Сборник дидактических материалов по дисциплине «Теоретические основы начального курса математики» / Составитель В.И. Анисимова - г. Старый Оскол 2018
методическая разработка

ДЕПАРТАМЕНТ ВНУТРЕННЕЙ И КАДРОВОЙ ПОЛИТИКИ

БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СТАРООСКОЛЬСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

ОГАПОУ СПК

г. Старый Оскол

2018

Рассмотрен и рекомендован к работе предметно-цикловой комиссией естественно-математических дисциплин

Протокол №1   от 31.08.2018 г.

Председатель ПЦК__________Анисимова В.И.

Составитель:    Анисимова В.И.,  преподаватель математических дисциплин ОГАПОУ «Старооскольский педагогический колледж»  

Рецензент:        Палашева И.И. к.п.н., доцент, доцент кафедры педагогики и физической культуры СОФ НИУ «БелГУ»

Сборник дидактических материалов по дисциплине «Теоретические основы начального курса математики» / Составитель В.И. Анисимова - г. Старый Оскол 2018

Учебное пособие является сборником задач по математике для студентов специальности «Преподавание в начальных классах». Задания, включённые в пособие, направлены на отработку теоретических знаний, практических умений и навыков. Материалы пособия могут быть использованы при организации самостоятельной работы студентов.

С целью повышения уровня математической грамотности и проверки знаний по математике данное пособие может быть использовано студентами других специальностей.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка ……………………….…….3

1. Множества и операции над ними……………….5
2. Математические понятия, предложения, доказательства…………………………………….8
3. Отношения и соответствия ……………..……...11
4. Целые неотрицательные числа………………...15
5. Системы счисления…………………………….16
6. Делимость целых неотрицательных чисел……17
7. Положительные рациональные числа…………21
8. Уравнения, неравенства, функции…………….26
9. Величины и их измерение……………………...32

Список литературы……………………………..…..33

Пояснительная записка

Одной из главных задач подготовки студентов к будущей профессии является формирование практических умений и навыков. Настоящее учебное пособие ориентировано на творческое осмысление студентами теоретических знаний по дисциплине «Теоретические основы начального курса математики».

        В сборнике представлены упражнения и задачи, дополняющие систему упражнений учебника «Математика» автор Л.П. Стойлова.

        Материал сборника  целесообразно использовать для организации устного счёта, математических диктантов, самостоятельной работы студентов. Он даёт возможность преподавателю и студентам составлять дифференцированные задания для самостоятельных и контрольных работ.

        Важно, чтобы система заданий выявляла как знания студентов по определенной теме (разделу), так и понимание сущности изучаемых предметов и явлений, их закономерностей, умения самостоятельно делать выводы и обобщения, творчески использовать знания и навыки.

В сборнике дидактических материалов содержатся задания практически по всему курсу дисциплины «Теоретические основы начального курса математики». Данный сборник составлен в соответствии с рабочей программой для специальности 050709.52 «Преподавание в начальных классах». Задания составлены по схеме «от простого к более сложному».

I. Множества и операции над ними

Устные упражнения

1. Даны множества:

P={x|xN, x<10  и  x – чётное число},

Q={x|xN, x<20  и  x – делится на 5}.

Перечислите элементы данных множеств. Найдите: РQ,  PQ,  P/Q.

2. А – множество студентов педагогического. колледжа, В – множество девушек в нём, С– множество студентов второго курса. В каком отношении находятся данные множества и опишите множества:  AB,  A∩B,  A∩B∩C, А/В,  AС,  ABС.
3. Из каких пар чисел будет состоять: А × В, А × С, если:

A={x| xN, I≤x≤5},  B={y| yZ, 0 ≤ y ≤ 4},

C={y| y N, 3 ≤ y ≤ 6}.

4. Назовите в каком отношении будут находиться множества М, N, К, если: М: «параллелограммы», N: «прямоугольники», К: «квадраты».

Упражнения для закрепления:

1. А – множество студентов педагогического колледжа, В – множество девушек в нём, С – множество отличников этого колледжа. Изобразите множества А,В,С при помощи кругов Эйлера. Отметьте штриховкой следующие множества: а) А∩В,     б) А \ (В∩С).
2. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения множеств Х и У, если Х ={x|xZ, -2≤x≤2}, Y={y|yR,  -I≤y≤3}.
3. Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между множествами А,В,С, если А: «треугольники», В: «прямоугольные треугольники», С: «равнобедренные треугольники».

Самостоятельная работа.

Вариант -1

1. Даны множества:  А={х| хR, I ≤х≤ 6},

B={х| хR, ­I ≤х≤ 3}, C={х|хR, 2≤X≤5}.

Укажите  характеристическое свойство элементов множества:   а)ABC,    б)A\(BC).

2. Р – множество учащихся класса, Q – множество мальчиков в нём, S – множество спортсменов в этом классе. Изобразите множества Р, S, Q, при помощи кругов Эйлера
3. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения  множеств X и Y, если  

 X={x| хR, -3≤x≤3},   Y={y| yR, -1≤y≤2}.

Вариант -2

1. Известно, что К – множество мальчиков класса, Z – множество учащихся класса, занимающихся в кружке по рисованию. Сформулируйте условия, при которых:

а) KZ=Ø;   б) KZ=K.

2. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера высказывания :

а) ни один параллелограмм не является трапецией;

б) любой квадрат является ромбом.

3. Укажите характеристическое свойство элементов множества X=A\(BC),

если   A={ х| хR, х>0},   B={ х| хR, 17≤х≤25},   C={ х| хR, х>23}.

