Это загадочная бутылка Клейна
проект на тему

Опубликовано 27.03.2018 - 9:53 - Макаричева Наталья Вячеславовна

ФГБОУ ВО Самарская ГСХА

1X Областная аграрная олимпиада школьников

Тема работы

«Это загадочная бутылка Клейна»

номинация: Экономика, менеджмент, маркетинг

и бухгалтерский учет

Исполнитель – студентка 1 курса ГБПОУ СО СГТ

с.Сергиевск Самарской области

Макарова Анастасия Константиновна

(с.Сергиевск ул.Степная д.49

Тел: 89270273174)

Руководитель – преподаватель математики и экономики

ГБПОУ СО СГТ

с.Сергиевск Самарской области

Макаричева Наталья Вячеславовна

(с.Сергиевск ул.Н.Крупской д.18

Тел: 89270007647)

2017 – 2018 уч.год

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………….3

Глава 1. Ф. Х. Клейн и его удивительное открытие…………………..………………….5

1.1. Что такое бутылка Клейна…………………………………..………………………...5

1.2. История изобретения бутылки Клейна...………………………….………………….5

1.3. Сравнительная характеристика бутылки Клейна и листа Мёбиуса………………...5

1.4. Топологические свойства бутылки Клейна ..………………………………………...5

Глава 2. Эта загадочная бутылка Клейна…… ……………………………………………7

2.1. Конструирование бутылки Клейна …….…………………………………….............7

2.2. Применение бутылки Клейна…………………………………………………………7

2.3. Практическое занятие для учащихся……………………………………………..…..8

3. Заключение………………………………………………………………………...........10

4. Литература………………………………………………………………………………11

5. Приложение…………………………………………………………………….……….12

Введение

В прошлом году на научно-практической конференции я выступала с исследовательской работой на тему: «Этот удивительный лист Мёбиуса». Я узнала, что лист Мёбиуса поверхность односторонняя, поэтому должен обладать определёнными свойствами, которые я впоследствии выявила и доказала. Изучая все аспекты данной темы, я узнала, что существует множество односторонних поверхностей, исследовать которые тоже можно. Из всего перечня поверхностей я выбрала так называемую бутылку Клейна, так как она напрямую связана с листом Мёбиуса и, действительно, является загадочной. Я докажу это и познакомлю вас с удивительным чудом современной науки.

Актуализация

Я считаю, что моя работа актуальна, так как в науке математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо.

У многих учащихся сейчас недостаточно развито пространственное воображение. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность.

Я выбрала тему бутылка Клейна, потому что считаю, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение.

Гипотеза

Я сочла важным показать, что данная поверхность полна неожиданностей. Я предполагаю, что бутылка Клейна, как топологическая фигура, обладает сходными с листом Мёбиуса свойствами и может быть сконструирована разными способами.

Объект исследования

Бутылка Клейна как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования

Свойства односторонней поверхности на примере бутылки Клейна.

Цели и задачи

Цель работы: сконструировать модель бутылки Клейна, определить и проверить удивительные свойства бутылки Клейна.

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

1. изучение литературы;

2. изучение истории изобретения бутылки Клейна;

3. описание бутылки Клейна и процессов её изготовления;

4. показ использования бутылки Клейна на практике;

5. сравнение бутылку Клейна с листом Мёбиуса;

Методы исследования

1. Библиографический метод исследования

2. Практический эксперимент.

Теоретическая значимость моей работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд различных областей знаний приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в курсе геометрии.

Глава 1. Ф. Х. Клейн и его открытие

1.1. Что такое бутылка Клейна

Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). (См. Приложение 1 - «Бутылка Клейна»).

1.2. История изобретения бутылки Клейна

Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. (См. Приложение 2 – Ф. Х. Клейн).

1.3. Сравнительная характеристика бутылки Клейна и листа Мёбиуса

С целью подтверждения гипотезы я решила сравнить бутылку Клейна с объектом исследования моей прошлогодней работы – с листом Мёбиуса. И результат был удивителен – все свойства двух фигур абсолютно идентичны. (См. Приложение 3 – Сравнительная характеристика). Следовательно, бутылка Клейна, подобно листу Мёбиуса является топологическим объектом. Значит, бутылка Клейна обладает топологическими свойствами.

