Разработка урока "Решение систем ураснений методом Крамера"
методическая разработка

АННОТАЦИЯ

Методическая разработка открытого урока на тему «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» составлена в соответствии с ФГОС СПО. Данная методическая разработка предназначена для студентов второго курса специальности 23.02.07 Техническое обслуживание и ремонт двигателей, систем и агрегатов автомобилей

Данная методическая разработка предназначена для преподавателей образовательных организаций СПО, осуществляющих обучение по дисциплине ЕН.01 Математика, и рекомендована к использованию в учебном процесс

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка учебного занятия по дисциплине ЕН.01Математика по теме«Решение систем линейных уравнений методом Камера» представляет  собой подробный план - конспект урока в форме практического занятия с применением активных методов обучения и использованием коммуникативной методики, а также с использованием информационно-коммуникационных технологий.

Данное занятие способствует развитию профессиональных, информационной и коммуникативной компетенций студентов. Занятие состоит из практического задания. На уроке студенты закрепляют полученные ранее знания по теме, отвечают на вопросы теста, обобщают и систематизируют знания изученного материала, а затем материал закрепляется путем решения практических задач с последующим отчетом. Такая форма занятия активизирует познавательную деятельность студентов, помогает им проявить свои творческие и интеллектуальные способности, воспитывает культуру общения.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Группа: ТО-22

Специальность: 23.02.07 Техническое обслуживание и ремонт двигателей, систем и агрегатов автомобилей

Учебная дисциплина: ЕН. 01Математика

Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Тип: Изучение нового материала

Используемые педагогические технологии: технологии проблемно-деятельностного подхода (технология перевернутый урок, интерактивные технологии, мультимедийные технологии).

Формы обучения: индивидуальная, групповая, коллективная.

Технические средства: компьютер, телевизор 

Раздаточный материал: практические задачи

Презентация

ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:

Развивающие:

– развивать навыки организации собственной деятельности, выбора типовых методов и способов выполнения профессиональных задач, оценки их эффективности и качества (ОК.2 – общая компетенция);

– развивать навыки принятия решений в стандартных и нестандартных ситуациях, нести за них ответственность (ОК.3 – общая компетенция);

– развивать навыки использования информационно – коммуникационных технологий в профессиональной деятельности (ОК.5 – общая компетенция).

Воспитательные:

– способствовать пониманию сущности и социальной значимости своей будущей профессии, проявлению к ней устойчивого интереса (ОК.1 – общая компетенция);

– способствовать продуктивной работе в коллективе и в команде, эффективному общению с коллегами, руководством, потребителями (ОК.6 – общая компетенция);

– способствовать воспитанию чувства ответственности за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий (ОК.7 – общая компетенция).

Технологическая карта урока

Тема урока: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.

1.Опрос.

Что такое матрица?

Виды матриц.

Как обозначается размер матрицы?

Что представляет собой определитель матрицы?

Как найти определитель матрицы 3х3?  (правило треугольника,

Разложение определителя по строке или столбцу

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду

Какое уравнение называется линейным?

3.. Изложение нового материала 

Метод Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения. Этот  метод  может быть использован в решении системы, в которой количество уравнений равно количеству неизвестных. А также , если  определитель системы не равен нулю.  В этом случае система будет иметь единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители  по неизвестным

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

.

Найти значения  и возможно только при условии, если

.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

Условия:  

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

Условия:  ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

Условия:  

.

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Мы прослушал и материал как решеются сисмы уравнений методом Крамера.А теперь рассмотрим пример

 Нужно решитиь систему трех уравнений с тремя неизвестными

Составляем матрицу из коэффициентов при неизвестных

2  2  -1

-4  1 1

4  -3  2

 дополним эту матрицу  свободными членами

2  2  -1 3

-4  1 1  4

4  -3  2  5    это расширенная матрица

Вычисляем главный определитель,

2  2  -1

-4  1 1    

4  -3  2

Вычисляем определители по неизвестным

По х: первый столбец заменяем свободными членами

3  2  -1

4  1  1  

5  -3  2

По у: второй столбец заменяем свободными членами

2  3  -1

-4  4 1    

4  5  2

По z, аналогично заменяем третий столбец

2  2  3

-4  1 4    

4  -3   5

А теперь найдем неизвестные.