Тестовые задания по теме:

 «Понятие множества, способы задания, отношения».

Вариант - I

В каждом задании установите верный ответ из числа предложенных  А), Б), В).

1.  -2  Z

А) -2 – натуральное число;

Б) -2 – целое число;

В) -2 – не принадлежит множеству целых чисел.

2. А = {x/x  N,   1

A) A = {2, 3, 4};

Б) A = {1, 2, 3, 4, 5};

В) A = {1, 5}.

3. А=B

А) А  В;

Б) В  А;

В) А  В  и  В  А.

4. Подмножества множества А = {m, n}:

А) {m}, {n};

Б) Ø, А, {m}, {n};

В) А, Ø

5. В каком отношении находятся множества А и В, если:

А – равносторонние треугольники, В – равнобедренные треугольники.

А)       А         В                           Б)                  В)                

                                          А     В                     В             А

Вариант - II

В каждом задании установите верный ответ из числа предложенных  А), Б), В).

1. -3  N

А) -3 – не целое число;

Б) -3 – не натуральное число;

В) -3 – натуральное число.  

2. А = {-2, -1, 0, 1}

A) A = {x/x  Z,   -2≤x≤1};

Б) A = {x/x  N,   -3

В) A = {x/x  Z,   -2

3. X={2, 4, 6} и Y={6, 4, 2}

А) X и Y пересекаются

Б) X  Y

В) X = Y

4. Подмножества множества А = {f, k}:

А) {f}, {k};

Б) Ø, А, {f}, {k};

В) А, Ø

5. В каком отношении находятся множества А и В, если:

А – равнобедренные треугольники, В – прямоугольные треугольники.

     А)         В                            Б)                                 В)  

А                      А=В                 А      В

II Математические понятия, предложения, доказательства

Устные упражнения

1. Сформулируйте определение квадрата. В этом определении укажите определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие.
2. Дайте определения всем логическим операциям. Приведите примеры.
3. Сформулируйте истинные предложения, используя слова: «Если…, то» или «тогда и только тогда, когда», «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»: «Число делится на 2, число делится на 4.»
4. Является ли данное рассуждение дедуктивным, выявите схему дедуктивного рассуждения:

а) Противоположные углы ромба равны; четырехугольник ABCD- ромб, следовательно, его противоположные углы равны.

б) Если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3; число 121 не делится на 3, сумма цифр числа 121 не делится на 3.

5. Сформулируйте теоремы: обратную, противоположную, обратную противоположной данной. Какая из них истинна? «Диагонали прямоугольника равны»

Упражнения для закрепления

1. Постройте таблицу истинности:
2. Сформулируйте истинные предложения, используя слова: «Если…, то» или «тогда и только тогда, когда», «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»: «Число делится на 12, число делится на 3 и 4.»
3. Является ли данное рассуждение дедуктивным, выявите схему дедуктивного рассуждения:

а) Противоположные углы ромба равны; четырехугольник ABCD- не ромб, следовательно, его противоположные углы не равны.

б) Если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3; число 423 делится на 3,сумма цифр числа 423 делится на 3. 

4. Сформулируйте теоремы: обратную, противоположную, обратную противоположной данной. Какая из них истинна? «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны»

Самостоятельная работа.

Вариант -1

1. В данном определении выделите определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие: «Значение переменной, которое обращает уравнение в истинное числовое равенство, называется его решением».
2. Постройте таблицу истинности:
3. Сформулируйте истинные предложения, используя слова: «Если…, то» или «тогда и только тогда, когда», «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»: «Четырехугольник – прямоугольник, четырехугольник - квадрат».
4. Является ли данное рассуждение дедуктивным, выявите схему дедуктивного рассуждения:

Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный. Треугольник АВС не равнобедренный, следовательно, он – не равносторонний.

Вариант -2

1. В данном определении выделите определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие: «Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины и делящий угол пополам».
2. Постройте таблицу истинности: .
3. Сформулируйте истинные предложения, используя слова: «Если…, то» или «тогда и только тогда, когда», «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»: «Число делится на 3, число делится на 9.»
4. Является ли данное рассуждение дедуктивным, выявите схему дедуктивного рассуждения:

Противоположные углы ромба равны; четырехугольник ABCD- не ромб, следовательно, его противоположные углы не равны.

III.Отношения и соответствия.

Понятие отношения. Способы задания отношений.

Устные  упражнения

Отношение Р: «число х на 3 больше числа у" задано на множестве X={0,3,4,6,7}

а)Перечислите все пары чисел из множества X, находящихся в отношении Р.

б)Задайте отношение Р при помощи уравнения.

д)Сформулируйте отношение, обратное и противоположное отношению P

Упражнения для закрепления

а)        На множестве М = {2, 4. 8. 16, 32}. задайте отношения и выпишите пары чисел, удовлетворяющие им:

R1 - «ху»,  R2 - «ху»,  R3 - «больше в 2 раза»,   R4  - «меньше в 2раза»,   R5 - «кратно». Укажите способы задания отношений.

б)        Являются ли полученные множества подмножествами декартово произведение М х М.?

в)        Задайте на множестве отрезков отношение, при помощи которого можно упорядочить это множество.

Свойства отношений.

Устные упражнения

1. На рисунке изображены графы различных отношений, заданных на множестве С = {5, 4, 3, 6, 2 }

Укажите среди них графы: а) рефлексивного отношения, б)симметричного отношения, в)отношения эквивалентности, г) отношения порядка.

