Классическое определение вероятности.
план-конспект занятия

Классическое определение вероятности

Теория вероятностей – это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений. Предметом изучения теории вероятностей является исследование вероятностных закономерностей случайных (однородных) массовых явлений. Методы, выявленные в теории вероятностей, нашли широкое применение в большинстве современных наук и различных отраслях деятельности человека.

Особенно широко теория вероятностей применяется для исследования природных явлений. Все протекающие в природе процессы, все физические явления в той или иной степени не обходятся без присутствия элемента случайности. Как бы точно не был поставлен опыт, как бы точно ни были бы зафиксированы результаты эмпирических исследований при повторном проведении эксперимента, результаты будут отличаться от вторичных данных. 
Теория вероятностей применима в робототехнике. Например, некое автоматизированное устройство (первичная заготовка робота) выполняет определенные вычисления. В то время как она ведет расчеты, снаружи на нее систематически воздействуют различными помехами, незначительными для системы, но сказывающимися на результатах работы. Задача инженера состоит в том, чтобы определить, с какой частотой будет возникать ошибка, навязанная внешними помехами. Так же методами теории вероятности возможно разработать алгоритм для сведения погрешности вычисления к минимуму. 
Задачи подобного рода очень часто встречаются в физике и при разработке новых видов техники. Они требуют тщательного изучения не только главных закономерностей объясняющих основные черты данных явлений в общих их понятиях, но и анализа случайных искажений и возмущений, связанных с действием второстепенных факторов, которые придают исходу опыта в заданных условиях тот самый элемент случайности (неопределенности).

 Краткая историческая справка

Как наука теория вероятности зародилась в 17 в. Появление понятия вероятности было связано как с ᴨᴏᴛребностями страхования, получившего значительное распростᴘẚʜᴇние в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.

Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642). Но при этом честь открытия этой теории, которая не только предоставляет возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность.

Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а кроме того разработана теория цепей Маркова. Современный̆ вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. 

Первичные понятия теории вероятностей: 
В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: проводится опыт (испытание), в результате происходят случайные события (обычно говорят короче – события).

 Например, бросают монету и смотрят, какая ее сторона оказалась сверху. В результате этого опыта может выпасть орел – это одно событие, а может выпасть решка– это другое событие. Поскольку выпадение орла зависит от случая, то это случайное событие.

Итак, дадим определение первичных понятий теории вероятностей. 

Опыт (испытание) – это производимые действия. 

Событие – это результат опыта.

Какое-либо конкретное событие является, как правило, делом случая (оно может произойти, а может и не произойти) и поэтому оно называется случайным.

Пример.

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторое событие может произойти, а может и не произойти.

Например:

В 12.00 по мосту проедет красная машина. Перед машиной пробежит черная кошка. При бросании кубика выпадет тройка.

        Такие непредсказуемые события называются случайными. 

        Теория вероятностей изучает различные модели случайных событий, их свойства и характеристики. Разумеется, эта теория не может однозначно предсказать, какое событие в реальности произойдет, но может оценить, какое событие наиболее вероятно. При этом будем считать, что случайные события равновероятные (или равновозможные), - идеализированная модель.

        Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.  

Примеры.

1.  Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместные.      

2.  Брошена монета. Появление орла исключает появление решки. События «появился орел» и «появилась решка» - несовместные.

        Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ. 

        Неравновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое- то преимущество. 

Примеры.

1. Появление орла или решки при бросании монеты представляют собой равновероятные события.

2. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).

        Событие, которое происходит всегда,  называют достоверным событием.

Вероятность достоверного события равна 1.  

Событие, которое не может произойти, называется невозможным.

Вероятность невозможного события равна 0.

Примеры.

1.  Машина заведется без аккумулятора. При бросании кубика выпадет семерка. Это невозможные события.

2. Машина заведется с аккумулятором. При бросании кубика выпадет число, меньше семи. Это достоверные события.

3. Пусть, например, в автосалоне продаются только белые автомобили, продают один. Тогда продажа белого автомобиля – достоверное событие; продажа черного автомобиля – невозможное событие.

4. Приведите примеры достоверных и невозможных событий.

Что такое «теория вероятностей»?

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. (Советский энциклопедический словарь, 1982 год)

Теория вероятностей – это математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким – либо образом с первыми. (А.А.Боровков «Теория вероятностей», М.: Наука, 1986 год.)

Вероятность – это численная характеристика реальности появления того или иного события.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

        Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события.    

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти:

1) число N всех возможных исходов данного испытания;

2) количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А;

3) частное N(A)/ N, оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать так:  Р(А).

Значит  Р(А)= N(A)/ N

Примеры.

1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

Решение. Число стандартных подшипников равно 1000 – 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N(A) = 970 исходов.

Поэтому  Р(А) =

Ответ: 0,97.

Для вычисления вероятности часто используют правило умножения.

        Для того, чтобы найти число всех возможных исходов  независимого проведения двух испытаний  А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А  и число всех исходов испытания В.

Пример.

Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух костей  суммарное число очков окажется равным 5.

Решение. Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях:

1 + 4,  2 + 3,  3 + 2,  4 + 1 – четыре благоприятных случая (N(A) = 4). Всего возможных исходов N = 6·6 = 36 (по шесть для каждой кости). Тогда вероятность рассматриваемого события  

Ответ: .

        Вероятность Р(А) некоторого события  .

При решении некоторых задач удобно использовать свойство вероятностей противоположных событий.    

        События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает не наступление события В, а не наступление события А – наступление события В.

        Событие, противоположное событию А, обозначают символом  . Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. .

Пример. 

В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.    

Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому

N = 1000.

Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.

Поэтому N(A) = 994.

Тогда

Ответ: 0,994.

Эту задачу можно решить с помощью формулы вероятности противоположного события  = {аккумулятор неисправен}. Тогда N(Ā)=6.

Имеем =  Значит,  P(A) = 1- =1 – 0,006 = 0,994.

Ответ:  0,994.

2. Решите самостоятельно:

1. У Маши сломался автомобиль, она набирает номер автосервиса, но понимает, что забыла последнюю цифру номера телефона, найдите вероятность того, что девушка дозвонится до мастера с первого раза.

2. В фирме такси 6 красных и 6 желтых автомобилей. На вызов уехало 8 машин. Определите вероятность события А - все выбранные машины красные.