Х=        

  у =      

  z =

 Следовательно, решением системы  будут  числа

 Из Курска  в Тамбов необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа – 95 ед., II типа – 100 ед., III типа –185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта: Фургон, контейнеровоз и тентованый кузов. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице:

Записать в математической форме условия полной перевозки оборудования из Курска в Тамбов

Введем обозначения:

х1 – это общее количество фургонов

х2 – общее количество контейнеровозов

х3 – общее количество грузовиков с тентованым кузовом

Запишем условия перевозки оборудования:

Решим систему методом Крамера

Получаем, что х1 = 15, х2 = 20, х3 =10

Ответ: 15; 20;10

4. Составим алгоритм решения систем линейных уравнений по правилу Крамера.

Студенты предлагают последовательность действий по решению системы линейных уравнений по правилу Крамера.

Алгоритм:

• Найдите главный определитель системы.
• Найдите вспомогательные определители системы.
• Найдите неизвестные, пользуясь формулами Крамера.
• Запишите ответ.

5. Закрепление формул (Студент решает удоски с объяснением 

6. Знакомство с биографией Крамера (выступление студента).

Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.

В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.

В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.

Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции.

7.Самостоятельная работа студентов по индивидуальным карточкам, предложенным преподавателем ( Решение практических задач  по группам)

8.Тест решаем в Moodle

1. Домашнее задание. Выучить формулы. Решить систему уравнений методом Крамера.

Приложение 2.

Задания для практической работы

Задание для группы №1

• Частным лицом куплены три пакета акций общей стоимостью 485 ден. ед., причем акции первой группы куплены по 5 ден. ед. за акцию, второй – по 20, третьей – по 13.
• Через месяц стоимость акций первой, второй и третьей групп составила соответственно 6, 14 и 19 ден. ед., а стоимость всего пакета была 550 ден. ед.
• Еще через месяц они стоили по 8, 22 и 20 ден. ед. соответственно, а весь пакет стоил 660 ден. ед.

Cколько акций каждой группы было куплено?

5х+20y+13z=485

6x+14y+19z=550

8x+22y+20z=660

опр. =210

опр х =1050     х= 5

опр у = 2100    у =  10

опр z = 4200   z =20

Задание для группы №2

• Завод  в течении трех дней производил детали для автомобиля :  автомобильные вентиляторы ,топливные насосы, тормозные диски. Известны объемы выпуска продукции за три дня и денежные затраты на производство за эти три дня. Найти себестоимость единицы продукции каждого вида.

50x +10y +30z =176

35x +25y+20z=168

40x+20y+30Z =184

опр. =6000

опр х =  10800   х= 1,8

опр у =  15600  у =  2,6

опр z =12000    z = 2

Задание для группы №3

Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Найти количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами

3х+2y+z=360

X+6y+2z=300

4x+y+5z=675

 Опр.= 67

Опр х = 6030     х=90

Опр у = 1005    у = 15

Опр z =4020     z= 60

Литература:

Основные источники:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Дрофа – 2010.- 400 с.
2. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.

Дополнительные источники:

1. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. Практикум, – Москва.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 479стр.

2. Высшая математика: задачник : учеб. пособие / Е. А. Ровба [и др.]. – Минск :Выш. шк., 2012. – 319 с.

3. Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах: Учеб. пособие. — М.: ИНФРА, 2009. — 373 с.

Интернет- ресурсы:

1.http://de.ifmo.ru –Электронный учебник.

2.http://window.edu.ru – Единое окно доступа к образовательным ресурсам.

3. http://obrazovaka.ru/carl-friedrich-gauss.html#ixzz4v1b7r4Dw

4. https://lms2.sseu.ru/courses/eresmat/course1/razd8z1/par8_41z1.htm Применение линейной алгебры в экономике

На станции  технического обслуживания  производят ремонт  легковых автомобилей, грузовых автомобилей и микроавтобусов. Чаще всего требуется замена тормозных колодок,  топливных фильтров и подвесок

Предприятия выпускает 3 вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице.

Требуется определить на сколько  единиц каждого автотранспорта  хватит  данного  количества запчастей.

Решение:

Обозначить неизвестные объема выпуска продукции ч/з х1, х2, х3. Тогда при условиях полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать соотношения, которые образуют систему 3 уравнений с тремя неизвестными.

 Решим эти системы методом Крамера

 .

Ответ:  150,350,100

Задача 8:  Швейная  фабрика  перешла на пошив обмундирования для участников СВО. Изготавливают рукавицы утепленные, куртки, шапки -маски (балаклавы)

При этом используется ткани  трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода каждого из них на одну единицу изделия и общий объем расхода сырья за 1 день заданы таблицей:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Решение:

Обозначить неизвестные объема выпуска продукции г/з х1, х2, х3.Тогда при условиях полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать соотношения, которые образуют систему 3 уравнений с тремя неизвестными.

 Решим эти системы методом Крамера:

Подробнее

 .