2. Множество пар чисел, находящихся в отн. Q , заданном на множестве X={l,2,3} есть: {1,2; 1.1; 2,2; 2,1; 3,1; 3,3} Определите свойства отн. Q. Можно ли утверждать, что Q.- отн. эквивалентности?

Упражнения для закрепления

1. На множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12} построить графы отношений: «в 2 раза меньше», «меньше на 1». «меньше на 2», «больше на 3».Какие способы задания при этом были использованы? Перечислите свойства данных отношений.
2. У меня 3 карандаша: желтый, черный, коричневый. Назовите самый короткий и самый длинный, если черный короче желтого, а желтый короче коричневого. Какое отношение задано? Каковы его свойства?

Самостоятельная работа.

Вариант -1

1. Отношение задано перечислением пар: М={(2,5);(3,6);(4,7);(9,12)}.        Задайте его характеристическим свойством и постройте график.
2. На множестве Х={1, 3, 7, 11, 14} постройте граф отношения «меньше или равно», укажите свойства и вид отношения.
3. Задать на данном множестве отношение «равно», указать его свойства, вид отношения, выписать классы эквивалентности.

К = {1/3, 2/7, 15/45, 8/28, 11/12, 33/36, 3/9, 1/7}

4. На какие классы эквивалентности можно разбить множество четных чисел? Приведите примеры.
5. Записать пофамильный список студентов, сидящих на вашем ряду, составить отношение «следует за», указать его свойства и вид.

Вариант -2

1. Отношение задано перечислением пар: Р = {(4, 2); (5, 3); (7, 5); (10, 8)}. Задайте его характеристическим свойством и постройте график.
2. На множестве Р = {2, 4, 8, 10. 21} постройте граф отношения «больше или равно», укажите его свойства и вид.
3. Задать на данном множестве отношение «равно», указать его свойства, вид отношения, выписать классы эквивалентности.

N= {9/4, 7/2, 45/18, 45/20, 28/8, 27/12, 5/2, 1/6}

4. На какие классы эквивалентности можно разбить множество нечетных чисел? Примеры.
5. Запишите пофамильный список учащихся, сидящих на вашем ряду, составьте отношение «записан перед», укажите его свойства и вид.

Понятие соответствия.

Устные упражнения

а)        Наша семья отправилась в спортивный магазин. На витрине мы увидели велосипед, мяч, удочку, лыжи, рюкзак, ласты. Интересы у нас разные. Мама любит путешествовать на велосипеде, папа ловить рыбу, сестра любит подводное плавание, а я играю в футбол и увлекаюсь рыбалкой. Какой предмет на витрине соответствует вкусам каждого из нас?

б)        А = (словарь, маляр, плотник, парикмахер), В = (пила, топор, ножницы, кисть). Какой инструмент по характеру работы соответствует специалисту?

в) А = (самолет, ракета, человек, автомобиль, черепаха). В = (5км/ч, 6км/сек, 850км/ч, 5м/мин. 100км/ч). Какая скорость соответствует движущему объекту?

Взаимнооднозначное соответствие.

Устные упражнения

Таблица представляет расписание дежурств. Какого числа дежурит Иванов? Петров? Сидоров? Кто дежурит третьего,  восьмого, десятого? Сколько дней дежурит каждый?

а)        Составьте график дежурства своей группы на текущий месяц

б)        М = {а, в, д, ж}  К = {б, г. е, з,}

Каждой букве из множества М поставьте в соответствие букву из множества К. идущую за ней по алфавиту. Какое соответствие установлено? Ответ обоснуйте.

в)        Каждому выражению из множества А поставьте в соответствие его значение:

А= {9/10*5/6; 40/7*14/5; 6/7*(11/18-5/12); (5/12+3/8)*12/19; 3/2*(5/3-10/6)*13}

В= {3/4; 16; 1/6; 1/2; 0}

IV.Целые неотрицательные числа

Устные упражнения

1. Прочитайте записи: п(А)=5;  п(В)=1;  п(С)=0.

Сколько элементов содержит каждое из множеств:

A) A = {x/x  Z,   -2≤x≤1};Б) В = {x/x  N,   -3 Z,   2

2. Решите устно задачи и обоснуйте выбор действия, используя теоретико-множественную терминологию.

а) Дима сорвал 6 слив, Нина – 4. Сколько слив сорвали Дима и Нина вместе?

б) В корзине было 10 морковок, 3 морковки отдали кроликам. Сколько морковок осталось в корзине?

в) В каждой коробке 6 карандашей. Сколько карандашей в трёх коробках?

г) 12 яблок разложили в 3 вазы поровну. Сколько яблок лежало в каждой вазе?

3. Вычислите удобным способом:

а) 209+66+91+34+72,

б) (2751+3467)+749+1333

4. 3) Объясните тремя способами, почему 2<5.

Упражнения для закрепления.

1. 1. Объясните почему:   4+2=6,   3-1=2,   5*0=0,   8:4=2.
2. Запишите дистрибутивный закон умножения целых неотрицательных чисел относительно сложения и объясните, какие преобразования выражение возможны на его основе.
3. Вычислите рациональным способом значение выражения и укажите все случаи использования законов умножения:

а) 4*8*3*25*125      б) 349*23*56*349+349*21

4. Найдите значения выражений, используя:

а) правило деления суммы на число: (80048+32888): 8,

б) правило деления числа на произведение: 156: (13*12)

5. Разбейте множество натуральных чисел от 13 до 30 на классы чисел дающих одинаковые остатки при делении на 5. Сколько классов получилось?  

V. Системы счисления 

Устные упражнения.

