Лекция №1 для 2 курса(2 ЭННУ)
план-конспект занятия на тему

Определение матрицы.  Виды матриц.

Определение: Матрицей размера  m×n  называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа m и n называются порядками матрицы.

Числа, составляющие матрицу , называются элементами матрицы.

     Матрицу обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита  A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где  номер строки, номер столбца.

Числа  и  определяют расположение элемента  в матрице А и имеют роль координат этого элемента в прямоугольной таблице чисел. Например, матрица

Имеет m строк и n  столбцов. Набор ( называется -ой строкой матрицы А, а набор

называется -м столбцом матрицы А. Любые строки и столбцы матрицы А , в свою очередь , являются матрицами. Две матрицы А и В одинакового размера называются равными , если они совпадают поэлементно. Равенство записывается, как А=В.

Виды матриц.

  Матрица произвольного размера, все элементы которой равны нулю, называется нулевой  и обозначается . 

 Матрица, состоящая из одной строки  называется матрицей-строкой или вектором. 

Матрица,  состоящая из одного столбца,    называется матрицей –столбцом или вектором.

Матрица называется прямоугольной , если число ее строк не равно числу столбцов.

Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов, т. е. m=n  в данном случае.

Элементы квадратной матрицы  , в которых номер строки совпадает с номером столбца называются диагональными и образуют главную диагональ.

Главной диагональю квадратной матрицы назовем диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например:

   - диагональная матрица 3-его порядка.

Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается Е. Например:

 - единичная матрица четвертого порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной. Например:

            или                  

Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы подчиняются следующему равенству:  Например:  

Операции над матрицами.

1. Умножение числа на матрицу.

Эта операция проводится по следующему правилу: число умножается на каждый элемент матрицы.

2. Сложение матриц одинакового размера.

Суммой матриц

Сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному    и ассоциативному  

3. Вычитание матриц одинакового размера.

Разностью матриц , такая что . Э

4. Транспонирование матрицы.

(Это переход к матрице, у которой строки и столбцы меняются местами.)

Матрица     называется транспонированной по отношению к матрице  

 и обозначается  Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Например:

                          для

Свойства транспонирования матрицы:

а)

b)

c)

5) Умножение матрицы на матрицу.

Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица , такая что . Элементы матрицы вычисляются по формуле:

!!! Операция умножения определена при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Всегда можно перемножить две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. Квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т. е. возвести в квадрат.

Свойства умножения матриц:

1.  (умножение матриц некоммутативно!)
2. 
3.