Ответ: При заданных запасах сырья объем выпуска продукции составляет по каждому виду 200,300,200 у.е соответственно.

Задача 3. Планирование закупки оборудования для автосервиса

Предприятием выделено 236 тысяч рублей на покупку 29 предметов оборудования  для автосервиса: несколько подкатных домкратов по цене 20 тыс. рублей, установок для замены масла  по 8,5 тысяч рублей, Набор ключей  стоимостью 1,5 тысячи рублей. Позже выяснилось, что другая фирма предлагает подкатные домкраты – по цене 19,5 тыс. рублей, установки для замены масла по цене 8 тысяч рублей, набор ключей по такой же цене. Благодаря этому на ту же сумму было куплено на 1 установоку для замены масла  больше.  Выясните, какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено.

Решение:Обозначим через x,y,z количество соответственно  подкатных домкратов, установок для замены масла, Набор ключей.  Тогда учитывая стоимость каждого оборудования и выделенную сумму денег первоначально получим уравнение: 20х+8,5у+1,5z = 236 (1) (поскольку все суммы в тысячах рублей нули можно не прописывать). Учитывая предложение другой фирмы и то что взбивальных машин было куплено на 1 больше получим: 19,5 х+ 8(у+1) + 1,5 z =236. Преобразуем уравнение к виду 

19,5 х+ 8у+8 + 1,5 z =236, 19,5 х+ 8у+ 1,5 z =228 (2). Всего первоначально было запланировано купить 29 штук оборудования, т.е х+у+z = 29.

Таким образом, получили СЛАУ из 3-ех уравнений с тремя неизвестными.

Ответ: Было приобретено 7 домкратов, 9 установок для замены масла, 13 наборов ключей.

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария), в семье врача. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Юноша так понравился магистрату, что специально для него и ещё одного кандидата на место преподавателя была учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал в последующие годы.

Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Был знаком с Даламбером

Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.

В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место.

Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.

В 1740-е годы Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.

Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

В 1751 году Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.

Задача 4: Автомобильный завод производит продукцию трех видов: легковые автомобили, грузовые автомобили, автобусы. Для их производства используются материалы трех типов: оцинкованная сталь 1250*2500*0,65 мм, листовой алюминий 1,5*1500*3000 мм, чугун. Нормы расхода каждого из них на одну продукцию и объем расхода сырья на один день заданы таблицей: Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

продукцию и объем расхода сырья на один день заданы таблицей: 

Решение: Пусть ежедневно завод выпускает x ₁ легковых автомобилей, x ₂ грузовых автомобилей и x ₃ автобусов. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

 235 x ₁ + 280 x ₂ + 285 x ₃ = 5780

135 x ₁ + 240 x ₂ + 255 x ₃ = 3990

105 x ₁ + 175 x ₂ + 185 x ₃ = 3005

 ∆ = 2250

 ∆₁ = 33750

 ∆₂ = 11250

 ∆₃ = 6750

 x ₁ = 33750/2250 = 15

x ₂ = 11250/2250 = 5

x ₃ = 6750/2250 = 3

Ответ: фабрика выпускает 15 легковых автомобилей, 5 грузовых автомобилей и 3 автобуса.

1. Из Курска  в Тамбов необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа – 95 ед., II типа – 100 ед., III типа –185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта: Фургон, контейнеровоз и тентованый кузов. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице:

2. . Планирование закупки оборудования для автосервиса

Предприятием выделено 236 тысяч рублей на покупку 29 предметов оборудования  для автосервиса: несколько подкатных домкратов по цене 20 тыс. рублей, установок для замены масла  по 8,5 тысяч рублей, Набор ключей  стоимостью 1,5 тысячи рублей. Позже выяснилось, что другая фирма предлагает подкатные домкраты – по цене 19,5 тыс. рублей, установки для замены масла по цене 8 тысяч рублей, набор ключей по такой же цене. Благодаря этому на ту же сумму было куплено на 1 установоку для замены масла  больше.  Выясните, какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено.

3. Частным лицом куплены три пакета акций общей стоимостью 485 ден. ед., причем акции первой группы куплены по 5 ден. ед. за акцию, второй – по 20, третьей – по 13.Через месяц стоимость акций первой, второй и третьей групп составила соответственно 6, 14 и 19 ден. ед., а стоимость всего пакета была 550 ден. ед.Еще через месяц они стоили по 8, 22 и 20 ден. ед. соответственно, а весь пакет стоил 660 ден. ед. Cколько акций каждой группы было куплено?

