Планы-конспекты уроков по математике.
план-конспект урока на тему

План-конспект урока №1.

Тема: Матрицы и определители.

Цели урока:

Образовательные – ознакомиться с понятиями матрицы, определителя матрицы, рангом матрицы, научиться выполнять действия над матрицами.

Воспитательные -  воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов, стремление к творческой деятельности.

Развивающие  – развивать  коммуникативные  навыки во время практической работы; организовывать собственную деятельность.

Студенты должны уметь:

У 1.  Выполнять операции над матрицами и применять их в решении практических задач.

Студенты должны знать:

З 1 Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

З 2 Основные понятия и  методы линейной алгебры;

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Ход урока:

1. Организационный момент (приветствие студентов, проверка посещаемости, настрой студентов на дальнейшую работу).
2. Сообщение темы и цели урока  (понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют   важное значение, так как значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме).
3. Объяснение нового материала: Матрицей размера  mxn  называется прямоугольная таблица чисел, состоящая  из   m  строк  и   n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются большими латинскими буквами и записываются в круглых скобках. Каждый элемент матрицы имеет два индекса, первый указывает номер строки, а  второй номер столбца. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Элементы с одинаковыми индексами стоят на главной диагонали матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали равны нулю. Диагональная матрица называется единичной, если все ее элементы, стоящие на главной диагонали равны единице. С матрицами можно выполнять различные алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение на число, умножение двух матриц. Каждая квадратная матрица характеризуется определенным числом, которое называется определителем матрицы. Каждый элемент матрицы имеет свой минор, который получается из матрицы после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Если в матрице имеется какой-то минор, не равный нулю, а окаймляющие этот минор другие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора
4. Закрепление изученного материала: 1). Выполнить действия:

1). 2*- 3;   2). * = =  2).Вычислить ранг матрицы: ; ранг матрицы не более трех, так как в матрице всего три строки. Найдем определитель второго порядка: = 2*15*4+4*17*4+1*8*2-2*15*4-4*1*4-17*8*2=120+272+16-120-16-272=0; вычеркнем из определителя третий столбик и присоединим четвертый столбик из матрицы, а потом и пятый. Все полученные определители будут равны нулю. Поэтому ранг матрицы равен 2.

5. Подведение итогов: (Сегодня вы узнали, что такое матрицы, для чего они нужны и как  с ними работать. Вы научились складывать матрицы, вычитать, умножать матрицу на число и складывать матрицы. Вы умеете найти определитель матрицы и ранг матрицы и применять матрицы в решении практических задач).
6. Домашнее задание: 1). Найти произведение матриц А*В и В*А, если А =   и   В =  . Решение:                                                                     А*В =   ;                  В*А =    =  =        2).Предприятие выпускает продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей А = , где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья расходуется на  производство единицы продукции. План выпуска продукции задан матрицей-строкой С = (100 80 130), стоимость единицы каждого типа сырья (ден.ед.) задана матрицей-столбцом В =  Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Решение: Затраты первого сырья составляют: S1 = 2*100+5*80+1*130= 730ед. и второго S2 = 3*100+2*80+4*130=980 ед., поэтому матрица – строка затрат сырья может быть записана как произведение                                                      S = C*A = (100 80 130)*(730   980).  Тогда общая стоимость сырья Q = 730*30 + 980*50 = 70900 ден.ед. может быть записана в матричном виде Q = S*B = (C*A)*B = (70900).  Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на еди-ницу продукции, те.е. матрицу R = A*B = ,  а затем общую стоимость сырья:  Q = C*R = C*(A*B) = (100  80  130)*= (70900).На данном примере можно убедиться в выполнении ассоциативного закона произведения матриц: (С*А)*В = С*(А*В)

7.Используемая литература:                                                          

• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (учебник), ЮНИТИ, Москва , 2007
• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (практикум), ЮНИТИ, Москва, 2007
• под ред. профессора Ермакова В.И., Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие, Москва, ИНФРА, 2006

План-конспект урока №2.

Тема: Обратная матрица.

