Методическая разработка практического занятия по теме "Решение задач на перпендикулярность прямых и плоскостей"
план-конспект занятия на тему

Рыжкина Галина Анатольевна

ГБОУ СПО Тольяттинский социально-экономический колледж

преподаватель математики

Конспект практического занятия по дисциплине   ОДП.10. Математика

для студентов I курса специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет

Тема занятия «Решение задач на перпендикулярность прямых  и плоскостей»

Вид занятия: комбинированное, 2 часа

Цели  занятия: 

1. Образовательные – систематизировать, закрепить вопросы теории и отработать,

      расширить навыки решения основных типов задач по теме «Перпендикулярность

      прямых и плоскостей», создать  условия  контроля  усвоения  знаний  и  умений.

2.    Развивающие – развивать пространственное воображение, способствовать  формированию

      умений  применять  приемы сравнения,  обобщения,  выявления  главного,  переноса

      знаний  в  новую  ситуацию,  развитию  математического  кругозора,  мышления  и  речи;

      побуждать к самоконтролю и взаимоконтролю.

3.    Воспитательные – поддерживать интерес к предмету, воспитывать познавательную

       активность, способствовать формированию коммуникативной компетентности.  

      Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично – поисковый.    

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная,  фронтальная, самопроверка,

взаимопроверка,  групповая.

        Результат обучения: После успешного завершения занятия студент должен:

     – знать основные определения и теоремы по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»,

        иметь представление о необходимости доказательств при обосновании этапов решения задачи      

     – уметь выполнять чертежи по условию стереометрической задачи, понимать

        стереометрические чертежи, находить на чертежах перпендикуляр, наклонную, проекцию,

        линейный угол двугранного угла, вычислять расстояния между прямой и плоскостью;

        применять ранее изученный теоретический материал для решения задач. обосновывать с

        разумной степенью полноты решения задач и письменно оформлять их, уметь находить

        нестандартные способы решения

          Оборудование: компьютер, медиапроектор, экран

      Наглядный материал: раздаточный материал для решения задач, презентация к уроку,

      индивидуальные оценочные листы.

1.  Организационный момент - проверить готовности группы к занятию. Сообщить тему и

      поставить цели.

Вступительное слово преподавателя: Сегодня на практическом занятии мы обобщим полученные знания по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Закрепим теоретический материал при выполнении теста. Отработаем навыки решения основных типов задач по  теме при выполнении практических заданий.  На следующем занятии контрольная работа по теме «Прямые и плоскости в пространстве», в которую включены задания, как на параллельность прямых и плоскостей, так и на перпендикулярность прямых и плоскостей. На контрольной работе вы должны продемонстрировать умение выполнять чертежи по условию стереометрической задачи, находить на чертежах заданные элементы,  применять изученный теоретический материал для решения задач, письменно обосновывать решение, уметь  находить  нестандартные способы решения. Поэтому, сегодня на занятии, активно работаем и при необходимости задаём вопросы преподавателю с тем, чтобы выяснить все ранее непонятые моменты. Перед вами индивидуальные оценочные листы, на которых вы должны указать свою фамилию. В течение занятия вы будете вносить  в них оценки за каждый этап работы, по которым в конце занятия выведем итоговую оценку. Сегодня на занятии вы имеете возможность определить уровень своих знаний по данной теме, увидеть свои пробелы и определить на какие вопросы вам необходимо дома обратить внимание при подготовке к контрольной работе.

2. Актуализация знаний.

Повторение теоретического материала по теме.

   Первая часть домашнего задания студентов состояла в повторении теоретического материала по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» с использованием вопросов для самопроверки (приложение 1).

Студенты выполняют теоретический тест, сидя по одному за партой. По окончании работы меняются листами с сидящим за следующей партой студентом и осуществляют взаимопроверку, выставляя оценку в оценочные листы по предложенным критериям: 9-10 правильных ответа – оценка 3; 11-12 правильных ответа – оценка 4; 13 правильных ответа – оценка 5.

