Комплексные числа и действия над ними
план-конспект занятия

Тема: Комплексные числа и действия над ними

Цель: научиться выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Краткие теоретические сведения.

        Комплексные числа - числа вида Z = a + ib, где a,b – вещественные числа, а i =  - мнимая единица (i2 = −1). Множество комплексных чисел обозначается C.

        Действительные числа a и b комплексного числа Z = a + ib, называются действительной и мнимой частью числа z и обозначаются, соответственно, Rez=x и Imz=y.

        Два комплексных числа z1=a + ib и z2=c + id называются равными в том и только том случае, если a = c, b = d.

Запись Z=a + ib называют алгебраической формой комплексного числа z.

Числа Z=a + ib и =a − ib называют комплексно сопряженными. 

Геометрическое представление комплексного числа

        Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу z = a + ib можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами (a;b), и радиус-вектор R комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис. 1). Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

 - модуль комплексного числа - расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора.

 , где - аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение:                                Z1 + Z2 = (a+ib)+(c+id) = (a+c) + (b+d)i.

Вычитание:                                Z1 - Z2 = (a+ib)-(c+id) = (a-c) + (b-d)i.

Умножение:                                Z1 · Z2 = (a+ib)(c+id)=(ac − bd)+(ad + cb)i.

Деление:                                 .

Умножение на сопряженное:        Z · =(a + bi)(a  -bi)= a2 –b2i2= a2 – b2·(-1) = a2 + b2 – квадрат суммы

Примеры решения задач:

Пример 1. Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме:

Z1 = 4+ 5i,    Z2 = 6−9i.

        Решение:   1) Z1 + Z2 = (4+ 5i) + (6−9i)= 4+6+5i -9i.= 10 – 4i

           2) Z1 - Z2 = (4+ 5i) - (6−9i)= 4-6+5i +9i.= -2 + 14i

         3) Z1 ·Z2 = (4+5i)(6− 9i)= 24 −36i + 30i− 45i2= 24 -6i - 45·(-1) = 69 -6i.

         4)

Ответ: Z1 + Z2 =10 – 4i, Z1 - Z2 = -2 + 14i, Z1 ·Z2 =69 -6i,

Пример 2. Раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения:

1) (2+ 3i)2 = 22 + 2·2·3i + (3i)2 = 4 +12i + 9·(-1) = -5+12i,

2) (5 + 4i)(5  - 4i)= 52 –42i2= 25 – 16·(-1) = 25 + 16 =4,

3) (3-5i)2 = 32 - 2·3·5i + (-5i)2 = 9 - 30i + 25(-1) = -16- 30i.

Пример 3. Изобразим на комплексной плоскости числа

Z1 = 2 + i;         Z2 = 3i;        

Z3 = -3 + 2i;         Z4 = -1 – i. 

Задания для самостоятельного решения

1. Изобразите на плоскости заданные комплексные числа:

Z1 = 4i                    Z2 = 3 + i

Z3= - 4 +3i             Z4= - 2 -5i

2 . Вычислите модуль комплексного числа

Z = 3 + 4i

3. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

Z1 = (3 + 5i) ,    Z2 = (7 – 2i)

4. Выполните действие над комплексными числами:

а)  (2 + 3i)(5 – 7i),
б) (3 + 2i)(3 – 2i),

в) (3 + 5i)2,

г) .

5. Решите уравнения:

а) x2 – 4x + 13 = 0

б) 2,5x2 + x + 1 = 0

в) x2 + 3x + 4=0

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение комплексного числа.
2. Какие числа называются комплексно – сопряженными?
3. Какие комплексные числа называются равными?
4. Как вычислить модуль комплексного числа?
5. Как производятся действия над комплексными числами в алгебраической форме?