Лекция по математике 1 курс по теме: Логарифмические неравенства их типы и методы решения.
план-конспект урока

Серганова Марина Сергеевна

Лекция по математике 1 курс по теме:

Логарифмические неравенства их типы и методы решения.

 

 

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon lektsiya_mat_1k_logarifmichesmkie_neravaenstva.doc491 КБ

Предварительный просмотр:

Лекция по математике 1 курс по теме:

Логарифмические неравенства их типы и методы решения.

При решении логарифмических неравенств надо хорошо знать свойства логарифмической функции.

Свойства функции

1.

Область определения

2.

Область значений

3.

Четность, нечетность

Функция не является ни четной, ни нечетной

4.

Нули функции

 при

5.

Промежутки знакопостоянства

 при

 при

 при

 при

6.

Экстремумы

Функция экстремумов не имеет

7.

Промежутки монотонности

при

Функция возрастает

Функция убывает

8.

Асимптота

Рассмотрим взаимное расположение графика функции  и прямой .

Вывод. Прямая  пересекает график функции  в единственной точке .

Определение. Пусть, тогда неравенства  или  называются простейшими логарифмическими неравенствами.

                   

Что, значит, решить неравенство?

Решить неравенство - значит, найти все его решения или показать, что их нет.

Что называется решением неравенства?

Решением неравенства с неизвестным  называют число , при подстановке которого в неравенство вместо  получается верное числовое неравенство.

Вывод. Если , то для каждого  соответствующая точка графика функции   находится выше прямой , а для каждого  из интервала  соответствующая точка графика функции  находится ниже прямой .

 .

,

  .

Вывод. Если , то для каждого  соответствующая точка графика функции  находится выше прямой , а для каждого  соответствующая точка графика функции  находится ниже прямой .

  .

,

  .

Типы логарифмических неравенств и методы их решения.

1). Простейшие логарифмические неравенства.

Пример 1. .

Решение:

Т. к. ;  убывает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

   

Ответ: (0,2;0,4).

Пример 2. .

Решение:

Т. к. ;  убывает на всей области определения, то неравенство равносильно системе

   

Ответ: (0,75;2).

2). Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим логарифмическим неравенствам.

Пример 1..

Решение:

,

,

.

Т. к.  и  возрастает на всей области определения, то неравенство равносильно системе

  т. к. , при , то система равносильна неравенству .

,

.

Ответ: .

Пример 2. .

Решение:

,

,

,

.

Т. к. ;  возрастает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

   .

Ответ: .

Пример 3. .

Решение:

.

Т. к. ;  убывает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

   

      .

Ответ: .

Пример 4. .

Решение:

.

Т. к. ;  возрастает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

   

 

    .

Ответ: .

3). Логарифмические неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени.

Пример 1. .

Решение:

. Пусть  тогда

,

Вернёмся к переменной . Т. к. , то

      возрастает на всей области определения, то

     

Ответ: .

Пример 2..

Решение:

.

Т. к. , то для нахождения области допустимых значений переменной  составим систему:

    .

В найденной области допустимых значений переменной  преобразуем неравенство.

,

,

,

,

  возрастает на всей области определения и , а также .

С учётом области допустимых значений переменной  получим:

    

Ответ: .

4). Логарифмические неравенства, сводящиеся к рациональным неравенствам.

Пример 1. .

Решение:

Пусть  и , тогда

,

,

Вернёмся к переменной . Т. к. , то

     возрастает на всей области определения

      

Ответ:.

Пример 2..

Решение:

.

Т. к. , то

В найденной области допустимых значений переменной  преобразуем данное неравенство к виду:

Пусть .

Тогда

    

Вернёмся к переменной .

  возрастает на всей области определения и ,

   

Ответ:

5). Логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма.

Пример 1.

Решение:

Т. к.  и , то  

,

,

                   

Ответ: .

Пример 2. .

Решение:

,

.

Т. к. , то

     

Ответ:

Пример 3. .

Решение:

,

.

Т. к. , то

         

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения:

Решить неравенства:

1)                    

  2)

  3)      

  4)

  5)

   6)

    7)   


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока по теме: «Логарифмические уравнения и неравенства»

Основной педагогической технологией, используемой на данном уроке, является технология дифференцированного обучения. Цель технологии – это организация учебного процесса, при котором максимально учитыв...

Пример лекции по математике для студентов 2 курса

Представлен пример лекционного материала по математики для студентов 2 курса...

Лекция "Численные методы решения уравнений"

Лекция по разделу "Численные методы".Рассматриваются следующие методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений: 1) метод дихотомии (метод деления отрезка пополам),2) метод хор...

26.03.2020г. гр.836-2я пара. Повторение.Основные приемы решения логарифмических неравенств.

Цель: формирование знаний о разных способах решения логарифмических неравенств, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ...

Методическая разработка интегрированного урока по дисциплине математика по теме: «Логарифмическая функция»

   Авторская разработка урока обобщения и систематизации знаний по теме: «Логарифмическая функция»Методическая разработка посвящена вопросу обобщения способов преобразован...

Лекция информатика 1 курс по теме: Алгоритмы циклической структуры.

Лекция информатика 1 курс по теме:Алгоритмы циклической структуры. ...