Теоретический тест (слайды 2-5)

1.Закончите предложение:

1) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если … (угол между ними равен )

2) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если … (она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости)

 3)  прямая перпендикулярна плоскости, если она … (перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости – признак перпендикулярности прямой и плоскости)

      4) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они … (параллельны)

      5) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она … (перпендикулярна и другой прямой)

      6) расстоянием от точки до плоскости называется … (длина перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость)

      7) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, … (перпендикулярна и  к самой наклонной)

      8) углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется … (угол между прямой и ее проекцией на плоскость)

9) двугранным углом называется фигура, образованная … (прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости)

     10) две пересекающие плоскости  называются перпендикулярными, если … (угол между ними равен)  

11)  плоскости перпендикулярны, если одна из двух плоскостей проходит через прямую, … (перпендикулярную другой плоскости)

12) параллелепипед называется прямоугольным, если … (его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники)

13)  квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен … (сумме квадратов трех его измерений)

Студенты выполняют теоретический тест, сидя по одному за партой. По окончании работы меняются листами с сидящим за следующей партой студентом и осуществляют взаимопроверку, выставляя оценку в оценочные листы по предложенным критериям: 9-10 правильных ответа – оценка 3; 11-12 правильных ответа – оценка 4; 13 правильных ответа – оценка 5.

3.  Проверка домашнего задания.

Два студента вызываются к доске для решения задач, заданных на дом, уточняющие вопросы по ходу решения задаются всем студентам группы. Слайды 6-9 демонстрируются с помощью медиапроектора, авторы слайдов комментируют у экрана решения. Студенты группы проверяют в своих тетрадях правильность выполнения домашнего задания  (отмечая в тетради правильное решение знаком «+», неправильное решение знаком  «-»),  при необходимости задают вопросы студентам у доски, либо преподавателю. После разбора задач делаются два вывода, используемые при решении задач следующей темы «Многогранники», и с помощью слайда 8 записываются студентами в тетрадь. В оценочных листах выставляют оценку за выполнение практической части домашнего задания по критерию, предложенному преподавателем: 2 правильно решенные задачи – оценка 3; 3 решенные задачи с  одной,  двумя ошибками – оценка 4; 3 правильно решенные задачи – оценка 5 ( №1 состоит из двух задач)

№1.  Диагонали квадрата  ABCD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата, SO= см. а) Докажите равенство углов, образуемых прямыми SA, SC и SD с плоскостью квадрата. б) Найдите эти углы, если периметр ABCD равен 32 см.

а) Доказательство:

1. SO(ABC), AC, SD, SA, SB – наклонные; OC,OD, OA, OB – их проекции;  определению; и т.д.

2. ( как прямоугольные по двум катетам: SO – общая; OC=OA=OD=OB по свойству диагоналей квадрата).

3.

б)  Решение:

1. , AD=8 см.

2. , , . AC=см.

3.  OC=AC, OC=4 см.

4.    tg  tg  tg  .

(Ответ:  .)

Вывод:

Если  в тетраэдре DО - перпендикуляр и боковые ребра образуют равные углы с плоскость основания, то точка О-центр окружности, описанной около основания.

№2. В тетраэдре ABCD  DO – перпендикуляр к (ABC). Докажите, что если перпендикуляры, проведенные из точки D к сторонам , образуют равные углы с (ABC), то точка О – центр окружности, вписанной в .

Вывод:

Если боковые грани тетраэдра наклонены к плоскости основания под одним углом, то основание высоты – это центр вписанной в основание окружности.

     IV. Решение задач

    1.Верно ли, что:

Студенты отмечают на отдельных листах  и в тетрадях верные и неверные утверждения, одновременно в тетрадях делая чертеж. Листы сдаются преподавателю на проверку. Правильность выполнения проверяется с помощью слайдов 10-12 с использованием готовых чертежей.  Оценивание сданных работ осуществляется преподавателем при решении задач по группам. Выставляется оценка  по критерию: 4 правильных ответа –оценка 3, 5 правильных ответа – оценка 4, 6 правильных ответа оценка 5, оценка сообщается студентам после выполнения решения задач по группам.

