Методическая разработка практического занятия для студента "Дифференциальные уравнения"
учебно-методический материал на тему
Методическая разработка практического занятия для студента "Дифференциальные уравнения"
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 171.76 КБ |
Предварительный просмотр:
Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Минусинский медицинский техникум
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
практического занятия по № 4
для студента
Дисциплина: Математика
Специальность: 060101 Лечебное дело
Год обучения: 1 курс, 1 семестр
Тема: Дифференциальные уравнения
Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» Н.В. Новолодская
Минусинск, 2013
Составлена в соответствии с требованиями ФГОС Рассмотрена на заседании цикловой методической комиссии «______________________» протокол №____ от «____»______________201___г. Председатель ЦМК _____________/ _________________ | УТВЕРЖДАЮ: Зам. директора по учебной работе __________/________________ «__»_________________201___г.
СОГЛАСОВАНО: Методист ___________ /____________ «___» ________________ 201__ г. |
Тема: Дифференциальные уравнения.
Уважаемые студенты!
Исследование многих физических и технических задач сводится к решению таких уравнений. С помощью дифференциальных уравнений описывают волновые процессы и колебания, поэтому практическое применение дифференциальных уравнений очень разнообразно.
В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются, например:
- для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови и других параметров гемодинамики;
- для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;
- для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных
- для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.
Цели занятия
Студент должен уметь:
- находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;
- находить общие и частные решения ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами;
- составлять ДУ для решения задач прикладного характера.
Студент должен знать:
- понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и ча-стного решения;
- понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения
- понятие ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, алгоритм их решения;
- практическое применение ДУ в медицине.
Оснащение: таблица неопределенных интегралов, дидактический материал.
Материал для повторения: лекция 6,7,8
Этапы самостоятельной работы:
№ п/п | Содержание этапа | Задания |
1 | Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, методы их решения. Общее решение дифференциального уравнения | задание 1 |
2 | Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, его интегральная кривая | задание 2 |
3 | Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка, методы их решения | задание 3 |
4 | Определение вида дифференциальных уравнений, их частное и общее решения | задание 4 |
Рекомендуемая литература:
Основные источники:
- Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011.
- Омельченко В.П. Математика: компьютерные технологии в медицине: учебник / В.П. Омельченко, А.А. Демидова. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.
Дополнительные источники:
- Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. – Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
- Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. / В.С.Михеев. – Ростов н/Д.: Феникс, 2009.
- Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. / Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.
- Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011. – 240 с.
Интернет-ресурсы:
www.wikiboks.org
revolution.allbest.ru
ИНФОРМАЦИЯ:
А сейчас немного теории: (записать) (5 мин)
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у(х) и ее производную , т.е. уравнение вида
(1) или
,
где f – функция двух переменных, а F – функционал от трех переменных.
Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция, , которая обращает уравнение (1) в тождество, т.е.
или
Чтобы решить дифференциальное уравнение его необходимо проинтегрировать, но прежде его необходимо идентифицировать (определить его вид) и преобразовать.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка, определенные выше, удобно записывать в следующей форме:
(2)
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Пусть , а
, тогда уравнение (2) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и примет вид:
Путем деления на произведение оно приводится к следующему виду:
.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
Внимание: Задания, помеченные звездочкой (*), обязательны для выполнения!
- Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
Цель: Научиться находить общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления.
Решение: приведем уравнение к виду (1) (учитывая, что ) :
В данном уравнении
Разделяя переменные, получим:
.
Интегрируя, найдем общий интеграл:
- *
- *
- *
- Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, и его интегральную кривую.
Цель: Научиться находить частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления и строить интегральную кривую этого решения.
.
;
Решение: Приведем уравнение к виду (1) и разделим переменные:
Интегрируя, найдем общий интеграл:
Т.к. , то подставляя это начальное условие в общее решение диф. уравнения, найдем значение С:
Значит частное решение данного диф. уравнения имеет вид:
.
Чтобы найти интегральную кривую данного диф. уравнения нужно построить график его частного решения, в нашем случае это (график – парабола).
Найдем координаты вершины параболы:
График имеет следующий вид:
- *
- *
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение
, где p(x), f(x) – известные функции.
Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если , в противном случае оно неоднородное.
- Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:
Цель: Научиться находить общее решение линейных дифференциальных уравнений, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления.
