует, что .

Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций

Очевидно, что функция возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция ; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Графики функций и

        Теорема.   Пусть функция дифференцируема на интервале и при всех . Тогда возрастает на . Если же при всех , то не убывает на .

Аналогично, если при всех , то убывает на , а если при всех , то не возрастает на .

        Пример 1.   Рассмотрим функцию . Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси : из следует, что . Однако неверно, что при всех : действительно, производная обращается в 0 при .     

Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) -- это нестрогое неравенство .

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции , надо решить относительно неравенство , а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство .

        Пример 2.   Рассмотрим функцию . Её производная такова:

Интервал возрастания функции можно найти из неравенства

При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции , так что нужно решать неравенство . Отсюда . Таким образом, функция возрастает на интервале . Нетрудно видеть, что при выполняется обратное неравенство , так что на этом интервале функция убывает.     

                                                                            График функции

Если два интервала возрастания функции примыкают друг к другу, то есть имеют вид и , и функция непрерывна в точке , то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на . То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Экстремум функции и необходимое условие экстремума.

Напомним определение локального экстремума функции.

        Определение.   Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .     

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .

        Теорема: Если точка  -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо
1) , либо
2) производная не существует.

Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

        Пример 3.    Рассмотрим функцию . Её производная существует при всех и равна . Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением . Это уравнение можно записать в виде ; оно имеет единственный корень : это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде , легко увидеть, что в стационарной точке функция имеет минимум, равный .     

        Пример 4.   Рассмотрим функцию . Как и в предыдущем примере, производная существует при всех ; она равна . Все критические точки функции -- стационарные; таких точек три: .

Записав функцию в виде , легко увидеть, что в точках функция имеет минимум, так как в этих точках выражение обращается в 0, и

Если же мы запишем функцию в виде , то убедимся, что точка  -- точка локального максимума, поскольку при малых выражение положительно, и

Выпуклость функции.

        Определение.  Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .

Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как , , а любую точку хорды -- как . Выражение задаёт линейную функцию переменного , график которой на отрезке совпадает с хордой.

То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что

при всех .

Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что

при всех .     

Графики выпуклой и вогнутой функций

Легко видеть, что функция вогнута на интервале в том и только том случае, когда функция выпукла на .

        Пример 5.  Рассмотрим функцию . Эта функция выпукла на любом интервале оси . Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале , то и , и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.     

        Пример 6.   Рассмотрим функцию ; её график -- парабола .

Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале .

        Теорема:  Пусть на интервале функция имеет вторую производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда при всех , и вогнута тогда и только тогда, когда при всех .

          Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.

на интервалах выпуклости и на интервалах вогнутости

        Пример 7.    Рассмотрим функцию , то есть

Для этой функции

(проверьте отдельно, что производная при существует и равна 0) и

то есть . (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, при всех ; отсюда следует, что функция выпукла на всей оси.     

Функция выпукла на всей оси

        Пример 8.   Рассмотрим функцию . Её производная равна ; вторая производная . Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство , то есть . Решением является объединение лучей: . Значит, на интервалах и функция выпукла.

Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство , то есть . Решением является отрезок . Значит, на интервале функция вогнута.     

Интервалы выпуклости и вогнутости функции

Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.

Асимптоты графика функции.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение. Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .     

        Пример 8. Рассмотрим функцию . График имеет вертикальную асимптоту , поскольку при выполняется условие , а также при выполняется условие .     

Вертикальная асимптота функции

     Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.

        Определение.   Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия:
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если

или

соответственно.

        Пример 9. Рассмотрим функцию . График этой функции имеет наклонную асимптоту при . Действительно,

при

Однако эта функция не определена ни на каком луче вида , так что её график не может иметь асимптоты при .     

Наклонная асимптота функции

        Пример 10.  График функции имеет горизонтальную асимптоту как при , так и при , поскольку, очевидно, при . Можно сказать также, что асимптота при у этого графика совпадает с асимптотой при .     

Горизонтальная асимптота функции

        Теорема : Прямая служит наклонной асимптотой для графика при (или при ) в том и только том случае, когда

соответственно, если

и

Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится ) асимптоты достаточно найти два указанных предела и, затем, . Прямая будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.

        Пример 11.    Найдём наклонные асимптоты графика .

Попробуем отыскивать сразу оба предела, и при , и при .

