Лекция №1 для 2 курса(2 ЭННУ)
план-конспект занятия на тему
Определение матрицы.Виды матриц. Операции над матрицами.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 45.55 КБ |
Предварительный просмотр:
Определение матрицы. Виды матриц.
Определение: Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Числа m и n называются порядками матрицы.
Числа, составляющие матрицу , называются элементами матрицы.
Матрицу обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где
номер строки,
номер столбца.
Числа и
определяют расположение элемента
в матрице А и имеют роль координат этого элемента в прямоугольной таблице чисел. Например, матрица
Имеет m строк и n столбцов. Набор ( называется
-ой строкой матрицы А, а набор
называется -м столбцом матрицы А. Любые строки и столбцы матрицы А , в свою очередь , являются матрицами. Две матрицы А и В одинакового размера называются равными , если они совпадают поэлементно. Равенство записывается, как А=В.
Виды матриц.
Матрица произвольного размера, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается .
Матрица, состоящая из одной строки называется матрицей-строкой или вектором.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей –столбцом или вектором.
Матрица называется прямоугольной , если число ее строк не равно числу столбцов.
Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов, т. е. m=n в данном случае.
Элементы квадратной матрицы , в которых номер строки совпадает с номером столбца называются диагональными и образуют главную диагональ.
Главной диагональю квадратной матрицы назовем диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например:
- диагональная матрица 3-его порядка.
Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается Е. Например:
- единичная матрица четвертого порядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной. Например:
или
Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы подчиняются следующему равенству: Например:
Операции над матрицами.
- Умножение числа на матрицу.
Эта операция проводится по следующему правилу: число умножается на каждый элемент матрицы.
- Сложение матриц одинакового размера.
Суммой матриц
Сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному и ассоциативному
- Вычитание матриц одинакового размера.
Разностью матриц , такая что
. Э
- Транспонирование матрицы.
(Это переход к матрице, у которой строки и столбцы меняются местами.)
Матрица называется транспонированной по отношению к матрице
и обозначается Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Например:
для
Свойства транспонирования матрицы:
а)
b)
c)
5) Умножение матрицы на матрицу.
Произведением матрицы на матрицу
называется матрица
, такая что
. Элементы матрицы вычисляются по формуле:
!!! Операция умножения определена при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Всегда можно перемножить две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. Квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т. е. возвести в квадрат.
Свойства умножения матриц:
(умножение матриц некоммутативно!)