Интерактивный плакат по теме: "Многогранники"
электронный образовательный ресурс

Слайд 1

Многогранники Автор: Степаненко Ольга Сергеевна - преподаватель ОГАПОУ «Корочанский СХТ»

Слайд 2

Понятие многогранника Призма Пирамида Усеченная пирамида Правильные многогранники Список литературы Содержание:

Слайд 3

Понятие многогранников: Определение. Элементы многогранника. Виды многогранников. Свойства выпуклых многогранников. Обозначения.

Слайд 4

Определение Замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, и ограниченное ею некоторое геометрическое тело, называется многогранником .

Слайд 5

Элементы многогранника Многоугольники, из которых составлена поверхность многогранника, называются его гранями . Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Многогранник обычно обозначается перечислением его вершин.

Слайд 6

Виды многогранников Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые . Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. На рисунке 1, б и в изображены выпуклые многогранники , а, г и д – невыпуклые многогранники .

Слайд 7

Свойства выпуклых многогранников Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками . Свойство 2. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360 0 . Свойство 3 . Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани . Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника . Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти .

Слайд 8

Обозначения V — объем ; S полн — площадь полной поверхности ; S бок — площадь боковой поверхности; S осн — площадь основания ; P осн — периметр основания ; l — длина ребра ; h — высота .

Слайд 9

II. Призма: Определение. Элементы призмы. Свойства призмы. Виды призмы: а) п о виду оснований; б) п о расположению боковых ребер к основанию; в) п равильные призмы ; г) п араллелепипеды . 5) Задача. 6) Задачи для самостоятельного решения.

Слайд 10

Определение Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А 1 А 2 … А n и В 1 В 2 … В n , расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов, называется призмой .

Слайд 11

Элементы призмы Параллелограммы A 1 B 1 B 2 A 2 , A 2 B 2 B 3 A 3 , и т. д. называются боковыми гранями призмы. Многоугольники A 1 A 2 A 3 … A n , В 1 В 2 В 3 … В n , называются основаниями . Отрезки A 1 B 1 , … А n B n называются боковыми ребрами призмы. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется его высотой . Отрезок, соединяющий две вершины не принадлежащие одной грани называется диагональю.

Слайд 12

Свойства призмы 1. Основания призмы являются равными многоугольниками. 2. Боковые грани призмы являются параллелограммами. 3. Боковые ребра призмы равны. 4. Противоположные ребра параллельны и равны. 5. Все боковые ребра равны и параллельны. 6. Противоположные боковые грани равны и параллельны . 7. Высота перпендикулярна каждому основанию. 8. Диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. 9. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы . P – периметр, h – высота призмы, S бок = P осн · h 10. Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней. S пол = S бок + 2S осн . 11. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. V = S осн ∙ Н

Слайд 13

Виды призмы треугольная четырехугольная шестиугольная а) По виду оснований

Слайд 14

Виды призмы б) По расположению боковых ребер к основанию: Прямая призма Наклонная призма

Слайд 15

Прямая призма Прямой называют такую призму, боковые ребра которой перпендикулярны к основаниям . Свойства прямой призмы

Слайд 16

Свойства прямой призмы Боковые грани-прямоугольники. 2. Высота равна боковому ребру. S бок = Р осн ∙ Н , Р осн - периметр основания призмы, Н- боковое ребро. Sпол = Sбок+2Sосн V = S осн ∙Н

Слайд 17

Наклонная призма Наклонной называют такую призму, боковые ребра которой не будут перпендикулярны к основаниям. . Свойства наклонной призмы

Слайд 18

Свойства наклонной призма Боковые грани-параллелограммы. Высоты не совпадают с боковыми ребрами . Sбок = Рперпенд . сеч∙ L, Рперпенд . сеч - периметр перпендикулярного сечения призмы, L- боковое ребро. Sпол = Sбок+2Sосн V = S осн ∙Н

Слайд 19

Виды призмы в) Правильные призмы - это прямые призмы в основании которых лежит правильный многоугольник

Слайд 20

Виды призмы г) Параллелепипеды Параллелепипед - это призма , в основании которой лежит параллелограмм. Наклонный параллелепипед . Прямой параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Куб.

Слайд 21

Наклонный параллелепипед

Слайд 22

Прямоугольный параллелепипед

Слайд 23

Куб

Слайд 24

Задача В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6см., и углом при вершине 120 0 . Диагональ боковой грани, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Дано: АВСA 1 B 1 C 1 – прямая призма, ΔАВС – равнобедренный ∠B=120 0 , AC=6см., А 1 С=10см . Найти: S бок.п . В 1 А 1 С 1 10 В 1 2

Слайд 25

Задачи для самостоятельного решения Дана прямая четырехугольная призма со сторонами основания 4 и 6 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Вычислите S полн . и V призмы. Дана прямая четырехугольная призма со сторонами основания 5 и 7 см. Боковое ребро призмы равно 8 см. Вычислите диагональ призмы. Дан прямоугольный параллелепипед с измерениями 5, 7, и 10 см. Найдите диагональ параллелепипеда . Диагональ куба равна √ 27. Найдите его объем . Дана прямая четырехугольная призма со сторонами основания 6 и 5 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Вычислите диагональ призмы и ее объем.