1. Назовите какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел.
2. Какие цифры используются для записи чисел в троичной, пятеричной, двенадцатеричной системах счисления?
3. Сравните числа:  312034   и  312134 .

Упражнения для закрепления.

1. Покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения, вычитания, умножения чисел:   343  и  126.
2. Обоснуйте процесс деления а на в, если  а = 2045, в = 47.
3. Выполните действия, ответ запишите в троичной системе счисления:   (101112 - 10012) * 1012;

2034 * 345 + 1134 .

VI Делимость целых неотрицательных чисел.

    Понятие отношения делимости и его свойства.

Устные упражнения

а)        Назовите все пары натуральных чисел, произведение которых равно 12, 16, 50, 120.

б)        Записать все делители чисел 18 и 36, 12 и 16, 30 и 40. Назовите одинаковые делители, выберите наибольший и наименьший из них.

в)        Назовите по три числа, кратных 2, 10, 5, 6. Назвать числа, кратные 5 и 7, 5 и 10. Сколько их? Как вычислить?

г)        Найти частное чисел: 204 и 12, 240 и 8, 182 и 13, 1224 и 12. Какое из данных чисел кратно другому? Какое является делителем другого? Делителем какого числа является частное?

Упражнения для закрепления

а)        Назовите наибольшее двузначное число, кратное 15; наименьшее натуральное число, кратное 100;

все двузначные числа, кратные 11;

все числа, для которых кратно 12.

б)        Напишите: 3 натуральных числа, являющихся делителями 60, 55.

Три натуральных числа, для которых кратно 60, 55.

в)        Докажите: число 17442 кратно 171, число 87 – делитель 8961, число 3918 не кратно 97, число 73 - не делитель 14747.

г)  Найдите наименьшее натуральное число, кратное 3 и 4;

8 и 12; 15 и 45; 20 и 30.

д)  Написать три натуральных числа, для которых 15 - кратное,     15 - делитель.

Делимость суммы, разности, произведения.

Устные упражнения

а)        Не вычисляя суммы, установите, делится ли она на 11? 330 + 22,44+ 100.

б)        Не вычисляя суммы, докажите, что: 15 + 75 делится на 5, 32 + 48 делится на 8, 720 + 840 делится на 10, 1200 + 600 делится на 30.

в)        Установите, делится ли 183 на 18, 2432 на 8, представив делимое в виде суммы - х слагаемых.

г)        Дано произведение 5 • 12 = 60. Найдите все делители 5. 12. Проверьте, будут ли эти числа делителями 60?

д)        Назовите 4 числа, на которые делится произведение 55 и 14,21 и 10, 17 и 3,33 и 12.

е)        Делится ли произведение 99 и 100 на 2, на 3, на 4, на 5. на 10. на 11, на 12? Почему?

ж)        Найти все делители чисел 18. 12, 8, 96.

Есть ли числа меньше 96, на которые 96 делится, а 12 и 8 не делятся. Если есть, то, какие это числа?

Признаки делимости чисел в десятичной системе счисления.

Устные упражнения

а)        Назовите однозначные числа, кратные числу 2, не кратные числу 2, как называются эти числа?

б)        Запишите подряд 5 натуральных чисел больших 11. Какими цифрами они заканчиваются?

в)        Назовите 5 натуральных чисел, делящихся на 5, начиная с наименьшего. Сколько всего однозначных чисел, кратных 5? Запишите 3 последовательных четных (нечетных) числа, кратных 5.

г)        Назовите числа от 80 до 100, кратные 3. наименьшее и наибольшее трехзначное число, кратное 3.

д)        Как установить,  делится ли 954 на 9? на 6?

е) На какие из чисел 2, 3, 5 делится число 216, 450, 1002, 4425, 1731?

Упражнения для закрепления:

а)        Число кратно 3. Восстанови пропущенную цифру: 14_ , 5_5, _7.

б)        Какие из чисел делятся на 3, но не делятся на 9, не делятся, ни на 3, ни на 9? 1008, 11031, 17505, 74820, 41764, 6155.

Самостоятельная работа.

Вариант - 1.

1. Не выполняя деление, установите, что:

а)        сумма 100, 75, 405 и 810 делится на 5;

б)        число 4824 делится на 24.

2. Не вычисляя сумму, установите:

а)        четная она или нечетная: 482 + 48 + 238;

б)        кратна ли она 5: 867 +173 + 450.

3. Какие из чисел 1854, 1845, 7560, 23100 делятся на 2, на 3, на 2 и 3, на 3 и 5?

Вариант - 2

1. Не выполняя деление, установите, что:

а)        сумма 750, 100, 201 и 400 не делится на 10;

б)        число 3336 делится на 3.

2. Не вычисляя сумму, установите, четная она или нечетная: 813 + 75+412, кратна ли она 5: 312 + 417 + 287.
3. Какие из чисел 1854, 1845, 7560, 23100 делятся на 5,на 9, на 2 и 5, на 3 и 9?

Наибольший общий делитель и наименьшее общее

кратное.

Устные упражнения:

а)        Используя признаки делимости докажите, что следующие числа составные: 87, 92, 105, 100, 267, 834, 9432.

б)        Разложите на простые множители числа: 120, 140, 45, 39, 96, 102, 168, 176.

в)        Назовите два числа, каждое из которых раскладывается на 2 одинаковых простых множителя. 3 одинаковых простых множителя и 3 разных простых множителя.

Упражнения для закрепления:

а)        Найдите общие делители чисел, подчеркнуть наибольший: 18 и 16, 30 и 45. 90 и 180, 12 и 96, 45 и 72, 32 и 48, 30 и 50, 12 и 30.