Итак, и при , и при имеем и , так что обе наклонные асимптоты совпадают друг с другом и имеют уравнение , то есть, фактически, асимптота только одна.     

График и его наклонная асимптота

        Пример 12.   Рассмотрим функцию . Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.

Сначала найдём асимптоту при . Согласно доказанной теореме, имеем:

Таким образом, при наклонной асимптотой служит прямая .

Теперь найдём асимптоту при . Имеем:

Поскольку , мы можем считать, что в допредельном выражении . В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число . Тогда под корнем нужно будет поделить на , и получится:

Вычисление проведите сами в качестве упражнения. При этом получается , так что наклонная асимптота при имеет уравнение .     

График и его две наклонных асимптоты

        Замечание 7.3 Если график имеет асимптоту (например, при ) и существует предел производной:

то . Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17.

Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная не имеет никакого предела при . Дело в том, что значения могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания.

Общая схема исследования функции и построения её графика.

После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.

Пусть дана функция . Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Поясним сказанное примером:

        Пример 1.   Пусть Эта функция определена на всей числовой оси, однако 0 является точкой разрыва функции: при функция стремится к . Значит, вертикальная прямая служит вертикальной асимптотой функции, хотя функция и определена в точке .     

4). Если область определения включает в себя лучи вида или , то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при или соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью (если ). Для этого нужно вычислить значение . Найти также точки пересечения графика с осью , для чего найти корни уравнения (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней19 помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной .

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной . Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

Обсудим теперь подробнее некоторые из этих пунктов.

1). Область определения функции. В некоторых примерах область определения задаётся в самом условии задачи, например: "Построить график функции, заданной при ". Однако часто функция задаётся некоторой формулой, выражающей как элементарную функцию, вроде:

В таком случае принято считать, что областью определения служит максимально широкое множество значений , при которых правая часть формулы имеет смысл.

Из этого соглашения по умолчанию есть одно исключение. Если функция имеет вид или содержит выражения такого рода, то принято считать, что выражение должно быть положительно, если принимает значения любого знака, или неотрицательно, если положительно. При этом игнорируется тот факт, что выражение может иметь смысл и при некоторых других (исключительных) значениях и , например, когда и принимает целое значение.

        Пример 2.   Для функции считаем, что , хотя правая часть имеет смысл также при всех целых отрицательных .     

        Замечание 7.14   При исследовании некоторых функций подробное исследование области определения мы вынуждены будем пропустить или ограничиться общими рассуждениями, ввиду сложности точного решения вопроса.

Например, область определения функции задаётся как решение неравенства . Однако решить это неравенство "точно", то есть найти выражения через радикалы от известных чисел для точек, задающих левые и правые концы интервалов (или интервала?) области определения, по-видимому, невозможно. Можно лишь сказать, что решение будет заведомо содержать целиком луч вида при некотором ; кроме того, непосредственная проверка показывает, что точки и 0, например, принадлежат , а точка  -- нет. Более точно можно описать , найдя корни уравнения приближённо, с достаточно малой погрешностью, и исследовав знак функции между этими корнями.

Способы приближённого отыскания корней алгебраических уравнений мы обсудим ниже, в главе 9.     

2). Особые свойства функции. Не любая функция обладает такими свойствами, как чётность либо нечётность. Функция заведомо не является ни чётной, ни нечётной, если её область определения несимметрична относительно точки 0 на оси . Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

Так что если, например, при рассмотрении предыдущего пункта выяснилось, что область определения не обладает свойством симметричности либо периодичности, то заниматься исследованием соответствующих особых свойств функции нет нужды.

3). Вертикальные асимптоты. Если функция  -- элементарная, то на всех интервалах области определения функция непрерывна. Значит, вертикальные асимптоты могут появиться только на границах интервалов, составляющих .

Однако не на каждой из границ этих интервалов непременно возникает вертикальная асимптота: например, функция имеет область определения , и единственной точкой границы служит . Однако вертикальная прямая не является вертикальной асимптотой функции, так как .

4). Наклонные и горизонтальные асимптоты. При их поиске, как и при поиске других асимптотических линий (не обязательно прямых) полезно выделить более просто, чем , устроенную главную часть функции, то есть такую функцию , что разность  -- бесконечно малая при или . Тогда график главной части и есть искомая асимптотическая линия. Если ясно, что асимптотическая линия не имеет наклонной либо горизонтальной асимптоты, то её не имеет и исходный график . Заметим, что все многочлены (при и ) не имеют асимптотических линий вида (докажите это!). Следовательно, искать в виде прямолинейные наклонные либо горизонтальные асимптоты у тех графиков, которые имеют асимптотические линии в виде графиков многочленов, в том числе у самих многочленов степени , -- дело бессмысленное: этих прямолинейных асимптот всё равно нет!