Слайд 26

III. Пирамида: Определение. Элементы пирамиды. Виды пирамиды. Правильная пирамида. Формулы. Задача.

Слайд 27

Определение Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Многогранник , составленный из n - угольника A 1 A 2 … A n и n треугольников SA 1 A 2, SA 2 A 3 ,…, SA n A 1 , называется пирамидой .

Слайд 28

Элементы пирамиды Пирамида обозначается большими латинскими буквами, начиная с точки S: SA 1 A 2 … A n Отрезки называются боковыми ребрами . Многоугольник A 1 A 2 … A n называется основанием , а треугольники с общей вершиной – боковые грани . Точка S — вершиной пирамиды Высота пирамиды – перпендикуляр SP, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания. .

Слайд 29

Виды пирамиды В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), пятиугольной ( n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр .

Слайд 30

Правильная пирамида Пирамида называется п равильной , если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники . Все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники .

Слайд 31

Формулы Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей всех ее граней: S полн . = S осн .+ S бок ., где S осн – площадь основания, S бок – площадь боковой поверхности пирамиды. Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковой грани. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: S бок . = ½ ∙ P осн ∙ d, где Р – периметр основания пирамиды, d – апофема (высота боковой грани, проведенная из вершины). Объем пирамиды вычисляется по формуле : V = 𝑆 oc h ℎ , где S осн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды

Слайд 32

Задача В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см., а боковое ребро – 5 см. Найдите угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания .

Слайд 33

IV. Усечённая пирамида: Определение. Элементы усечённой пирамиды. Правильная сечённая пирамида Формулы Задачи для самостоятельного решения.

Слайд 34

Определение Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.

Слайд 35

Элементы усечённой пирамиды . Отрезки А 1 В 1 , А 2 В 2 ,… А n В n называются боковыми ребрами усеченной пирамиды. Перпендикуляр, проведенный из какой – либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды . На рисунке СН – высота усеченной пирамиды. Боковые грани усеченной пирамиды представляют собой трапеции.

Слайд 36

Правильная усечённая пирамида . Усечённая пирамида, полученная из правильной пирамиды, сечением, параллельным её основанию, называется правильной усечённой пирамидой . Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называется апофемами.

Слайд 37

Формулы Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему . S бок = ( Р+р)ℎ где Р, р – периметры оснований пирамиды , h – апофема. Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности пирамиды. Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: V = h ( S + S 1 + S * S 1 ) , где h – высота усеченной пирамиды, S и S 1 - площади оснований усеченной пирамиды .

Слайд 38

Задачи для самостоятельного решения Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 4см. высота пирамиды равна 5 см. Найдите боковое ребро пирамиды и ее объем. В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 3см. и 4см. Высота пирамиды равна 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12см., а боковая сторона - 10см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды. Высота и апофема правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 4 и 17 см. Вычислите объем пирамиды . Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм , а её высота равна 21 дм . Найдите объём пирамиды .

Слайд 39

V. Правильные многогранники Определение Куб Правильный тетраэдр Правильный октаэдр Правильный додекаэдр Правильный икосаэдр

Слайд 40

Определение Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Все ребра правильного многогранника — равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны. Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): куб, правильный тетраэдр, правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (додекаэдр), правильный двадцатигранник (икосаэдр).

Слайд 41

Куб Все шесть граней куба — равные квадраты

Слайд 42

Правильный тетраэдр Все четыре грани — равные правильные треугольники

Слайд 43

Правильный октаэдр Все восемь граней — равные правильные треугольники

Слайд 44

Правильный додекаэдр Все двенадцать граней — равные правильные пятиугольники. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине додекаэдра равна 324 °.

Слайд 45

Правильный икосаэдр Все двадцать граней — равные правильные треугольники. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине икосаэдра равна 300 °.

Слайд 46

VI. Список литературы 1. Алешина Т. Н. Обучающие и проверочные задания. Геометрия. 10 класс (Тетрадь)/ Алешина Т. Н. – М: Интелект – Центр. – 2011. – 108 с . 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., «Геометрия : учебник для 10-11 кл .» - М: Просвещение, 2019.- 256 с . 3. Глазков Ю. А., Юдина И.И. Геометрия 10 класс. Рабочая тетрадь: учебное пособие для общеобразоват . учреждений (базовый и профильный уровни) / М.: Просфещение , 2011. – 95 с . 4. Евдокимов Н. ИН. Краткий справочник по математике. 9 – 11 классы. – СПб.: Издательский Дом «литера», 2010. – 288 с . 5. Смирнова И.М. Геометрия 10 класс. Рабочая тетрадь: учебное пособие для общеобразоват . учреждений/ И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Мнемозина, 2009. – 103 с .