б)        Назовите наименьшее число, кратное двум данным числам: 28 и 7,  5 и 3, 60 и 12, 12 и 8, 20 и 90, 15 и 20.

в)        Найдите НОК чисел: 18 и 36;   25 и 10;   11 и 7;  9и14;    100,150,250;        80,240,360.

г)        Вычислите НОД чисел: 150 и 175;   680 и 612;   12, 18 и 44;   5, 7 и 12.

Дифференцированные задания

Средний уровень сложности

1.Запишите общий вид чисел, кратных 3;5.

2.Не находя значения выражения, установите, делится ли оно на 2: А) 232+116+928;              Б) 687 * 442.

3.Не производя деления, установите, какие из чисел делятся на 4 и какие на 9:            639;  2316;  925;  7020.

Высокий уровень сложности

1.Докажите, что сумма двух нечётных чисел есть число чётное.

2.Не находя значения выражения установите, делится ли оно на 3            987 * 432 + 243 * 631.

3.Какую цифру необходимо поставить вместо *, чтобы получилось число, делящееся на 5 и на 9 одновременно       873*;  18*5;

VII Положительные рациональные числа.

Понятие дроби.

Устные упражнения

а)        Какую часть часа составляет 1 мин., 10 мин., 30 мин., 10 мин.?

б)        Какую часть метра составляет 1см, 20см, 30см, 50см?

в)        Назовите десятую часть каждого из чисел: 5, 7, 10, 15, 20, 100.

г)        Какую часть суток составляет 2ч, 8ч, 12ч, 18ч, 26ч, 48ч?

Упражнения для закрепления

а)        Расположите в порядке возрастания: 10/11, 10/10, 10/17, 10/2, 10/3, 10/21, 10/20, 10/100, 10/1

б)        Расположите в порядке убывания:

     3/17, 3/14, 3/5, 3/8, 3/15, 3/2, 10/20, 3/20, 3/1

в)        Сократите дроби:

     72/36, 84/20, 100/50, 3/8, 306/212, 432/513, 1715/1055,         166/72,  168/96, 108/180, 256/40, 114/148

г)        Приведите дроби к общему знаменателю:

     3/8 и 7/20; 1/10 и 4/15; 5/18 и 5/24; 5/6 и 7/16; 7/45 и 5/24; 5/18 и 5/24;  23/16 и 13/24.

Понятие положительного рационального числа.

Устные упражнения

а)        Назовите по три дроби равных данным: 2/3, 1/100, 4/17

б)        Какую часть кг составляют 100г, 250г, 800г, 1200г. 1500г?

в)        Как изменится значение дроби 4/10,  если

её числитель разделить на 2,

её знаменатель разделить на 2,

числитель умножить на 5,

знаменатель умножить на 5,

числитель и знаменатель умножить на 3.

числитель и знаменатель разделить на 2.

г)        Сколько третьих долей в  2/6, 3/9, 14/21

пятых долей в 6/10, 9/15, 16/20

д)        Вместо буквы поставить число, чтобы равенство было верным:

    8/12=х/3,   5/20=1/у,   14/21=2/х,   18/24=у/4

Упражнения для закрепления.

а)        Одно из слагаемых 336, оно составляет 3/4  суммы. Найдите второе слагаемое.

б)        Найдите разность двух чисел, если вычитаемое равно 721, оно составляет  7/8 уменьшаемого.

Сложение и вычитание положительных рациональных чисел.

Устные упражнения

а) Найти суммы: 4/5+21/100; 1/2+3/4; 4/5+7/10; 3/14+5/7; 5/8+1/2; 9/25+4/5; 11/12+11/60.

б)        Найти разности: 3/4-1/2; 4/7-5/21; 4/21-4/63; 11/12-5/6; 1/4-3/16; 5/13-10/169; 13/20-4/5.

в)        Найти    значение выражения, применив законы сложения: (3/5+1/3)+2/3; (1/2+3/4)+1/2; 1/5+(9/11+4/5); 2 целых 4/9+(3 целых 1/7

5/9); (7 целых 2/7+ 1 целая 5/12)+5/7; (3 целые 7/10+2 целые 4/5)+3 целые 1/5.

Упражнения для закрепления

а) Найти значение выражения наиболее простым способом:

1) 12 целых 7/11+(4 целых 4/11-2 целых 2/7);

2) (3 целых 12/17+4 целых 8/21_-2 целых 1/17;

3) 98 целых 34/39+(101 целая 7/32+2 целых 5/39);

4) (14 целых 2/5-3 целые 12/97)+5 целых 13/15.

б) Ширина прямоугольника 2 целых 4/5 дм, а длина на 1 целую 3/5 дм больше. Найти периметр прямоугольника.

в) Совхоз отвёз на базу 35 целых 3/4 т груш, что на 25 целых 1/2 т меньше, чем яблок. Сколько всего фруктов отвёз совхоз на базу?

Умножение и деление положительных рациональных чисел.

Устные упражнения

а) Решить уравнение: х – 2/9=5/9, х-5/9=1,1-х=2-3

б) Найти значение выражения: 7/а-3/а, при а=1,2,3,4,5,10,100.

  3а/20-а/15, при а=0,1,2,15,30,100.

  5х/4-3х/5, при х=0,1,5,20,100

в) Вычислить произведение: 3/4*1/3; 8/11-11/13; 5*1/5; 4/3*3/4; 4/5*5/7; 3/5*2; 2/7*7.

Математический диктант.

