Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка.
презентация к уроку на тему

Слайд 1

Дифференциальные уравнения первого порядка

Слайд 2

Диф. уравнение первого порядка Уравнение вида F(x, y, y′) = 0 называется ДУ первого порядка, где х - независимая переменная y - неизвестная функция у ′ - ее производная

Слайд 3

Если из уравнения можно выразить у ′ , то оно примет вид: Это уравнение называется ДУ первого порядка , решенным относительно первой производной Например:

Слайд 4

Решением ДУ первого порядка у '=f( х, y ) называется функция у = φ ( х) , определенная на ( a,b) , которая при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.

Слайд 6

Поле направлений Уравнение y′ = f (x, y) в каждой точке (x, y) плоскости Oxy задает направление интегральной кривой. Говорят, что задается поле направлений. Решить уравнение означает найти семейство кривых.

Слайд 7

Постановка задачи Коши Задача нахождения решения дифференциального уравнения: y′ = f (x, y) удовлетворяющего начальному условию: y(x 0 ) = y 0, где х0 и у0 - заданные числа, называется задачей Коши для уравнения первого порядка.

Слайд 8

Геометрический смысл Решить задачу Коши y′ = f (x, y) y( х0) = у0 означает найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через заданную точку M0 ( x0, y0).

Слайд 9

Уравнение с разделяющимися переменными ДУ, в котором путем преобразований переменные могут быть разделены, называется ДУ с разделяющимися переменными. Его можно представить в виде: dy /dx = f (x) * g( y) или M(x)N( y)dx + P(x)Q( y)dy = 0

Слайд 10

Однородные дифференциальные уравнения Уравнение называется однородным диф. уравнением первого порядка, если оно имеет вид: f(x , y )dx+g(x,y)dy= g(x) где f(x, y ) и g(x, y ) – однородные функции одного измерения

Слайд 11

Функция f(x, y) называется однородной измерения m , если f(ux, uy)= u^m f(x, y)

Слайд 12

Линейные дифференциальные уравнения Уравнение называется линейным диф. уравнением первого порядка, если оно имеет вид: y′ + f (x) ⋅ y = g(x) где f(x) и g(x) – некоторые непрерывные функции переменной x.

Слайд 13

Если функция g(x) тождественно равна нулю, уравнение называется линейным однородным, в противном – линейным неоднородным. Линейные дифференциальные уравнения

Слайд 14

Метод вариации постоянной 1. В методе вариации постоянной сначала находится решение однородного уравнения: y′ + f (x) ⋅ y = 0 2. Затем полагают постоянную C новой неизвестной функцией от x: C = C(x) и находят общее решение неоднородного уравнения: y′ + f (x) ⋅ y = g(x)