Открытый урок по дисциплине "Элементы высшей математики"
план-конспект урока

Министерство образования Московской области

Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Московской области

«Подмосковный колледж «Энергия»

Открытый урок

Дисциплина: «Элементы высшей математики»

Тема:

Кривые второго порядка

Специальность:

09.02.07  Информационные системы и программирование

Курс: II

Преподаватель  Бекаревич А.В.

2019 год

Дисциплина: «Элементы высшей математики»

Тема:

Кривые второго порядка

Дата: 16.10.2019

Группа:  2ИС1-18Э

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

 Образовательная:

- проверить уровень усвоения обучающимися темы ««Уравнения прямых. Расстояние от точки до прямой»;

 - в обзорном порядке дать определение кривых второго порядка;

- ввести определение окружности и эллипса, гиперболы и параболы;

- рассмотреть уравнения рассмотренных фигур и их характеристик;

- рассмотреть задачи по определению уравнений и основных характеристик кривых второго порядка

Развивающая:

- изучение и восприятие нового материала;

- развитие способностей: логически рассуждать, выделять главное, анализировать, делать выводы;

- развитие умения применять знания для решения практических задач.

Воспитательная:

- воспитание инициативы и творчества;

- воспитание ответственного отношения к учебному труду

Методическая:

-развитие внимания, логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, активности учащихся на уроке;

-воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точности и ясности словесного выражения мысли; сосредоточенности и внимания. 

В результате изучения темы студент должен:

знать :

- канонические уравнения кривых второго порядка и их характеристики;

- общий вид графиков кривых второго порядка

уметь:

- определять вид кривой второго порядка и его характеристики;

- строить графики кривых второго порядка

Оборудование к уроку:

- Компьютер с ОС Windows 7/8/10

- Мультимедийный проектор.

- Презентация.

План урока.

Ход занятия:

1. Организационный момент  

1. Проверка подготовленности кабинета к занятию.
2. Приветствие обучающихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.

2. Введение в тему урока. Целеполагание

1. Объявление темы и цели урока

3. Актуализация опорных знаний

Повторение пройденного материала  по теме «Прямая на плоскости» Поверочная работа.  

Вариант 1

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
2. Определить угловой коэффициент k и длину отрезка , отсекаемого прямой на оси OY, для следующей прямой  2x – y + 3 = 0
3. Найти расстояние от точки P(2, −1) до прямой 4x + 3y + 10 = 0.

Вариант 2

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.
2. Определить угловой коэффициент k и длину отрезка , отсекаемого прямой на оси OY, для следующей прямой  3x – 2y - 6 = 0
3. Найти расстояние от точки М(-1; 1) до прямой 3х + 4у – 12 = 0   

4. Изучение нового материала –

Обзорная лекция.

План изложения нового материала по презентации «Кривые второго порядка»:

1. Кривые  второго порядка.
2. Окружность, ее уравнение и свойства.
3. Эллипс, его уравнение и свойства.
4. Гипербола, ее уравнение и свойства.
5. Парабола ее уравнение и свойства.
6. Перенос и поворот осей координат.

5. Первичное усвоение знаний – практическое занятие

Решение на доске и в тетрадях:

 Закрепить основные понятия темы, научиться составлять уравнения кривых второго порядка, определять свойства кривых второго порядка по уравнению.

Задача 1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно , а малая полуось .

Решение.

 По условию , т.е. .

Мы знаем, что , отсюда , т.е.  или .

Уравнение эллипса имеет вид:

.

Задача 2. Найти координаты фокусов и вершин гиперболы . Написать уравнение её асимптот и вычислить эксцентриситет.

Решение.

 Напишем каноническое уравнение гиперболы, для этого обе части уравнения поделим на . После сокращения получим:

.

Отсюда видно, что , т.е.  и , т.е. .

Для гиперболы , отсюда .

Теперь можем написать координаты вершин и фокусов гиперболы:

.

Эксцентриситет , а уравнения асимптот имеют вид:

 и .

 Задача 3. Составить уравнение параболы и её директрисы, зная, что она симметрична относительно оси , фокус находится в точке , вершина совпадает с началом координат.

Решение.

Будем искать уравнение параболы в виде . По условию , а значит . Итак, искомое уравнение имеет вид: , уравнение её директрисы: .

Задача 4. Найдите координаты центра и радиус окружности:

Решение.

Выделяя полные квадраты суммы и разности слагаемых в левой части уравнения, получим:  или; .

Центр: , Радиус: .

Задача 5. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

Решение. Указанное уравнение определяет параболу . Действительно,

,

.

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке  и .

Задача 6. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

Решение.

Преобразуем уравнение:

.

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые  и

 VI.Задание для самостоятельной работы обучающихся  во внеаудиторное время

1. Проработать конспект.

Решить: 1. Составить уравнение окружности с центром О(3; -2) и радиусом r = 5. Построить ее.

2. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая ось 2b = 6, а расстояние между фокусами = 8.
3. Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 16х2 + 25у2 = 400.

VII.Подведение итогов, рефлексия 

Сообщение преподавателя, высказывания обучающихся, выставление оценок.