4. Автомобильный завод производит продукцию трех видов: легковые автомобили, грузовые автомобили, автобусы. Для их производства используются материалы трех типов: оцинкованная сталь 1250*2500*0,65 мм, листовой алюминий 1,5*1500*3000 мм, чугун. Нормы расхода каждого из них на одну продукцию и объем расхода сырья на один день заданы таблицей: Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

продукцию и объем расхода сырья на один день заданы таблицей: 

5.Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Найти количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами

Задачи на урок

1.Для зарядки аккумулятора  смешали 60-процентный, 30-процентный и 20-процентный растворы серной кислоты и получили 8 литров  35-процентного  электролита. Если бы  смешали то же количество  60-процентного и   20-процентного растворов, то получили бы 40-процентный раствор  кислоты. Сколько литров каждого раствора использовали?

60х+30у+20z =35·8

x+y+z =8

60х+20z =40·4

 = 1200

= 2400

= 4800

=2400

Х=2

У= 4

Z=2

2.  Из Курска  в Тамбов необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа – 12ед., II типа – 10 ед., III типа –25 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта: Фургон, контейнеровоз и тентованый кузов. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице:

Записать в математической форме условия полной перевозки оборудования из Курска в Тамбов

3х+2у=12

4x +2z =10

3х+5у +4z =25

 = -50

= -100

= -150

=-50

Ответ: х= 2; у = 3;1z = 1

3.На станции  технического обслуживания  производят ремонт  легковых автомобилей, грузовых автомобилей и микроавтобусов. Чаще всего требуется замена тормозных колодок,  топливных фильтров и подвесок

Количество  запчастей, требуемое на каждый вид автотранспорта  указаны в таблице.

Требуется определить на сколько  единиц каждого автотранспорта  хватит  данного  количества запчастей.

3y+5z=37              

3x +2y =36

х+у +3z =29

 = -13

= -104

= -78

= -65

Ответ: х= 8;   у =6;  z = 5

4.Завод  производит  детали для автомобиля :  автомобильные вентиляторы ,топливные насосы, тормозные диски. Известны объемы выпуска продукции за один день  и денежные затраты на производство за этот день . Найти себестоимость единицы продукции каждого вида.

5x +y +3z =13

7x +3y=13

4x+3z =10

 = -12

= -12

= -24

=-24

х= 1

у =  2

z = 2

5. Предприятие наладило выпуск автономных источников питания, тепловых пушек и печей для обогрева  для участников СВО,   при  этом используется три вида материалов: тугоплавкий металл,  чугун, жаростойкая  сталь

Нормы расхода каждого  материала  на одну единицу изделия и общий объем расхода сырья за 1 день заданы таблицей:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

 = 3

= 24

= 30

=12

Х=8,   у= 10,   z = 4

Задание для группы №1

Частным лицом куплены три пакета акций общей стоимостью 485 ден. ед., причем акции первой группы куплены по 5 ден. ед. за акцию, второй – по 20, третьей – по 13.Через месяц стоимость акций первой, второй и третьей групп составила соответственно 6, 14 и 19 ден. ед., а стоимость всего пакета была 550 ден. ед.Еще через месяц они стоили по 8, 22 и 20 ден. ед. соответственно, а весь пакет стоил 660 ден. ед.

Cколько акций каждой группы было куплено?

5х+20y+13z=485

6x+14y+19z=550

8x+22y+20z=660

х= 5

у =  10

z =20

Задание для группы №2

Завод  в течении трех дней производил детали для автомобиля :  автомобильные вентиляторы ,топливные насосы, тормозные диски. Известны объемы выпуска продукции за три дня и денежные затраты на производство за эти три дня. Найти себестоимость единицы продукции каждого вида.

50x +10y +30z =176

35x +25y+20z=168

40x+20y+30Z =184

х= 1,8

у =  2,6

z = 2

Задание для группы №3

Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

3х+2y+z=360

X+6y+2z=300

4x+y+5z=675

х=90

у = 15

z= 60

Задание для группы №4

Предприятием выделено 236 тысяч рублей на покупку 29 предметов оборудования  для автосервиса: несколько подкатных домкратов по цене 20 тыс. рублей, установок для замены масла  по 8,5 тысяч рублей, Набор ключей  стоимостью 1,5 тысячи рублей. Позже выяснилось, что другая фирма предлагает подкатные домкраты – по цене 19,5 тыс. рублей, установки для замены масла по цене 8 тысяч рублей, набор ключей по такой же цене. Благодаря этому на ту же сумму было куплено на 1 установоку для замены масла  больше.  Выясните, какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено.

Ответ: Было приобретено 7 домкратов, 9 установок для замены масла, 13 наборов ключей.