        Пример 3.    Рассмотрим функцию Эта функция имеет главную часть , так как разность , очевидно, стремится к 0 при . Поэтому парабола  -- это асимптотическая линия для графика ; следовательно, прямолинейных наклонных и горизонтальных асимптот график этой функции не имеет.     

5). Нахождение точки пересечения графика с осью состоит в простом вычислении значения функции при . Нахождение же точек пересечения с осью может привести к необходимости решить сложное алгебраическое уравнение, что, быть может, удастся сделать лишь приближённо. О приближённом нахождении корней уравнений см. ниже, в гл. 9. Отыскав корни функции и точки разрыва, мы можем определить знак функции на каждом из интервалов между этими точками. Это можно сделать либо вычислив значение функции в какой-нибудь из точек интервала, либо применив метод интервалов, знакомый из школьной программы.

6). Нахождение промежутков монотонности. Для этого находят производную и решают неравенство . На промежутках, где это неравенство выполнено, функция возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство , функция убывает. Если два ннтервала возрастания (или убывания) и примыкают друг к другу в точке и функция непрерывна в этой точке , то возрастает на интервале .

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума (пользуясь теоремой 7.10 и не прибегая к теореме 7.11): там, где возрастание сменяется убыванием20, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием -- локальные минимумы.

7). Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости ведётся с помощью второй производной. Найдя , мы решаем неравенство . На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство , мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута).

Заодно определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

8). Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. Этот пункт не носит столь уж обязательного характера, однако нахождение таких точек придаёт исследованию функции и построенному её графику законченность и полноту.

Заметим, что получающиеся в процессе исследования функции точки на осях координат и на графике полезно сразу же наносить на чертёж. Это помогает по ходу дела уяснять вид графика. При этом дальнейшие исследования функции имеют характер уточнений полученного ранее.

Примеры исследования функций и построения графиков.

        Пример 1.   Построим график функции .

1). Функция  -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: .

2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного , и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени . Для функции это не так, значит, не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от ; в нашем случае это не так, поэтому  -- не периодическая функция.

3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)

4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.

5). Пересечение с осью найдём, вычислив значение при : имеем . Для нахождения пересечений графика с осью следует решить уравнение . Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,

мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень , лежащий на интервале , причём ближе к точке , чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что . Заметим, что меняет знак с на при переходе через точку .

6). Производная данной функции равна . Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство . Корни квадратного трёхчлена -- это , значит, решением неравенства служит объединение интервалов и . На каждом из этих интервалов функция возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством , то есть . Его решением служит интервал . На этом интервале функция убывает.

В точке возрастание функции сменяется убыванием, значит,  -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

В точке убывание функции сменяется возрастанием, значит,  -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от до и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.

7). Вторая производная функции равна . Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство , то есть , откуда . Значит, функция выпукла на интервале . Обратное неравенство даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это . В точке направление выпуклости меняется, следовательно,  -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно .

8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции .

График функции     

        Пример 2.    Исследуем функцию и построим её график.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции -- вся ось .

2). Функция  -- нечётная, поскольку при смене знака числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда . Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

Периодической функция не является.

3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем:

Таким образом, асимптотой как при , так и при служит прямая .

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: , причём  -- единственное решение уравнения . Значит, график пересекает сразу и ось , и ось в начале координат.

Очевидно, что при и при .

6). Найдём производную:

Очевидно, что при всех ; единственная точка, в которой  -- это . Значит, функция возрастает на всей оси , а в стационарной точке имеет горизонтальную касательную.

7). Найдём вторую производную:

Знаменатель этой дроби положителен при всех . Числитель имеет корни и , при этом на интервалах и  -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство , здесь функция вогнута. Все три точки, в которых , то есть точки , являются точками перегиба.

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

                   График функции

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе.

1. Укажите необходимые и достаточные признаки максимума и минимума функций.
2. В каких случаях функция не имеет ни максимума, ни минимума?
3. Какие точки графика называют точками перегиба?
4. Сформулируйте правила исследования функций на точки перегиба.
5. Что необходимо знать для построения графика функции?