  2.Решение задач по группам

Студенты дифференцированно делятся по группам. Каждая подгруппа получает свою задачу, которую студенты подгруппы совместно решают на отдельных листах с указанием фамилии. Выбранный студентами подгруппы студент решает задачу у доски с использованием слайдов 13-5. При этом студенты подгруппы помогают своему представителю при возникающих затруднениях. Студенты других подгрупп задают вопросы. Листы с решениями сдаются после обсуждения задачи и оцениваются позже. Оценка вносится в оценочные листы.

I группа

Решение:

1.   то

      то

     Тогда .

2.   (по определению прямой, перпендикулярной плоскости) и ME׀׀HP (по теореме, обратной к теореме к теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости), тогда существует плоскость , .        

3.  Так как , то , а и  прямоугольные.

4. :  (по теореме Пифагора). , (см)

5.  (по свойству накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми ME и  HP и секущей MH). Тогда ~ и (по определению подобных треугольников); (см).

6. PE=PK+KE=3+9=12 (см).

Ответ:12см.

II группа

1. В  против меньшей стороны лежит меньший угол (по теореме синусов). Проведем   По теореме о трех перпендикулярах .

2. По формуле Герона

;  ;

, (см); ; 4АЕ=60, АЕ=15 см. По теореме Пифагора ,  (см).

Ответ: 25 см.

III группа

Решение:

, значит АС-проекция DC на плоскость (АВС).  значит о теореме о трех перпендикулярах, -линейный угол двугранного угла ABCD.

Из  

Из :

Ответ:

V. Домашнее задание

1. Повторить теоретический материал по главе I «Параллельность прямых и  плоскостей», главе II «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

     2. Завершить выполнение расчетной работы №4, подготовить ее к сдаче на

     следующем уроке.

VI. Подведение итогов занятия, рефлексия

Подведем итог нашего занятия. Сегодня мы повторили теоретический материал по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей», разобрали основные методы решения задач по теме. Надеюсь, каждый из вас получил возможность определить уровень своих знаний по данной теме, увидеть свои пробелы. Поэтому ваше домашнее задание завершить решение расчетной работы по теме, еще раз посмотреть задачи, решенные на практических занятиях. При возникновении затруднений и вопросов повторите еще раз теоретический материал по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей», в случае необходимости обратитесь за консультацией к ребятам в группе или преподавателю. Тем самым вы обеспечите себе условия для удачного выполнения заданий контрольной работы на следующем занятии.

Приложение 1.                                    

Вопросы для самопроверки

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

2. Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей

3. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

4. Сформулируйте теоремы, устанавливающие связь между параллельностью прямых и их

   перпендикулярностью к плоскости.

5. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

      6. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

7. Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?

8. Что называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью?

9. Как измерить расстояние между скрещивающимися прямыми?

10. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах и теорему ей обратную.

11.Что называют углом между прямой и плоскостью?

12. Дайте определение двугранного угла.

13. Как измеряется двугранный угол?

14. Какие плоскости в пространстве называются перпендикулярными?

15. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Какой параллелепипед называют прямоугольным?

17. Перечислите свойства прямоугольного параллелепипеда

Приложение 2.                                  

Оценочный лист

Тема «Решение задач на перпендикулярность прямых и плоскостей»

Литература:

1.  Башмаков М.И.  Математика: учебник  для ссузов -5-е изд.  – М., Издательский  центр «Академия», 2012.

 2.  Башмаков М.И.  Математика. Задачник: учебное пособие для ссузов – М., Издательский центр «Академия», 2013.

 3.  Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.  и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. М., Просвещение, 2009.

4. Яровенко В.А. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс. – М.:ВАКО, 2010. (В помощь школьному учителю).