Открытый урок на тему "Решение тригонометрических уравнений"
план-конспект занятия

 «Решение тригонометрических уравнений»

     Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления)

     Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений    различных типов.

     Задачи урока.

     1. Образовательные:

 - закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

- обобщение и систематизация материала;

-  создание  условий для  контроля и самоконтроля  усвоения знаний и умений.

     2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

    3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

    Формы организации работы обучающихся на уроке:

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

    Методы обучения:

 частично-поисковый (эвристический), работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме,  системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

    Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы «Значения тригонометрических функций некоторых углов», «Тригонометрические формулы», системно-обобщающая схема (приложение 1);

 на партах  обучающихся: памятка  по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы - консультации,  лист бумаги для самостоятельной работы, карточки заданий с уравнениями, разноуровневые карточки с домашним заданиям, учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы.» Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ под ред. А.Г. Морковича.

Ход урока

I. Организационный момент. Озвучивание целей урока и плана его проведения. Мотивация.

Цель: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить обучающихся к общению.

 Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

II.  Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос.

Цель: установить уровень знаний и осознанность их применения в рамках изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.

1. Опрос:

      1) Сформулировать определение арксинуса числа.

(Арксинусом числа а называется такое число из отрезка [-П/2; П/2], синус которого равен а.)

      2) Сформулировать определение арккосинуса числа.

(Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0; П], косинус которого равен а.

3) Сформулировать определение арктангенса числа.

(Арктангенсом числа а называется такое число из отрезка (-П/2; П/2), тангенс которого равен а.)

4) Сформулировать определение арккотангенса числа.

(Арккотангенсом числа а называется такое число из отрезка (0; П), арктангенс которого равен а.)

5) Назовите свойства тригонометрических функций с отрицательным значением аргумента.

arcsin (-a) = - arcsin (a)

arccos (-a) =  П - arccos a

arctg (-a) = - arctg a

arcctg (-a) = П - arcctg a

6)  Какие уравнения называются тригонометрическими простейшими уравнениями?

 ( Уравнения sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a называются простейшими тригонометрическими уравнениями)

7) Каковы решения данных уравнений:

sin x = a, а ∈ [-1;1]

( x = (-1)k arcsin a + пk, kZ)

cos x = а, а ∈ [-1;1]

  ( x = ± arccos a + 2пk, kZ)

2.   Вычислите устно:

         а) arcsin         (п/3)

        б) arccos 1        (0)

        в) arcsin (-)        (-п/6)

        г) arccos (-)        (2п/3)

        д) - arcsin         (-п/4)

Исправьте ошибки в решениях тригонометрических уравнений и подумайте об их причинах.

III. Организация разнообразных упражнений по формированию и совершенствованию практических умений и навыков.

А. Эйнштейн  говорил так: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

1этап.

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Самостоятельная работа студентов с последующей взаимопроверкой. Работа в парах.

Работа выполняется на листах бумаги с копиркой.

Текст ответа студенты  пишут на двойной   тетрадном листочке через копирку. Верхний листочек студент, после окончания  работы, сдаёт преподавателю на проверку, а  по второму осуществляется взаимоконтроль.

1 вариант                                                   2 вариант

cos x =                                                sin x =

 sin x +  =0                                     2 sin x +  =0

2 cos (                                2 sin (3x - ) = -

Во время самостоятельной работы обучающимся, которые плохо разобрались с данной темой предлагаются листы-консультанты. Лист-консультант состоит из чередования трех блоков:

1. Опорная формула, написанная цветными чернилами.
2. Решенные примеры.
3. Решение примеров самостоятельно.

Студенты  сдают первый экземпляр работы, по второму экземпляру     осуществляется контроль  в ходе взаимопроверки (правильные ответы записываются на обратной стороне доски). Выполняется работа над ошибками.

2 этап.

Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Указания преподавателя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y. Разберем несколько примеров:

1) 

Данное уравнение соответствует (1) таблицы, поэтому делаем замену ,

получаем квадратное уравнение: ,

находим корни ,

замечаем, что  посторонний корень, поскольку ,

делаем обратную замену, т.е. решаем уравнение , у которого корнями будут числа .

Ответ: .

3)  Решение уравнения самостоятельно с последующей самопроверкой (правильное решение на слайде презентации)

 4 –  x = 4 sin x 

 Так как  x = 1 –  x, то   4 – (1 –  x) = 4 sin x,

3 +  x = 4 sin x,   x - 4 sin x + 3 = 0,               

Пусть y = sin x, получим уравнение

  - 4 y +3 = 0                = 1; = 3.

sin x =1                            или    sin x = 3

x = + 2 n, n Z,           решений нет.

Ответ: x = + 2 n, n Z.

3. Решение уравнений из учебника № 18.8, два студента у доски разбирают решение.

3 этап.

Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

1. ,

,

 или 

,  

                          не имеет решения, т.к. 

Ответ: , 

3) Решение уравнений из учебника № 18.11, два студента у доски разбирают решение.

V.Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемное задание)

Работа в группах.  Группа, решившая уравнение раньше всех,  защищает свое решение.

 или 

, , , 

Ответ: , , 

VI. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению. Разноуровневая домашняя работа (обучающийся сам определяет уровень).

VII. Рефлексия (подведение итогов занятия).

Цель: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем

Содержание этапа:

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили понятие арккосинуса, арксинуса,  вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, способы решения некоторых известных тригонометрических уравнений. У меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений домашней работы большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с обучающимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

-  Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

Оцените.

Я познание сделал своим ремеслом”

Фамилия и имя:…………………………………………………………………………………………….

Сосчитайте суммарное количество баллов. Баллы переведите в отметку  

  балла – «5»  

 баллов – «4»

                           Если меньше 18, то отметки не ставить.

Отметьте в карточке: Достигли ли вы цели? Поднимите руки, кто достиг цели, поставленные в начале урока. Спасибо. Молодцы!    

Приложение 1

Памятка по решению простейших тригонометрических уравнений!

I. При решении уравнения вида      или     используем формулы для частного решения

Для этого надо:

1. Записать уравнение.
2. Справа от него построить окружность и отметить точку (две точки) соответствующую решению уравнения.
3. Записать решение уравнения! Если отмечена одна точка, то прибавляем , если две – то .

Образец:

Ответ:                                        Ответ:

II. При решении уравнения вида  и  , где, причем  , применяем формулы для общего решения:

III. Решения уравнения  , где  записываются в виде:  

Это простейшее уравнение всегда имеет решение!