Инструкция по выполнению практической работы.

На выполнение практической работы дается 1 час 30 мин.(90 мин.). Работа состоит из 10 заданий. При их выполнении надо записать обоснованное решение. За выполнение работы выставляется оценка.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической  работы.

Оценка тестовых заданий производится в соответствии с утвержденными критериями:

Порядок выполнения отчета по практической  работе

1. Прочитать методические указания.
2. Решить определенный вариант.
3. Ответить на контрольные вопросы.

Практическая работа № 1

Вариант I

1.  Найдите промежутки монотонности следующих функций:

а)  f(x)=x2-6x+5;                                                б)   f(x)=2x2-4x+5;  

в)  f(x)= - ;                                                           г)   y=lnx2;

д)   y=2.

2. Исследуйте на экстремум следующие функции:

а)   f(x)=x2-x;                                 б)  f(x)=x2-8x+12;

в)   f(x)= x3- 4x.

4. Найти точки перегиба:

а) (x)=x³-x;

б) y=x³-x²+8x-4

Практическая работа № 1

                                                      Вариант II

1.Найдите промежутки монотонности следующих функций:

а)    f(x)=-x2+4x+1;                              б)    f(x)= -x4-x+1;

в)   f(x)= -2x3+15x2-36x+20;                 г)    y=x2-lnx;  

д)    y=.        

              2.Исследуйте на экстремум следующие функции:

             а)  f(x)=x2+3x;                                    б)  f(x)=x2-4x+3;

             в)  f(x)= -x4+8x.

3. Найти точки перегиба:

1. 𝑓 (x)=-10x³+36x²-100;
2. 𝑓 (x)=-8x³+18x²-48x+31;

Практическая работа № 1

                                                  Вариант III

1.Найдите промежутки монотонности следующих функций:

а)    f(x)=x3-3x2+1;                                б)    f(x)==2x3-9x+12x-15;  

в)   f(x)=.;                                       г)    y=e-x;  

             д)    y=ln.².              

            2.Исследуйте на экстремум следующие функции:

             а)  f(x) = -x2+2x;                                      б)  f(x)=-x2+2x+3;

             в)  f(x)=2x3+9x2+12x-2.

3.Найти точки перегиба:

a) 𝑓 (x)=-6x³+12x²-10;

b) 𝑓 (x)=x

Практическая работа № 1

Вариант IV

1.Найдите промежутки монотонности следующих функций:

а)  f(x)=--x3+x2+2  ;                                б)    y=ln x x3;  

в)   f(x)=-x2-x;                                             г)   y=ex2;  

      д)    f(x)= -2x2+x+1.

            2.Исследуйте на экстремум следующие функции:            

             а)  f(x)= 23-3x2-12x+8;                                         б)  f(x) x3 –x2.;

            в)   f(x)= -x2-x+6. 3.

     3.Найти точки перегиба:

a) 𝑓 (x)=;

b) 𝑓 (x) =-2x³+6x²-5;

Практическая работа № 1

Вариант V

1.Найдите промежутки монотонности следующих функций:

а)  f(x) = x4-4x+3;                                б)    f(x)=4x4-32x+40;  

в)   f(x)= -2x2-3x+6;                             г)   y=2ex2;  

  д)    y=e1/x

            2.Исследуйте на экстремум следующие функции:

 а)  f(x)=x2-10x+9;                            б)   f(x)=2x4-x;

 в)  f(x)=2x3-9x2+12x-8.

  3.Найдите точки перегиба:

a) 𝑓 (x) =;

b) 𝑓 (x) =-4x³+8x²-10;

Практическая работа № 2

Вариант I

Исследуйте функции и постройте их графики:

1)   y =                        2)       y =

Вариант II

Исследуйте функции и постройте их графики:

1)     y =                         2)   y = 

Вариант III

Исследуйте функции и постройте их графики:

1 )     y =                                         2)    y = 

Вариант IV

Исследуйте функции и постройте их графики:

1)   y =                                           2)  y =

Вариант V

Исследуйте функции и постройте их графики:

1)  y =                                       2)   y =  

Литература:

1. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М.:  2005.
2. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М.: 2004.
3. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: учеб. пособие. – М.: «Высшая школа» 2002.