Конспект урока
план-конспект урока на тему

Урок 49-50

Тема урока «Логарифмические неравенства»

Цели урока:

обучающие: сформировать навыки и умения решать логарифмические неравенства указанного типа разными способами; учить самостоятельно добывать знания (собственная деятельность учащихся по изучению и овладению содержанием учебного материала);

развивающие: работать над развитием речи; учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы;

воспитательные: формирование нравственных качеств аккуратности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели.

Задача урока: научить решать логарифмические неравенства нестандартными способами.

I.Организационным момент.

- Здравствуйте. Вспомним тему последнего урока. (Логарифмические уравнения и неравенства)

- Для того чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства, необходимо хорошо знать и помнить определение и свойства логарифма и логарифмической функции. Вспомним их.

Устная работа.

1. Дайте определение логарифма.

2. Основное логарифмическое тождество.

3. Чему равен логарифм единицы?

4. Чему равен логарифм числа по тому же основанию?

5. Чему равен логарифм произведения?

6. Чему равен логарифм частного?

7. Чему равен логарифм степени?

 8. Формула логарифмического перехода от одного основания к другому основанию.

 9. Какова область определения функции y=logax?

 10. Какова область значения функции y=logax?

 11. В каком случае функция является возрастающей y=logax?

 12. В каком случае функция является убывающей y=logax?

Молодцы. Все помним, тогда работаем дальше.

II.Проверка домашнего задания.

У кого есть вопросы по решению домашних неравенств.

Проверим еще одно задание.

Записать на математическом языке предложения: “Числа a и b находятся по одну сторону от единицы”, “Числа a и b находятся по разные стороны от единицы” и доказать получившиеся неравенства.

III.Сообщение темы урока, его целей и задач.

Анализируя варианты вступительных экзаменов по математике, можно заметить, что из теории логарифмов на экзаменах часто встречаются логарифмические неравенства, содержащие переменную под логарифмом и в основании логарифма.

Наш урок «Логарифмические неравенства» – это урок одного неравенства, содержащего переменную под логарифмом и в основании логарифма, решенного разными способами. Говорят, что лучше решить одно неравенство, но разными способами, чем несколько неравенств одним и тем же способом. Действительно, вы должны уметь проверять свои решения. Лучше проверки нет, чем решение задания другим способом и получение того же ответа (можно разными способами придти к одним и тем же системам, к одним и тем же неравенствам, уравнениям). Но не только эта цель преследуется при решении заданий разными способами. Поиски разных способов решения, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения наиболее рационального, красивого, является важным фактором развития математического мышления, уводят от шаблона. Поэтому сегодня мы решим только одно неравенство, но постараемся найти несколько способов для его решения.

IV. Творческое применение и добывание знаний, освоение способов деятельности путем решения проблемных задач, построенных на основе ранее усвоенных знаний и умений при решении неравенства log x (x2 – 2x – 3) < 0.

Сегодня мы будем  искать решение данного неравенства, но разными способами.

Перед вами решение этого неравенства, взятое из одной экзаменационной работы. Посмотрите внимательно на него и попробуйте проанализировать решение.

log x (x2 – 2x – 3) < 0

a) x2 – 2x – 3 > 0;                                     б) x2 – 2x – 3 < 1;

   x2 – 2x – 3 = 0;                                          x2 – 2x – 4 < 0;

   x1 = - 1, x2 = 3;                                          x2 – 2x – 4 = 0;

   х< -1      

   х> 3                                                        

То есть решением данного неравенства будет промежуток .

Как Вы считаете правильно ли решено данное неравенство?

Возможные объяснения учеников:

1.Это не уравнение, а неравенство, поэтому при переходе от логарифмического неравенства к рациональному знак неравенства будет зависеть от основания логарифма и монотонности логарифмической функции.

2.При таком решении возможно приобретение посторонних решений, или потеря решений, а возможно, что при неверном решении будет получен верный ответ.

Так как же надо было решать это неравенство, в котором переменная под знаком логарифма и в основании логарифма?!

Возможные объяснения учеников:

При переходе от логарифмического неравенства к рациональному знак неравенства будет зависеть от основания логарифма и монотонности логарифмической функции, то есть если основание логарифма 0<х<1, то знак неравенства меняется на противоположный, а если х >1, то знак неравенства остается без изменения.

