Дифференциация обучения математике
учебно-методический материал

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ  ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ                      «Колледж «ЗВЁЗДНЫЙ»»

Дифференциация обучения математике

                                  Подготовила

                                                           преподаватель математики

                                                              Скок Валентина Николаевна

Санкт-Петербург

2013

Человек… родился быть господином,

повелителем, царём природы,

но мудрость, с которой он должен править,…

 не дана ему от рождения:

 она приобретается учением.

Н.И. Лобачевский

   Бесспорно утверждение о том, что, чтобы быть хорошим учителем математики, надо её знать. Однако сразу возникает вопрос: что понимать под выражением «учителю знать математику»? Ясно, что каждый учитель не может получать новые результаты в «чистой математике» или решать её

не разрешённые на сегодняшний день проблемы. Учитель должен с удовольствием решать математические задачи, овладевать разными методами их решения, пытаться глубже вникать в проблемы элементарной математики и т. д.

   Кроме того, что учитель знает математику и передаёт эти знания ученику, должен привить ему любовь к математике и понимание её красоты и логики.

   Это возможно, если вникнуть в суть индивидуальных особенностей и способностей учащегося, научиться определять его личностное отношение к пониманию и применению приёмов математического мышления и математической деятельности.

   Цели обучения математики определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

   Исторически сложились две стороны назначения математического образования:

- практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности;

-интеллектуальная, связанная с мышлением человека, с овладением определённым методом познания и преобразованием действительности с помощью математических методов.

   Практическая полезность математики обусловлена тем, что её предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная и практическая деятельность.

   Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчёты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приёмами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.

   Всё больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики: экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многое другое.  

   Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление.

   Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей культуры в её современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач.

   Изучение математики способствует  эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии.

Изучение математики развивает воображение, пространственные представления.

   Знакомство с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в интеллектуальный багаж каждого культурного человека.

   Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математике:

-овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

 -интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;

-формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

-формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики  для общественного прогресса.

   Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учётом возрастных особенностей учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета, определяющей её роль и место в общей системе обучения и воспитания.

   Принципиальным положением организации математического образования учащихся становится уровневая дифференциация обучения. Это означает, что, осваивая общий курс, одни учащиеся в своих результатах  ограничиваются уровнем обязательной подготовки, зафиксированным в программе, другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких рубежей. При этом достижение уровня обязательной подготовки становится непременной обязанностью учащегося в его учебной работе.

   Дифференциация обучения математике – проблема сложная, она волнует практически всех преподавателей и методистов. Надо отметить, что многие годы для подхода к решению этой проблемы фактически не было никаких условий: единые программы, общие для всех домашние задания, недифференцированная система контроля. Однако мало захотеть «дойти до каждого», для «приближения к каждому» нужно многое знать о личности учащихся.

   Современный период развития обучения характеризуется повышенным вниманием к таким понятиям, как дифференциация и индивидуализация обучения. Эти понятия очень ёмкие, они связывают воедино личность, её особенности, задатки, способности, механизмы её развития, мышление и т.д.

   Дифференциация обучения должна обеспечить условия для всестороннего развития каждого учащегося с учётом его индивидуальных интересов, возможностей и способностей, а также социально-экономических потребностей общества.

  Учебно-воспитательный процесс, для которого характерен учёт типичных индивидуальных различий учащихся, принято называть дифференцированным, а обучение в условиях этого процесса – дифференцированным обучением.

   Под дифференцированным подходом к учащимся я понимаю систему управления их индивидуальной деятельности с учётом как индивидуальных психологических различий (особенностей) отдельных обучаемых, так и доминирующих особенностей групп учащихся, исходя из этого дифференцированное обучение есть учебно-воспитательный процесс, протекающий с подобной системой управления познавательной деятельностью учащихся.

   Под индивидуализацией обучения мы понимаем систему управления

учебно-познавательной деятельностью учащихся с учётом индивидуальных психических особенностей каждого ученика. Соответствующим образом ориентированное обучение мы называем индивидуализированным обучением. При этом индивидуализированное обучение рассматривается как один из видов дифференцированного обучения, его наиболее полное воплощение.

