Лекция №3(2 курс 2ЭННУ)
план-конспект занятия на тему

Решение систем линейных уравнений правилом Крамера

     Рассмотрим систему из n-линейных алгебраических  уравнений с n неизвестными переменными вида:

.

где   – неизвестные переменные,   – коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа),  – свободные коэффициенты (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ (системы линейных алгебраический уравнений) называют координатной. В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид: , где

  - основная матрица системы

 - матрица-столбец неизвестных переменных

 - матрица-столбец свободных коэффициентов

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных : , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение  при данных значениях неизвестных переменных, также обращается в тождество

Если система  линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система уравнений решений не имеет , то она называется несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют  определенной, если решений больше одного, то неопределенной.

Если свободные коэффициенты всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной,  в противном случае – неоднородной.

Пусть нам требуется  решить систему линейных алгебраических уравнений вида:

в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, т. е. |A|≠0.

Пусть Δ – определитель  основной матрицы системы, а    -  определители матриц, которые получаются из матрицы А заменой 1-го, 2 –го, …, n-го столбца на столбец свободных коэффициентов.

,

При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера, как :

   
………….

.

Теорема Крамера: Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где  Δ – определитель основной матрицы системы,   - определитель   матрицы системы, где вместе  -го столбца стоит столбец свободных коэффициентов.