1.4. Топологические свойства бутылки Клейна

Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.

К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:

1. хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6. Конечно же, такое не укладывается в голове. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по во¬ду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересе¬кались. Сделать это не умудрился никто, но лишь срав¬нительно недавно математики строго доказали, что зада¬ча неразрешима. Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпа¬ли одинаковые буквы на ее кра¬ях, то проблема водоснабжения решается. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в друж¬ном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё. Иными сло¬вами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку. (См. Приложение 4 – Свойства бутылки Клейна).

2. непрерывность. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.

3. ориентированность. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней.

Выводы:

Изучив литературу, рассмотрев историю изобретения бутылки Клейна и, проведя сравнительную характеристику, выяснила, что бутылка Клейна является односторонней поверхностью, топологическим объектом и обладает топологическими свойствами.

Глава 2. Эта загадочная бутылка Клейна

2.1. Конструирование бутылки Клейна

Я выяснила, что бутылка Клейна – это одностороння неориентируемая поверхность. Она не может быть вложена в R3, а значит, в идеальном виде не может быть получена. Поэтому, я предположил, что в R3 можно сконструировать только модель бутылки Клейна, да ещё и из разных материалов и разным способом.

Способ № 1. Получение бутылки Клейна из бумаги. Прежде всего, нужно взять бумажный квадрат, перегнуть его пополам и соединить клейкой лентой его стороны. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой, протащите нижний край трубки сквозь прорезь и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки. Правда, там, где поверхность самопересекается, в нашей модели прорезь, но легко представить себе, что края этой прорези соединены так, чтобы поверхность во всех своих точках была непрерывна и не имела края. (См. Приложение 5а – Конструирование бутылки Клейна).

Способ № 2. Получение бутылки Клейна из стандартной пластмассовой бутылки. Необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки. (См. Приложение 5б – Конструирование бутылки Клейна).

Способ № 3. Получение бутылки Клейна из одного цилиндра. Один из краёв цилиндра изгибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. (См. Приложение 5в – Конструирование бутылки Клейна).

Способ № 4. Получение бутылки Клейна из ткани. Целесообразно взять кусок носка или колготок и проделать с ними то же, что и с цилиндром. (См. Приложение 5г – Конструирование бутылки Клейна).

Способ № 5. Получение бутылки Клейна склеиванием двух листов Мёбиуса. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве R3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно. Поэтому Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство R3, но вкладывается в R4. (См. Приложение 5д – Свойства бутылки Клейна).

Способ № 6. Получение бутылки Клейна из пластилина. Относясь к своей работе с творчеством, я придумал способ, принцип которого не наблюдается у вышеперечисленных. Чтобы получить бутылку Клейна из пластилина, нужно взять пластилин и «строить» бутылку, начиная снизу. (См. Приложение 5е – Конструирование бутылки Клейна).

2.2. Применение бутылки Клейна

Бутылка Клейна в литературе

Бутылка Клейна вдохновила многих поэтов и писателей на создание литературных шедевров на основе её свойств. Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса, должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора:

Великий Феликс,

Славный Клейн,

Мудрец из Геттингена,

Считал, что Мебиуса лист—

Дар свыше несравненный.

Гуляя как-то раз в саду.

Воскликнул Клейн наш пылко:

"Задача проста —

Возьмем два листа

И склеим из них бутылку."

Но не один неизвестный автор знаком со свойствами бутылки Клейна. Так в рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения. А. Дейч написал юмореску «Бутылка Клейна». Ее идея в двух сло¬вах: в некоем городе метрополитен развился до такой степени, что топологическая сложность всех ее пересека¬ющихся линий перешла некую допустимую границу — и в результате один за другим целые поезда вдруг исчезали из трехмерного пространства, возвращаясь назад лишь через месяц-другой.

Бутылка Клейна в искусстве

Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации.

В сериале Футурама в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.

