методические указания к выполнению практической работы по теме "Интеграл"
методическая разработка на тему

1. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется выражение вида

,                                             (1)

если . Функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

2. Основные свойства интегралов:

 , (k–константа),

.    

     Таблица интегралов:

  ,       ,                ,

 ,                     ,              ,  

 ,                 ,           ,

 ,                 ,         ,

,                  ,

,       ,

 .

3.При интегрировании наиболее часто используются следующие методы:

а) Подведение под знак дифференциала:

,                   (2)

так как , .  

б) Формула интегрирования по частям:           .                      (3)

Выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало затруднений. За u принимается функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.

в) Интегрирование рациональных дробей сводится к их разложению на элементарные дроби вида

                                                                                (4)

где l, m – целые положительные числа, а трехчлен х2+рх+q не имеет действительных корней. При этом в случае неправильной дроби предварительно должна быть выделена целая часть.

г) Интегрирование методом замены переменной производится по формуле:

.                           (5)

В результате замены должен получиться табличный интеграл или легко сводящийся к табличному.

4. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:                      

 ,                                     (6)

где  и первообразная   непрерывна на отрезке

5. Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=в, у=0 и частью графика функции у=f(x), если .

6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (I рода) определяются следующим образом:

,   ,                (7)

.

     Несобственные интегралы от неограниченных функций (II рода) определяются следующим образом:

,                                           (8)

если функция  имеет разрыв II рода в точке ;

,                                          (9)

если функция  имеет разрыв II рода в точке ;

,                           (10)

если функция  имеет разрыв II рода во внутренней точке .

     Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств. Если же предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

7. Вычисление двойного интеграла от функции f(x,y), определенной в плоской области D, сводится к вычислению двукратного интеграла вида

                                  (11)

если область D определяется условиями  , ,

или к вычислению двукратного интеграла вида

,                                       (12)

если область D определяется условиями  , .

     С помощью двойного интеграла можно найти площадь плоской фигуры D по формуле:                                        

 .      

Пример 1. Найти

Р е ш е н и е. Так как  то по формуле (2), получим          

Пример 2. Найти

Р е ш е н и е. Применяем метод замены:

Пример 3. Найти  

Р е ш е н и е. Применим метод интегрирования по частям. Положим

u=arctgx,  dv=dx,  тогда , v=x.

Используя формулу (3), имеем

Пример 4.  Найти

Р е ш е н и е. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и она разлагается на элементарные дроби вида (4):

Освобождаясь  от знаменателей в обеих частях этого равенства  и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределенных  коэффициентов M, N и A:                  

2х2-5х+8=Мх(х+1)+N(х+1)+Ах2+2А.

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества:

Таким образом,  

.

Пример 5. Вычислить определенный интеграл

Р е ш е н и е. Применим метод замены переменной; положим , откуда

.

Найдем пределы интегрирования по переменной t:

при х=0 имеем t1=0,

при х=4 получим t2=2. 

Переходя в исходном интеграле к новой переменной t и применяя формулу Ньютона-Лейбница (5), получаем:

.

Пример 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=x2, y=2-x. 

Р е ш е н и е. Плоская фигура D ограничена:

слева и справа – прямыми х=-2 и х=1,

снизу – параболой у=х2,

сверху – прямой y=2-x (рис.3).

Находим площадь:

                 I. Найти неопределенные и определенные интегралы.

1. а)       б)      в)     г) ;

2. а)      б)          в)      г) ;

3.  а)       б)          в)               г) ;

4.  а)          б)            в)          г) ;

5.  а)  б)        в)          г) ;

6.  а)           б)        в)            г) ;

7.  а)           б)        в)   г) ;

8.  а)           б)          в)                г)

9.  а)      б)         в)     г) ;

10. а)      б)     в) ;              г) .

II. Найти площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла.

1.            2.

3.                        4.

5.           6.

7.     8.

9.                            10.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ПОВОЛЖСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕХНОЛОГИЙ И МЕНЕДЖМЕНТА»

                   Методические       указания

и задания для выполнения контрольной работы

                                   по теме:

«Неопределенный и определенный интегралы.

       Двойной интеграл и его приложение».

                                                           Разработчик:

                                                                  Никонорова И.А.

                              Балаково 2013