Вариант-1

1. Из числителя и знаменателя дроби 11/16 вычли по 8. На сколько полученная дробь меньше данной?
2. На какое число надо умножить 2/3, чтобы получилось 3?
3. Какое число надо разделить на 1 целую 3/8, чтобы получить 1 целую 5/11?

Вариант-2

1. 1.Из числителя и знаменателя дроби  15/7 вычли по 4. На сколько полученная дробь больше данной?
2. 2.Если неизвестное  число  умножить  на  1целую 5/21, то получится 4целых9/14 . Найти неизвестное число.
3. 3.Задумано число.  Если  на  него  разделить 7/8,  то получится 1 целая 17/18. Какое число задумано?

Самостоятельная работа.

Вариант -1

1. Вычислите:

а) 14 целых 3/13 + 5 целых 10/33 + 11 целых 4/11 + 8 целых 4/39

б) 4 целых 2/5 – (8 целых 7/60 + 3 целых ¾ - 8 целых 7/15)

в) (2 целых 3/20 + 1 целая 5/16) : 27 целых 7/10 + 5 целых 1/7 * 3 целых 17/20 – 14 целых 3/20

2. Решите уравнение:

а) (х+5/7)-1/9=1 целая 2/7*2

б) (1 целая 16/25-х)-4/5=3 целых 2/5*5/6

3.Туристы от лагеря до места экскурсии проплыли на плоту 11 целых 2/5  км, а обратно возвращались на лодке со скоростью 5 целых 7/10 км/ч. Какова скорость течения реки, если на обратный путь туристы затратили на 1 час меньше.

Вариант -2

1. Вычислите:

а) 12 целых 3/20+7 целых 11/13+21 целая 17/26+19 целых 17/60

б) 25 целых 7/9-8 целых ¾-(13 целых 5/12+2 целые 11/18)

в) 12 целых 13/20-(86 целых 9/20: 24 целые 7/10-3 целые 3/4:3)*2 целые 2/5

2. Решите уравнение:

а) (6 целых 8/14-х)*2 целые 1/3=9 целых 5/6

б) 7/8 : (3/4х-5/16)=7/8

1. Машина проехала 125км.  Это составило 5/9  всего пути. Сколько км осталось проехать машине?

3. Теплоход проплыл по течению реки 40 целых 1/2 км за 1 целую 1/2часа. На сколько больше времени потратит теплоход на обратный путь, если течение реки 3 целых 3/8  км/ч?

Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Диктант на внимание.

а)        Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных: 19/10, 239/10, 657/100,239/10, 657/100, 3456/100, 6083/1000, 90007/1000, 897653/10000, 3/10, 13/10, 7/100, 6083/1000, 897653/10000, 3/10, 13/10, 7/100, 07/100, 23/1000, 5025/1000.

б)        Запишите десятичные дроби в виде обыкновенных: 0,007; 0,109; 0,00036; 10,001059; 0,00067; 12,03: 905,025; 7,00301; 1,00102.

Упражнения для закрепления

а) Запишите пропущенные числа:

2мм = ...см = ...дм = ...м,

250м = ...км, 12г = ...кг = ...ц,

35кг = ...и = ...т, 7га 68а  ...га,

24см2 = ...дм2 = ...м2 = ... а = ...га,

2см3 = .. .дм3 = ...м3.

6т 500кг = ...т,

8т 9ц = ...т.

б) Длина поля, имеющая форму прямоугольника, 200м, а ширина - 120м. Найти площадь поля в гектарах.

Бесконечные десятичные периодические дроби.

Устные упражнения

а)        Какие из дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби: ½, 3/5, 5/6, 7/3, 5/4, 20/33, 9/8? Почему так нельзя записать остальные дроби?

2. Найти частное и сравнить его с делителем: 41,6 : 0,1;
   85,2 : 0,01; 0,06 : 0,01; 0,32175 : 0,001; 0,01 : 0,001;
   10:0,001.

Упражнения для закрепления.

а)        Обратите периодическую дробь в обыкновенную: 0,(3);
0,(4); 0,(44); 2,(44); 3,1(44); 2,(123).

б)        Найти значение выражений:

(((5/8+2,708333…)/2,5)/(1,3+0,7(6)+0,(36)*110/401))*1/2

(((2 целых 38/45-1/15)/13 целых 8/9+3 целых 3/65*0,(26))/(18,5-13,777…)*1/85))*10,5

VIII Уравнения, неравенства, функции.

Уравнения с одной переменной.

Устные упражнения

а)        Решите уравнения: 2х = 18, Зх - 1 = 20, 5у + 4 = 44, 372 - 6х - 360.

б)        Я задумала число, умножила его на 9 и к произведению прибавила 8. Получилось 71. Какое число я задумала?

в)        Найти х, если 7х больше х на 42, х меньше 6х на 30, 10х на 23 больше 17, 9х в 3 раза больше 12.

Математический диктант

Вариант-1

а)        Стол дороже стула в 9 раз. Вместе они стоят 40 руб. Сколько стоит стол и сколько стул?

б)        Одно число меньше другого в 37 раз, их разность равна 108. Найти эти числа.

в)        Сумма двух чисел равна 20. Одно из них в 4 раза больше другого. Найти эти числа.

Вариант -2.

а)        Отец старше дочери в 7 раз. Сколько лет дочери, если она на 30 лет моложе отца?

б)        Число увеличили втрое и вычли из него 207 Получилось 150. Найти это число

в)        Разность двух чисел равна 147, одно из них в 8 раз меньше другого. Найти эти числа.

Равносильные уравнения.

Устные упражнения

 а) Составьте уравнения, равносильные данным.