Переходим к решению неравенства.

Первый способ

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств.

Решим данные системы отдельно, а потом объединим решения.

Первая система не имеет решения.

Вторая система имеет решение: . Следовательно, решением данного неравенства будет промежуток.

В предложенном решении неравенства из экзаменационной работы ответ был получен верный. Почему?

Возможные ответы учеников:

Так как область определения функции стоящей в левой части неравенства состоит из чисел больших 3, следовательно, функция y = logxt – возрастающая. Поэтому ответ получился верный.

Как же можно было записать математически грамотное решение в экзаменационной работе?

Возможные ответы учеников:

1.Найдём область определения функции, стоящей в левой части неравенства, а затем, учитывая область определения, рассмотрим только один случай

2.Вначале необходимо было найти ОДЗ неравенства, а потом с учетом этого перейти от логарифмического неравенства к рациональному, объясняя почему не меняется знак неравенства.

Второй способ

Как еще можно решить это неравенство? Какие формулы можно применить?

Формулу перехода к новому основанию a > 0, a  1

Перейдем в нашем неравенстве к основанию большему 1, например 10, получим:

Данное неравенство будет равносильно совокупности двух систем неравенств:

Решением данной совокупности систем неравенств будет промежуток:

Третий способ

А можно ли применить к самому неравенству то, что логарифм меньше нуля?

Возможные ответы учеников:

Да. Выражение, стоящее под логарифмом, и основание логарифма находятся по разные стороны от единицы, но положительны!

То есть, получаем опять ту же совокупность двух систем неравенств:

Решением данной совокупности систем неравенств будет промежуток:

Все рассмотренные способы приводят к совокупности двух систем неравенств. Во всех случаях получается один и тот же ответ. Все способы верно теоретически обоснованы.

Четвертый способ

Как вы думаете, для чего в домашнем задании был задан вопрос, не относящийся к материалу, изучаемому в 11 классе?

Возможные ответы учеников:

Зная свойства логарифма о том, что

logаb < 0, если a и b по разные стороны от 1,

logab > 0, если a и b по одну сторону от 1,

 можно получить очень интересный и неожиданный способ решения неравенства.

Об этом способе написано в статье “Некоторые полезные логарифмические соотношения” в журнале “Квант” № 10 за 1990 год.

logg(x)f(x) > 0, если                                                            

logg(x)f(x) < 0, если

Почему условие g(x)=1 писать не надо?

 Возможные ответы учеников:

g(x) основание логарифма, а оно не должно равняться единицы.

Решение неравенства logx(x2 – 2x – 3) < 0 выглядит так:

a) x2 – 2x – 3 > 0;                                    б) (x – 1)(x2 – 2x – 4) < 0;

Следовательно решением данной системы, а следовательно и самого неравенства является промежуток:

Пятый способ

Метод интервалов.

Решение логарифмических неравенств методом интервалов - тема следующего урока

V. Итог проделанной работы.

Вопросы:

1. Какими же способами было решено неравенство?

2.Сколько способов для решения этого неравенства мы нашли?

3. Какой из них наиболее рациональный? Красивый?

4. На чем было основано решение неравенства в каждом случае?

5. Чем интересно данное неравенство?

Качественная характеристика работы класса учителем.

VI. Обобщение изученного материала.

Нельзя ли рассмотреть это неравенство как частный случай более общей задачи?

Неравенство вида

 logg(x)f(x) <(>) logg(x)h(x) можно свести к неравенству logg(x)p(x) <(>) 0

с помощью свойств логарифмов и свойств неравенств.

Решить неравенство

logx(x2 + 3x – 3) > 1

любым из рассмотренных способов.

VII. Домашнее задание, инструктаж по его выполнению.

1. Решите неравенства (из вариантов вступительных экзаменов по математике):

log x (2 + x) < 1;    

log3x + 5(9x2 + 8x + 8) > 2;

2. На следующем уроке будем рассматривать логарифмические неравенства, которые решаются методом интервалов. Повторить алгоритм решения неравенств методом интервалов.

3. Расположите числа в порядке возрастания (объясните, почему именно такое расположение):

log0,35;  ; ; log0,53 (повторение к следующему уроку).