   Под дифференциацией  мы подразумеваем учёт индивидуальных особенностей учащихся в той форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения.

  Выделяют следующие виды дифференциации обучения:

внутренняя (уровневая), внешняя (профильная), широкая, поисковая и непрерывная.

1.  Внутренняя, или уровневая, дифференциация обучения. Она очень важна, так как её приёмы и методы пронизывают всё обучение.

   Под уровневой дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый учащийся, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможности адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

   При этом уровневая дифференциация выражается в том, что, что обучаясь в одной группе, по одной программе и учебнику, учащиеся могут усваивать материал на различных уровнях.

Такая  внутренняя дифференциация присутствует и во всех формах внешней дифференциации, так как на уровне отобранных учащихся также срабатывает их индивидуальность, и не учитывать её просто невозможно.

Вопрос об уровневой дифференциации тесно связан с проблемой планирования обязательных  результатов обучения или, как их сейчас называют, стандартами образования.

Можно изучать и внедрять различные приёмы и средства внутренней дифференциации обучения. Но основная сложность здесь связана с согласованием массовых форм обучения и индивидуального характера процессов усвоения и применения знаний, развития учащихся.

   Таким образом, на первый план выходит «внутренняя дифференциация».

Эта та дифференциация обучения, которая осуществляется в условиях обычных ежедневных занятий в классе, ориентированная на всех учащихся, опирающаяся на индивидуальные возможности, потребности и способности учащихся.

2.  Внешняя, или профильная, дифференциация обучения предполагает предоставление учащимся возможности получать образование в различных направлениях, по разным учебным планам и программам. Разновидностью профильной дифференциации является углубленное изучение предметов.

 3.  Широкая дифференциация представляет собой продуманное интересное преподавание всех предметов.

 4.  Проблема дифференциации обучения решается с учётом индивидуальных особенностей и способностей учащихся.

   Практически выявлять особенности и способности можно через дифференциацию заданий и соответствующую  систему контроля. Учитель, желая выявить индивидуальные особенности  учащихся, предлагает им дифференцированные задания, тесты, анкеты, которые составляются абстрактно, предположительно опираясь на имеющийся опыт, научные исследования и эксперимент.

   Этот процесс можно рассматривать как особый вид дифференцированного обучения –

 поисковая дифференциация, которая позволяет определять (выявлять) типологические группы учащихся. При этом приёмы и методы «поисковой дифференциации» позволяют в дальнейшем процессе обучения следить за динамикой развития индивидуальных качеств и особенностей учащихся.      

5.  Непрерывная дифференциация – опирается на абстрактно сформулированные  особенности учащихся, которые представляются системой этапов от низшего к высшим, идеальным целям. Необходимо разработать модель «непрерывной дифференциации» процесса обучения учебного предмета, опирающуюся на теоретически обоснованные и практически существующие индивидуальные особенности и способности учащихся.  При этом следует понимать, что такая модель не может быть однозначной и универсальной: можно построить модель, ориентированную на непрерывный рост мотивации учения, любознательности, сообразительности учащихся;

можно построить модель, ориентированную на уровень работоспособности и т. д.  Все они хороши, но ученик, который обладает самой высокой мотивацией учения, любознательностью и сообразительностью, к сожалению может обладать достаточно низким уровнем работоспособности. В этом случае учитель должен вносить коррективы в модель.

Говоря о дифференциации обучения математике, следует указать некоторые её особенности, а также требования к ней.

1. Осуществлять внутреннюю дифференциацию не за счёт содержания обучения (усложнения или упрощения), а за счёт соответствующей помощи учащимся, не меняя при этом содержания обучения.

2. Приобщать учащихся к участию в полезной и интересной деятельности.

В процессе обучения математике важно показать роль математической деятельности не только в самом курсе математики, но и на практике в смежных науках, приобщить учащихся к непосредственному участию в этом процессе.

3. Основной целью дифференциации обучения является развитие всех форм самостоятельности учащихся, включающих в себя стремление к самообразованию, самовоспитанию, самоконтролю (самооценке).

Дифференциация содержания обучения математике.