Бутылка Клейна как начало для новой профессии

Если мы пустим муравья ползать по бутылке Клейна и увидим, что, не переползая ни разу через край, путешественник побывает и вовне и внутри своего топологического му-равейника. Американские небоскребы породили новую профессию — высотные мойщики стекол. Эти бесстраш¬ные люди очищают грязь только с одной стороны — сна¬ружи, а их менее квалифицированные собратья по цеху — только внутри. Представьте себе ужас «комнатного» мойщика, если, двигаясь вдоль стекла, он вдруг окажет¬ся над Нью-Йорком на высоте тридцатого этажа! Хоро¬шо, что человеческие муравейники пока еще не исполь¬зуют фантазию топологов.

Бутылка Клейна и изготовление стёкол

Как уже было сказано, бутылку Клейна могут изготовить только высококвалифицированные стеклодувы. Но и они не смогут её изготовить в подлинном виде, так как место самопересечения будет запаяно. Но, не смотря на это, они отливают бутылки в качестве сувениров и даже соревнуются, у кого лучше и больше получилась бутылка. (См. Приложение 6 – Бутылка Клейна и изготовление стёкол).

2.3. Практическое занятие для учащихся

Мною была проведена практическая работа по ознакомлению учащихся с загадочной бутылкой Клейна. Мы вместе с учащимися решили, что тема «Бутылка Клейна» должна быть включена в программу по математике в качестве дополнительного материала (См. Приложение 7 - Практическое занятие, тема: «Бутылка Клейна»).

Вывод: проведя ряд опытов по получению бутылки Клейна, я сформулировала несколько способов получения моделей бутылки, которые с удовольствием представлю публике. Я показала практическое применение бутылки Клейна и поняла, что без неё в некоторых профессиях, в частности, в искусстве было бы трудно. Самые элементарные сувениры в виде бутылки Клейна удивительны, а в соответствии с менталитетом людей, все бы их покупали. Таким образом, бутылка Клейна приобрела бы популярность, и появилось бы много энтузиастов, желающих разгадать её секрет! Продолжая своё исследование, я разработала практическое занятие. Я считаю, что такие занятия необходимы, т.к. они расширяют кругозор знаний и помогают научиться чему-то новому, что возможно пригодится в будущем.

3. Заключение

На основании полученных результатов, сделала следующие выводы: изучив всю литературу, касающуюся данной темы, подтвердила выдвинутую гипотезу путём сравнения двух топологических объектов; определила и проверила удивительные свойства бутылки Клейна. Также сконструировала бутылку Клейна разными способами. В течение исследования узнала о профессиях, в которых применяется бутылка Для учителей у меня есть рекомендации: я советую учителям черчения научиться чертить бутылку Клейна такой, какой она должна быть; учителям технического творчества я рекомендую научиться конструировать бутылку Клейна из металла, дерева и других материалов; а математикам – больше изучать дополнительного материала, касающегося топологических фигур, в частности, бутылки Клейна, чтобы также расширять кругозор учеников, учить их понимать стереометрию.

Бутылка Клейна – это одна из односторонних поверхностей, открытых после изобретения листа Мёбиуса. Она приобрела известность за счёт своей необыкновенной формы и поистине неожиданных свойств. Открытие Ф. Х. Клейна дополнило уже развивающуюся ветвь геометрии – топологию, которая появилась после открытия того же самого листа Мёбиуса. Бутылка Клейна – это одна из неразгаданных тайн современной геометрии, нам только предстоит её разгадать и изобрести подлинную бутылку. Кстати, тот, кому это удастся, будет удостоен большой денежной премии. Бутылка Клейна может послужить примером для детей, чтобы они больше погружались в мир неразгаданного и неизвестного. Да, и учителям полезно изучать такие темы. Сама я хочу научиться строить «идеальную» бутылку Клейна и получить за это премию. Но и это не предел для моих исследований! Далее планирую углубиться в изучение опытов с разрезанием бутылки Клейна, потому что они довольно своеобразны и интересны.

4. Литература

1.М.Гарднер «Математические чудеса и тайны»

«Наука» 1978 г., стр. 43 - 48.

2.Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс.

«Просвещение» 2002 г.т стр. 63 - 67.

