Лекция "Численные методы решения уравнений"
учебно-методический материал

Тема 12.2.Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения f(x)=0 предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установления промежутка, в котором других корней данного уравнения нет.

Будем предполагать, что функция f(x) в промежутке [a; b] непрерывна вместе со своими производными f’(x) и f’’(x), значения f(а) и  f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т.е.  f(а) ∙ f(b) < 0 , и обе производные f’(x) и f’’(x)  сохраняют знак во всем промежутке [a; b].

Т.к. действительными корнями уравнения f(x)=0 являются абсциссы точек пересечения кривой y=f(x) с осью ОХ, то отделение корня можно произвести графически.

Иногда полезно уравнение f(x)=0 записать в виде . Действительными корнями исходного уравнения служат абсциссы точек пересечения графиков функций .

Мы рассмотрим 4 численных решения уравнений.

1. Метод дихотомии (метод деления отрезка пополам).

Этот метод можно использовать когда нам предположительно или точно известны границы отрезка, содержащего корень и на этих границах f(x) принимает значения разных знаков, тогда по теореме о достаточных условиях существования корня на заданном отрезке существует хотя бы один корень.

2.  Метод хорд.

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения  f(x)=0  , изолированный  на отрезке [a;b]. Рассмотрим график функции   у= f(x). Пусть  f(а)<0  и  f(в)>0. Точки графика А[a;f(a)]  и В[b;f(b)] соединим хордой .За приближенное значение искомого корня примем абсциссу х1 точки пересечения хорды АВ с осью Ох .

Последовательность чисел   a1, x1, x2,…стремится к  искомому корню уравнения  f(x)=0  .Вычисление приближенных  значений корней уравнения следует вести до тех пор, пока не перестанут изменятся те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е.пока не будет достигнута заданная степень точности)

Если Х-точный корень уравнения  f(x)=0 , изолированный на отрезке [а,в], а   ξ-  приближенное значение корня ,найденное методом хорд ,то оценка погрешности этого приближенного значения такова:

3. Метод касательных (Метод Ньютона)

Пусть действительный корень уравнения  f(x)=0  изолирован на отрезке [а,в]. Будем предполагать, что все ограничения, сформулированные выше относительно f(x), сохраняют силу и в этом случае. Выделяем на отрезке [а,в] такое число x0, при котором  f(x0) имеет тот же знак, что и   f’’(x0)  т.е. f(x0) f’’(x0)>0   (в частности , за x0 может быть принят тот из концов отрезка [а,в], в котором соблюдено это условие). Проведем в точке Мо[x0, f(x0)]  касательную к кривой   y=f(x) .

Полученная т.об. последовательность  x0, x1, x2,…  имеет своим пределом искомый корень.

Для оценки погрешности приближенного значения корня, найденного, методом Ньютона, может быть .использовано неравенство:

4.  Метод итераций.

Если данное уравнение приведено к виду  , где    всюду на отрезке [а,в], на котором исходное уравнение имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального .значения x0, принадлежащего отрезку [а,в], можно построить такую последовательность: …

Пределом этой последовательности является единственный  корень уравнения f(x)=0   на отрезке [а,в]. Погрешность приближенного значения xn  корня Х , найденного методом итерации, оценивается неравенством.

Примеры :