Решение: Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянной.
- Рассмотрим однородное уравнение
, соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными:
- Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде
(*) , где С(х) – неизвестная функция от х. Производная
Подставляя
и
в
найдем С(х):
Т.к. , то подставляя его в (*) общее решение неоднородного уравнения будет
, где С – постоянная интегрирования.
- *
- *
- Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение.
Цель: Научиться определять вид дифференциального уравнения, находить его общее и частное решение.
- *
- *
- *
- *
, построить интегральную кривую;
- *
- *
- *
- *
Дифференциальные уравнения в медицине и биологии.
- Дифференциальные уравнения, выражают соотношения между изменениями основных переменных. Примером описания течения процессов в сердечно – сосудистой системе может служить независимая модель эластичного резервуара – линейное дифференциальное уравнение типа:
,
где переменная Р – мгновенное значение АД, коэффициент R – общее сопротивление кровеносного русла току крови, коэффициент k – коэффициент упругости аорты, W(t) – объемная мгновенная скорость выброса крови из сердца.
2) Дифференциальным уравнением описывается разложение бактерий, радиоактивный распад.
Домашнее задание:
Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:
- *
- *
- *
- *
, построить интегральную кривую.
- *
- *
Проверочная работа
Тема: Дифференциальные уравнения.
1 вариант.
Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:
, построить интегральную кривую.
2 вариант.
Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:
Дополнительное задание
Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение:
Задания для самостоятельного решения.
Найти общее решение дифференциальных уравнений, а где указано частное решение:
Контрольные вопросы:
- Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?
- Что нужно сделать, чтобы решить дифференциальное уравнение.
- Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
- Какое уравнение называется дифференциальным уравнением 1-го порядка?
- Что такое общее и частное решение дифференциального уравнения.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка практического занятия по МДК 03.01 «Теоретические и методические основы деятельности классного руководителя» Тема: Защита проекта предметно-развивающей среды класса в начальной школе
Представлен опыт проведения учебного занятия, построенного в контексте технологии проектного обучения....
![](/sites/default/files/pictures/2018/06/12/picture-1043148-1528796964.jpg)
Методическая разработка практического занятия " Отработка практических навыков по уходу за новорожденным с гемолитической болезнью"
Методическая разработка составлена в соответствие с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования по специальности: 31.02.02 «Акушерское дел...
![](/sites/default/files/pictures/2018/10/16/picture-1070668-1539716882.jpg)
Методическая разработка практического занятия по дисциплине «Маркетинговые исследования» на тему «Разработка анкеты для проведения маркетингового исследования при решении конкретной проблемы»
Методическая разработка практического занятия по дисциплине «Маркетинговые исследования»на тему «Разработка анкеты для проведения маркетингового исследования при решении конкретной п...
![](/sites/default/files/pictures/2020/12/02/picture-1294986-1606903770.jpg)
Методическая разработка практического занятия для преподавателя по дисциплине: «Гигиена и экология человека» Тема занятия:«Определение и оценка физических параметров воздушной среды в помещении»
Физические параметры воздушной среды (температура воздуха, влажность воздуха, скорость движения воздуха) в помещении, а также естественная освещенность оказывают влияние на состояние здоровья населени...
![](/sites/default/files/pictures/2015/11/14/picture-709051-1447526539.jpg)
Методическая разработка практического занятия по дисциплине Математика,раздел Алгебра и начала математического анализа, тема "Решение уравнений и неравенств 1и 2 степени"
Данная методическая разработка предназначена для для преподавателей и студентов при проведении проактических занятий по теме "Решение уравнений и неравенств 1и 2 степени.В ходе занятия идет закре...
![](/sites/default/files/pictures/2019/10/09/picture-1172675-1570605424.jpg)
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА практического занятия по 01.01.4 Пропедевтика в акушерстве и гинекологии ПМ01 Тема занятия: Проведение диагностики ранних и поздних сроков беременности и обследования беременных, обследования внутриутробного состояния пло
Методическая разработка практического занятия. 2021г....
![](/sites/default/files/pictures/2022/03/28/picture-1397042-1648462628.jpg)
Методическая разработка практического занятия "Повторительно-закрепляющее занятие по разделу пищеварительная система"
Данная методическая разработка составлена для преподавателя в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения, на основании рабочей программы по дисциплине «Анатомия и физиология человек...