3.Современный словарь иностранных слов.

«Русский язык» 1993гг, стр. 146, 468: 579, 612,

4.И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева «Наглядная геометрия» 5-6 класс.

«Дрофа» 2000г.; стр. 69 - 72.

5.Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112.

5. Приложение

1.Бутылка Клейна

2.Ф. Х. Клейн

3.Свойства бутылки Клейна

4. Сравнительная характеристика

Бутылка Клейна Лист Мёбиуса

1. Хроматический номер = 1. Хроматический номер

2. Непрерывность = 2. Непрерывность

3. Ориентированность = 3. Ориентированность

4. Односторонность = 4. Односторонность

5. Конструирование бутылки Клейна

5а 5б 5в

5г 5д 5е

6.Бутылка Клейна и изготовление стёкол

7. Практическое занятие.

Тема: «Бутылка Клейна»

Цели урока:

• развитие математического кругозора, творческих способностей учащихся; показать, что математика – занимательная наука;

• развитие любознательности;

• укрепление интереса к математике.

Оборудование: бумага, клей, ножницы, готовые бутылки Клейна.

Ход урока:

I. Диалог учителя и класса

Вопрос: Ребята, помните ли вы, какую удивительную фигуру мы с вами изучали в прошлом году?

Ответ: Лист Мёбиуса.

Учитель: Правильно! А какими свойствами обладает лист Мёбиуса? Может кто-то их продемонстрирует?

(Доброволец из класса демонстрирует свойства листа Мёбиуса)

Учитель: А сегодня, ребята, мы с вами познакомимся ещё с одной, не менее удивительной фигурой – бутылкой Клейна, она непосредственно относится к листу Мёбиуса. По названию не трудно догадаться, что это за фигура! Давайте познакомимся с бутылкой Клейна поближе.

II. Работа с классом

Давайте смоделируем бутылку Клейна.

Способ № 4. Получение бутылки Клейна из ткани. Целесообразно взять кусок носка или колготок и проделать с ними то же, что и с цилиндром.

Способ № 5. Получение бутылки Клейна склеиванием двух листов Мёбиуса. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю.

Учитель: У вас получились только модели бутылки Клейна, потому что в обычном трехмерном пространстве сделать настоящую бутылку, не создав самопересечения, невозможно. Поэтому Бутылка Клейна не может быть вложена в трёхмерное, но вкладывается в четырёхмерное пространство.

III. Объяснение нового материала

Учитель. Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). Бутылку изобрёл Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя.

Определим, какие она имеет свойства.

Задание классу: I варианту раздать бутылки Клейна и ножницы, II варианту – бутылки Клейна и краски. I варианту - разрезать бутылку вдоль её оси симметрии, II варианту -окрашивать фигуру с любого места. В итоге выведено 2 свойства бутылки Клейна: 1. бутылка Клейна представляет собой два сцепленных по краям листа Мёбиуса; 2. бутылка Клейна - поверхность односторонняя. Доказательство: Когда мы соединили внешнюю и внутреннюю стороны бутылки Клейна, мы получили одну общую сторону. Значит, при закрашивании бутылки в том месте, где её стороны соединяются, мы переходим на другую сторону. Но стороны ведь соединены, и бутылка окрасилась полностью, значит, данная поверхность односторонняя. Бутылка Клейна также обладает свойством бесконечности, непрерывности, ориентированности и хроматическим номером.

IV. Итог урока:

Бутылка, перекрученная, и просунутая через край и соединённая с дном, превратилась в загадочную бутылку Клейна и приобрела удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики – Топология. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Бутылка Клейна может использоваться нами в качестве сосуда для жидкости. Кстати, как я уже говорил, «в трёхмерном пространстве бутылку Клейна не изготовить», поэтому Всемирное научное общество пообещало денежное вознаграждение тому, кто сможет её сделать такой, какой она бы была в четырёхмерном пространстве. Поэтому, дерзайте! Кто знает, вдруг вы станете знаменитыми топологами и совершите какое-нибудь замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.

V. Домашние задание.

Изготовить бутылку Клейна и рассказать родителям об её удивительных свойствах.