60 - а = 45,  2х = 30, х + 4х = 25, 2р - 1 = 15, 60-5в = 45.

 б) Расстояние между городами А и В 200км. Из А в В выехал автомобиль и. проехав 20км, остальной путь он проехал за 3 часа. Какова была его скорость на этом участке пути?

Упражнения для закрепления

а)  Равносильны ли уравнения?

(х - 1) • (х + 3) = 0 и х2 + 2х - 8 = 0, (х + 3) • (х - 1) = 0 и х2 + 2х - 3 = 0,

 (х - 5) • (х + 2) = 0 и х=10/(х-3)

б) Решите уравнения:

2/х+66/(х2-6х)=(2х-1)/(х-6)

3/(х+7)+70/(х2-49)=(х-2)/(х-7)

2х/(х-1)-(3х+1)/(х2-1)+3/(х-1)=0

Неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства.

Устные упражнения

а)        х>2. Равносильны ли ему на множестве действительных чисел неравенства:

5х > 10,   Зх + 14 > 20,  12х > -24,

-Зх < -6,  -8х < 16,    (5х +3) • 4 > 52.

б)        Придумайте 3 неравенства, равносильных данным.

(5х+13)/3<6;      -16х-11>21

Упражнения для закрепления

Решите неравенства:

(1-2х)2 ≥8х +4х2-6;

(Зх - 1)(Зх+1) ≤ 2х + 9х2 + 6 ;

(1 +2х)/6>(4+5х)/10;

(3+х)/6≥(4х+3)/15.

Самостоятельная работа.

Вариант-1

1. Решите уравнение:

2/(х2+10х+25)-10/(25-х2)=1/(х-5)

2. Равносильны ли уравнения:

(х+1)(х-2) = 0их = 2/(х-1)

3. Решите неравенство: (х - 1) • (х + 1) ≥ х2 + Зх - 4
4. Решите задачу: Катер на подводных крыльях прошел по течению за 2 часа такое же расстояние, какое он проходит за 2ч 15 мин против течения. Скорость течения Зкм/ч. Найти собственную скорость катера.

Вариант -2.

1. Решите уравнение: 1/(х2-12х+36)+12/(36-х2)=1/(х+6)
2. Равносильны ли уравнения:

(х-1)-(х + 5) = 0и 6/(х-1)+х= - 4

3. Решите неравенство: (х - I)2 ≤ х2 + 2х - 3
4. Решите задачу: По течению реки катер прошел за 7 часов столько же км, сколько он проходит за 8 часов против течения. Собственная скорость катера ЗО км/ч. Найти скорость течения реки.

Понятие функции.

Устные упражнения

а) Найдите область определения функции: у = Зх + 1,

у=4х2-1,  у=5/(х-1),  у= (х-2)/х,  у=lg(х+4), у=√(х+8)

б)        При начале нагревания вода в кипятильнике имела температуру 8 градусов. При нагревании температура воды повышалась каждую минуту на 2 гр. Написать формулу, выражающую у - изменение температуры воды в зависимости от t - времени её нагревания. Как изменилась температура воды у за время от 1 до 10 мин?

Упражнения для закрепления.

а)        Один кг товара стоит 20руб. Составьте формулу, выражающую зависимость между у – стоимостью товара, ценой 1кг ик- количеством купленного товара.

б)        Сколько стоит Зкг ЗООг, 5кг, 11кг 200г, 8кг товара?

в)        Сколько товара можно купить на 200руб, 170руб,
830руб?

График функции.

         Устные упражнения

Найти неизвестную координату точки, если она принадлежит графику данной функции:

у = 5х - 3,5       А(0, у), В(х, 0), С(-5, у);

у=(3-х)/(2-х), А(0,у), В(х,0), С(4,у);

у=х2+2, А(0,у), В(1,у), Д(х,6).

Упражнения для закрепления

а)        Какие из точек принадлежат графику функции

у = -2х + 0,5.

АО; -1,5), В(0; 0), С(0; 0,5), Д(2; -3,5), Е(-1; 2,5), К(2; -4,5), М(0,25; 0). у = 1 - х2.

АО; 0), В(0; 0). С(0; 0,5), Д(2; -3,5), Е(-1; 2,5), К(-3; 8), М(-2; 5), Н(-2; 3), Р(3; -8).

б)        Постройте график функции заданной формулой на всей указанной области определения:

у = 2р-4,    Д(у) = [-5, 5]

      у=(х2+2)/х,      Д(у)= [1, 8]

      у=(х2-х)/(х2),      Д(у)= [-5, -1]

Линейная функция.

Устные упражнения.

а)        Найдите уравнения параллельных прямых.

у = х - 4, у = х - 3, у = Зх-5, у = 0,5х + 6, у = (6+х)/2, у=х/3, у=-0,7х, у=(4-7х)/10, у=(9х-1)/3, у=(8+х)/3

б)        Составьте уравнения линейной функции по данным

Упражнения для закрепления

а)        Построить в одной системе координат графики
функций: у = х-4, у = х-3, у =7- х, у = -5 -х, у = х -2, у = х + 6, у = -х + 3, у = -х - 7.

б)        Турист находится на расстоянии 6км от города и движется от него по шоссе со скоростью 4км/ч. На каком расстоянии от города будет турист через 2, 4, 5, Т часов?

Обозначив расстояние от города через а, выразить формулой зависимость этого расстояния от времени движения пешехода.

Построить график этой зависимости а = 6 + 4Т.

в)        На складе было 200т угля. Ежедневно на склад привозили по 40т. Выразить формулой зависимость количества угля на складе м от времени т, начертить график этой зависимости.