   Хорошо известно, что одним из важнейших способов дифференциации содержания обучения должно быть решение всевозможных задач, направленных на повышение интереса к обучению, на углубление знаний учащихся, на привлечение их к творческой исследовательской деятельности, к выбору будущей профессии.

   Для того чтобы этот процесс был управляем и действительно дифференцирован, необходимо, чтобы учитель ясно представлял себе цепочки новой информации, которой может овладеть учащийся в меру своих возможностей, потребностей и способностей. Эти цепочки являются основой как внутренней, так и внешней дифференциации.

   В основу построения «цепочек задач, несущих новую информацию» положены следующие положения.

   Выделить такие задачи из общего набора задач курса математики непросто, так как обычно все принципиально значимые новые задачи составляют теоретическую часть изучаемых курсов. Вместе с тем хорошо известны те задачи, которые с одной стороны, не входят в изучаемый теоретический материал, но, с другой стороны, используются при решении других задач и могут быть полезны для общего математического развития учащихся.

   Задачи, несущие новую информацию, следует рассматривать дифференцированно по мере значимости их новизны для образования и развития учащихся. Основным критерием здесь выступает дальнейшая применимость получаемых новых фактов.

  При выделении задач, несущих новую информацию, следует выделить два типа задач:

Ӏ. Задачи, несущие новую информацию, которые могут быть решены параллельно с изучением обязательного материала, т.е. для их решения достаточно имеющихся на данный момент знаний.

ӀӀ. Задачи, которые не могут быть решены параллельно с изучаемым в классе теоретическим материалом, так как для их решения нужны дополнительные теоретические сведения или новые методы, которые появятся позднее.

      Виды задач, несущих новую информацию, относящиеся к типу Ӏ:

1.  Первый вид задач, несущих новую информацию, состоит из задач двух видов:

 -а) задачи, составляющие основу изучаемого на уроках теоретического материала, они явно выделены, являются обязательным для изучения (воспроизведения) учебным материалом;

 -б) задачи, без овладения которыми невозможно успешно решать задачи, о которых говорится в п. а).

2.  Второй вид составляют задачи, результаты решения которых часто и постоянно используются при дальнейшем изучении учебного материала, однако они не попадают в выделенный для обязательного изучения материал.

  К первому и второму видам мы относим задачи, несущие новую информацию, составляющие основу содержания обучения, без которых никаких других видов задач в обучении не может быть.

3.  К третьему виду задач, несущих новую информацию, относятся задачи, результаты решения которых довольно часто используются при рассмотрении различных фактов и их приложений.

4.  К четвёртому виду задач, несущих новую информацию, следует отнести задачи, содержащие интересные яркие факты, являющиеся достижениями математической мысли прошлого. Эти задачи предназначены для углубленного изучения математики.

   Задачи третьего и четвёртого видов составляют систему задач, относящихся к углубленному изучению математики.

   Задачи типа ӀӀ содержат один вид – пятый.

5.  К пятому виду относятся задачи, которые раскрывают перед учащимися новые свойства изучаемого ими объекта, но решить эти задачи во время изучения данного объекта нет возможности, так как у учащихся нет для этого необходимых теоретических фактов или методов. Эти задачи можно решать только после того, как у учащихся появятся соответствующие знания и методы.

Цепочки задач, несущих новую информацию по теме: «Параллелограмм»

 Задачи первого вида:

1. Докажите, что сумма внутренних углов параллелограмма равна 360°.

2. Докажите, что в параллелограмме каждая диагональ делит его на два равных треугольника.

3. Докажите, что середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

4. Докажите, что противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

5. Докажите, что противоположные углы параллелограмма равны.

Задачи второго вида:

6. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

7. Докажите, что вершины А и С параллелограмма АВСД равноудалены от прямой ВД.

8. Докажите, что если у четырёхугольника противолежащие стороны равны или противолежащие углы равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Задачи третьего вида:

9. Докажите, что биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

10. Докажите, что биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.

11. Докажите, что в параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ.

12. ВМ – медиана треугольника АВС. На её продолжении за точку М отложен отрезок МД, равный отрезку ВМ. Докажите, что четырёхугольник АВСД – параллелограмм.

Задачи пятого вида:

13. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон.

14. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, делит его на две равные части.