Методическая разработка практического занятия для студента "Дифференциальные уравнения"
учебно-методический материал на тему

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Минусинский медицинский техникум

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

практического занятия по № 4

 для студента

Дисциплина: Математика

Специальность: 060101 Лечебное дело

Год обучения: 1 курс, 1 семестр

Тема: Дифференциальные уравнения

Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» Н.В. Новолодская

Минусинск, 2013

Тема:  Дифференциальные уравнения.

Уважаемые студенты!

Исследование многих физических и технических задач сводится к решению таких уравнений. С помощью дифференциальных уравнений описывают волновые процессы и колебания, поэтому практическое применение дифференциальных уравнений очень разнообразно.

В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются, например:

• для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови и других параметров гемодинамики;
• для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;
• для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных
• для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.

Цели занятия

Студент должен уметь:

• находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;
• находить общие и частные решения ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами;
• составлять ДУ для решения задач прикладного характера.

Студент  должен знать:

• понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и ча-стного решения;
• понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения
• понятие ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, алгоритм их решения;
• практическое применение ДУ в медицине.

Оснащение: таблица неопределенных интегралов, дидактический материал.

Материал для повторения: лекция 6,7,8

Этапы самостоятельной работы:

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011.
2. Омельченко В.П. Математика: компьютерные технологии в медицине: учебник / В.П. Омельченко, А.А. Демидова. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительные источники:

3. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. –  Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
4. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов н/Д.: Феникс, 2009.
5. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.
6. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011. – 240 с.

Интернет-ресурсы:

www.slovari.yandex.ru

www.wikiboks.org

revolution.allbest.ru

ИНФОРМАЦИЯ:

А сейчас немного теории: (записать) (5 мин)

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную  х, искомую функцию у(х) и ее производную , т.е. уравнение вида

(1)         или  ,

где f – функция двух переменных, а F – функционал от трех переменных.

Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция, , которая обращает уравнение (1) в тождество, т.е.

 или

Чтобы решить дифференциальное уравнение его необходимо проинтегрировать, но прежде его необходимо идентифицировать  (определить его вид) и преобразовать.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка, определенные выше, удобно записывать в следующей форме:

                                         (2)

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть , а , тогда  уравнение (2) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и примет вид:

Путем деления  на произведение  оно приводится к следующему виду:

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Внимание: Задания, помеченные звездочкой (*),  обязательны для выполнения!

1. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

Цель: Научиться находить общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления.

Решение: приведем уравнение к виду (1) (учитывая, что ) :

В данном уравнении

Разделяя переменные, получим:

.

Интегрируя, найдем общий интеграл:

2. *
3. *
4. *
5. 
6. 
7. 
8. 

2. Найти  частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, и его интегральную кривую.

Цель: Научиться находить частное решение  дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления и строить интегральную кривую этого решения.

.

1. ;

Решение: Приведем уравнение к виду (1) и разделим переменные:

Интегрируя, найдем общий интеграл:

Т.к. , то  подставляя это начальное условие в общее решение диф. уравнения, найдем значение С:

Значит частное решение данного  диф. уравнения  имеет вид:

.

Чтобы найти интегральную кривую данного диф. уравнения нужно построить график его частного решения, в нашем случае это  (график – парабола).

Найдем координаты вершины параболы:

График  имеет следующий вид:

2. *
3. *
4. 

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение

                                                          , где p(x), f(x) – известные функции.

Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если , в противном случае оно неоднородное.

3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:

Цель: Научиться находить общее решение линейных дифференциальных уравнений, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления.

Решение:   Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянной.

• Рассмотрим однородное уравнение

, соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными:

• Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде   (*)   , где С(х) – неизвестная функция от х. Производная  Подставляя  и в  найдем С(х):

Т.к.  , то подставляя его в (*) общее решение неоднородного уравнения будет   , где С – постоянная интегрирования.

2. *
3. 
4. *

4. Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение.

Цель: Научиться определять вид дифференциального  уравнения, находить его общее и частное решение.

1. *
2. *
3. *
4. 
5. 
6. 
7. *, построить интегральную кривую;
8. *
9. 
10. *
11. *
12. *

Дифференциальные уравнения  в медицине и биологии.

1. Дифференциальные уравнения, выражают соотношения между изменениями основных переменных. Примером описания течения процессов в сердечно – сосудистой системе может служить  независимая модель эластичного резервуара – линейное  дифференциальное уравнение типа:

                    ,

где переменная Р – мгновенное значение АД, коэффициент R – общее сопротивление кровеносного русла току крови,  коэффициент k – коэффициент упругости аорты, W(t) – объемная мгновенная скорость выброса крови из сердца.

2) Дифференциальным уравнением описывается разложение бактерий, радиоактивный распад.

Домашнее  задание:

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:

1. 
2. *
3. *
4. *
5. *, построить интегральную кривую.
6. 
7. *
8. 
9. *

Проверочная работа

Тема:  Дифференциальные уравнения.

1 вариант.

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. , построить интегральную кривую.

2 вариант.

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. , построить интегральную кривую.

Дополнительное задание

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение:

Задания для самостоятельного решения.

Найти  общее решение дифференциальных уравнений, а где указано частное решение:

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?
2. Что нужно сделать, чтобы решить дифференциальное уравнение.
3. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
4. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением 1-го порядка?
5. Что такое общее и частное решение дифференциального уравнения.