Прямая пропорциональность.

Устные упражнения

а)        Назовите угловые коэффициенты прямых:  у = 2х,  у = -2х,  у = 0,7х,  у = -3,5х,  у = 1,5х,  у = 2,4х.

б)        Из каких наборов чисел можно составить пропорцию: 3,7.8.9; 5,3, 15, 1; 1.3,6,2; 1,9,2,4; 4,6,9,6; 2,0, 6,3; 3,6, 12,6; 1.2,3.4.

в)        Через какие четверти проходит прямая, если ей принадлежит точка: А(342, 855), В(814, -2), С(-65,-0,35), Д(18. -7,89), К(0, 0).

Упражнения для закрепления

а)        Построите графики функций: у = 2х, у = -2х, у = 0,5х и у = -0,5х и сравнить их.

б) Стороны четырехугольника пропорциональны числам 1, 3, 2. 3. Его периметр 180см. Найти длину всех сторон.

3. Туристы прошли 36км, сделав 2 привала, с постоянной скоростью. Найти отрезки пути, из которых состоял весь маршрут, если до 1 привала они шли 4 часа, от 1 до 2 -3 часа и на последний привал потратили 2 часа.

Обратная пропорциональность.

Устные упражнения

а)        Составьте обратные пропорциональности из чисел: 12,3,1,6;        2,4,8,1; -2,-6,-3,-4.

б)        Двое дежурных убирают зал за 1 час. За сколько времени уберут зал 4 дежурных, 6 дежурных?

в)        Мотоциклист проехал 240км. Сколько времени он затратил, если ехал со скоростью бОкм/ч? Во сколько раз увеличится время, если скорость уменьшится в 2 раза? в 3 раза? в 4 раза?

Будет ли время движения обратно пропорционально скорости мотоциклиста?

Упражнения для закрепления.

а)        Построить графики функций у = 8/х, ху= - (3/2), ав = - (3/4)

б)        Решить задачи: Совхоз заготовил силос. Его хватит
1200 коровам на 80 дней. На сколько дней этого силоса
хватит 240 коровам? Сколько коров можно кормить эти
силосом в течение 20 дней?

В трех одинаковых рядах кинотеатра 81 место. Сколько мест в кинотеатре, если в нем 30 таких же рядов?

Длина прямоугольника 20м. а ширина 15м. Найти длину другого прямоугольника с такой же площадью.

если его ширина в 3 раза меньше ширины первого прямоугольника. Решить двумя способами.

Самостоятельная работа.

Вариант -1.

1. Решите уравнение. 1/(х2+10х+25)-10/(25-х2)=1/(х-5)
2. Решите неравенство (х+2)2<х2+8х+5
3. Построите график функции: у= - (12/х), Д(у)=(0;+∞)
4. В трех цехах завода работает 650 человек. Во втором цехе рабочих в 4 раза больше, чем первом, а в третьем столько же, сколько в двух первых цехах вместе. Сколько рабочих в каждом цехе?

Вариант -2

1. Решите уравнение. 2/(х2+12х+36)-12/(36-х2)=1/(х-6)
2. Решите неравенство, (х + 3) * (х - Зх) > х2 + 4х - 2
3. Построите график функции: у = - (12/х), Д(у) = (-∞;0)
4. Три цеха изготовили 2648 деталей. Второй цех изготовил деталей в 3 раза больше, чем третий, а первый столько, сколько второй и третий вместе. Сколько деталей изготовил каждый цех?

IX.Величины и их измерение

Устные упражнения

1. Выполните указанные действия над величинами:

а) 640г + 2кг;    б) 15ч 26мин 12с – 2ч 35мин;     в) 3кг 50г7;

2. Сравните величины:

а) 520м и 5 км;   б) 3м2 20дм2 и   3,5м2;   в) 8,02м3 и 8м316дм3;   г) 2 ч и 2ч 20мин.

3. Укажите величины, рассматриваемые в задаче, установите вид зависимости между ними. Решите различными арифметическими способами.

«За 4м ткани заплатили 1800 руб. Сколько стоит 7м этой ткани?».

Упражнения для закрепления

1. Выполните указанные действия над величинами:

а) 21ч 7мин + 19ч 57мин;   б) 15кг – 4кг 200г;   в) 15ч 45мин  3; г) 15т 680кг 140г: 7;   д) 23сут: 15мин 20с.

2. Сравните величины а) 2км 320м и 2   км;     б) 400см2 и 4,1дм2;   в) 8  м3 и 8м3 20дм3;   г) 2  кг и 2кг 120г.
3. Решите задачу и объясните, какие операции над величинами были при этом выполнены. а) Площадь прямоугольника в 3 раза больше площади квадрата. Длина прямоугольника 96 см. Чему равна ширина прямоугольника, если сторона  квадрата 48 см?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стойлова Л.П. Теоретические основы начального курса математики: учеб. пособие для студ.учреждений сред. проф. образования / Л.П. Стойлова. – М.: Издательский центр «Академия» 2017. – 272с.
2. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред проф. образования / М.С.Спирина, П.А. Спирин. – 3 изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2017. – 352 с.
3. Дадаян А.А. Математика / А.А. Дадаян.  - 3-е изд. - М. : Форум : Инфра-М, 2015. - 544 с.
4. Дадаян А.А. Сборник задач по математике / А.А. Дадаян.  - М. : Форум : Инфра-М, 2015. - 352 с.
5. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студ. учреждений сред проф. образования / И.Д. Пехлецкий. – 11-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.