Методические рекомендации для самостоятельного изучения темы: «Логарифмы»
методическая разработка по теме

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧУРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КОЛЛЕДЖ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО И ГОРОДСКОГО ТРАНСПОРТА

Методические рекомендации для самостоятельного изучения темы:

«Логарифмы»

Разработчик преподаватель : Кохан Ю.В.

Данные  методические  рекомендации предназначаются для  учеников  10 классов общеобразовательных школ или студентов  1 курсов  в образовательных учреждениях среднего профессионального образования.

Методические рекомендации содержат необходимые теоретические сведения по теме «Логарифмы», дисциплины математика,   примеры решения заданий,  набор заданий  для самостоятельного решения

Настоящие   методические  рекомендации  предназначены в помощь учащимся всех форм обучения при изучении темы «Логарифмы». Разделы  содержат необходимые теоретические сведения (определения, формулы) и подробно разобранные примеры. В конце каждого раздела предлагаются задания для самостоятельной проработки  темы.

Теоретические сведения и примеры для самостоятельного решения дают возможность использовать данные методическую разработку на аудиторных практических  занятиях по математике, а также для самостоятельного изучения темы «Логарифмы» в случаи, если учащийся по каким по причинам пропустил изучение этого раздела.

.

Определение логарифма

Логарифмом числа b>0,  по основанию а>0 называется показатель степени, в который нужно возвести число а, чтобы получить число b.

logаb

Пример:

log28=3 так как 23=8                                log327=3 так как 33=27

log2(1/8)=-3 так как 2-3=1/8                        log1/525=-2 так как (1/5)-2=25

log3()=1/2, так как =

Вычислить логарифмы самостоятельно:

1)Log24                2)log636      3) Log51                4) log44

5)Log216              6)log381      7) Log41                8) log4

9)Log232              10)log39     11) Log2                12) log8

Основное логарифмическое тождество

alogab=b  

Пример: 4log45=5 или 22log25=2log225=25

Решите самостоятельно:

3log35        2log23                      4log45        

Свойства логарифмов:

Любое число можно занести под знак логарифма 2log42= log422

 log416=log4==log4

Решите самостоятельно:

Занести под знак логарифма:  3 log42    2 log36    3 log32    log416 2log443log42

logа(x1*x2)= logax1+logax2

logа(x1/x2)= logax1-logax2

Примеры:

log210=log2(5*2)= log25+log22= log25+1

log735-log75= log7(35/5)= log77=1

Решите самостоятельно:

Log64+log69

Log5100-log54

Log336-log34

Log155+log153

log2+log210

log448-log43

log4+log46

Десятичный и натуральный логарифм.

Логарифм с основанием 10, log10 принято записывать сокращено lg, т.е. log105= lg5 одно и тоже.

Решите самостоятельно: lg10       lg100    lg1000

Натуральным логарифмом называют логарифм числа по основанию е, где иррациональное число, приблизительно равное 2,7, logeb сокращенно  пишут вместо lnb

Пример: ln e=1

Решите самостоятельно: lne2       ln1

Область определения логарифмов.

Под знаком логарифма не может  быть отрицательного число, так как в какую бы степень мы не возводили положительное число, мы получаем положительное число, и не может быть 0, поэтому подлогарифмическое  выражение должно быть строго больше 0.

Например: Найти область определения  log3(x-2)

 х-2>0 x>2 x

Решите самостоятельно:

Найти область определения   log3(4x-16)            log3(10- x)        log3(3x-15)     log2(6-4x)            log0.2(4x-5)            

Формула переходов от одного основания к другому.

Logаc=   или вторая формула Logаb=

Пример:

log322= =          log525=2

Решите самостоятельно:

Логарифмические уравнения.

Решить уравнение log2(x-1)=3. Для того, что бы решить логарифмическое уравнение, надо чтобы в обеих частях уравнения основание логарифма было одинаковое, для этого правую часть уравнения, надо прологарифмировать по тому же основанию, что и левая часть. Число стоявшее в  правой части  записать виде логарифма.  

log2(x-1)= log223, ведь log223=3, значит мы все сделали правильно.

Раз с обеих частях уравнения одинаковые основания логарифмов, можно приравнять подлогарифмические выражения:

 х-1=23   

Далее решаем как обычное линейное уравнение, известнее в одну сторону неизвестные в другую:

х-1=8  

х=8+1

  х=9

Проверим корни 5-1>0? Если да, смело можем написать ответ, если в итоге при подстановке подлогарифмическое выражение меньше или равно 0, то ответ нам не подходит.

Решите самостоятельно:

 = 2        = 1

  = -1  

 =0

  =   

  = 2      

 = 0              

 = 1

Логарифмические неравенства.

Решить уравнение log2(x-1)<1.

Для того, что бы решить логарифмическое неравенство, надо  сначала найти область определения. Мы знаем, что подлогарифмическое выражение должно быть строго больше 0.  Следовательно, область определения: x-1>0.  x > 1

После того, как мы нашли область определения, мы должны сделать так, чтобы в обеих частях неравенства основание логарифма было одинаковое, для этого правую часть неравенства, надо прологарифмировать по тому же основанию, что в левой  части:

. log2(x-1)< log221, ведь log221=1, значит мы все сделали правильно.

Теперь надо узнать возрастающая функция или нет, если основание логарифма больше 1, а  2>1, то функции возрастающая, знак не меняется.

Раз с обеих частях неравенства  одинаковые основания логарифмов, можно записать  так: x-1< 21.

При решении необходимо учесть область определений, поэтому запишем два условия виде системы:

      Найдем общее решение системы, оно x€(1;3)

Решить неравенство log0.1(2x+1)≤-1

Найдем область определения

2x+1>0  2x>-1  x>-0,5

log0.1(2x+1)≤ log0.1(0.1)-1

0,1<1, значит функция убывающая, знак меняется.

         x€[4.5;∞)

Решите самостоятельно:

1)log4(-x+1)<2       2)Log0,4(x+1)>-1      3) log5(-2x+2)>2    4) Log0,5(x+1)<-1  

5)6)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Никольский С.М.  Алгебра и начала анализа – учебник для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений: базовый и профильный уровни – М.: Просвещение, 2010.- 430с.
2. Мордкович А.Г.  Алгебра и начала анализа – учебник для 11 кл. общеобразоват. Учреждений: – М.: Мнезанина, 2014.- 431с.