Цели урока:

Образовательные – освоить алгоритм нахождения обратной матрицы.

Воспитательные -  воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов, стремление к творческой деятельности.

Развивающие  – развивать  коммуникативные  навыки во время практической работы; организовывать собственную деятельность.

Студенты должны уметь:

У 1.  Выполнять операции над матрицами и применять их в решении практических задач.

Студенты должны знать:

З 1 Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

З 2 Основные понятия и  методы линейной алгебры;

Тип урока: Урок применения знаний и умений.

Ход урока:

1. Организационный момент (приветствие студентов, проверка посещаемости, настрой студентов на дальнейшую работу).
2. Сообщение темы и цели урока  (понятие деления матриц, как действие умножения данной матрицы на обратную матрицу, применение обратной матрицы в основной задаче межотраслевого баланса).
3. Объяснение нового материала: Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, определитель которых не равен 0, т.е. ранг матрицы не меньше ее порядка. Если определитель матрицы равен 0, то матрица называется вырожденной. Произведение данной матрицы на ее обратную есть единичная матрица. Для нахождения обратной матрицы сначала находят ее определитель, т.е. проверяют на вырожденность. Потом находят ее алгебраические дополнения, составляют обратную матрицу и проверяют правильность решения произведением данной матрицы на обратную.
4. Закрепление изученного материала, практическая работа №1:             

 Найти матрицу, обратную данной матрице:  

1. Найдем определитель матрицы: Δ =  = 1(2*5 - 4*1) - 3(3*5 – 1*1) + 2( 3*4 – 1*2) =

= 1(10 – 4) – 3( 15 – 1) + 2(12 – 2) = 1*6 – 3*14 +2*10 = 6 – 42 + 20 = -16, так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную матрицу.

2. Найдем алгебраические дополнения матрицы по формуле:  Аij = (-1)i + j Mij

(там, где сумма индексов нечетное число поменяем знак на противоположный, так как (-1) в нечетной степени равно (-1))

3. Составим обратную матрицу по формуле: А-1 = =    =
4. Найдем произведение данной матрицы на обратную: А*А-1 = =* Е

5. Подведение итогов: Сегодня вы узнали, что такое обратная  матрица, для чего она нужна и где применяется. Вы научились находить обратную матрицу и проверять правильность своего решения. Результатом освоения полученных знаний стала практическая работа №1.
6. Домашнее задание: Решить матричные уравнения: ;

7. Используемая литература:                                                          

• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (учебник), ЮНИТИ, Москва , 2007
• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (практикум), ЮНИТИ, Москва, 2007
• под ред. профессора Ермакова В.И., Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие, Москва, ИНФРА, 2006

План-конспект урока №3.

Тема: Решение систем уравнений методом определителей.

Цели урока:

Образовательные – ознакомиться с общими понятиями и определениями систем линейных уравнений, их решения методом определителей.

Воспитательные -  воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов, стремление к творческой деятельности.

Развивающие  – развивать  коммуникативные  навыки во время практической работы; организовывать собственную деятельность.

Студенты должны уметь:

У2  Решать системы уравнений и применять их в решении практических задач

Студенты должны знать:

З 1 Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

З 2 Основные понятия и  методы линейной алгебры;

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Ход урока:

1. Организационный момент (приветствие студентов, проверка посещаемости, настрой студентов на дальнейшую работу).
2. Сообщение темы и цели урока  (Системы линейных алгебраических уравнений – один из основных разделов линейной алгебры. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребляемы в аппарате исследования и при рассмотрении частных проблем. Цель нашего сегодняшнего занятия -  решение систем линейных уравнений методом определителей).
3. Объяснение нового материала: Система линейных уравнений может быть задана в виде:  (i = 1, 2, …, m),  где a,b – заданные числа, которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений системы. Первый индекс – номер уравнения, второй – номер неизвестного х. Решением системы уравнений является набор значений х, при которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, то она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, тогда она называется определенной. Если система имеет более одного решения, то она называется неопределенной. Если число уравнений системы равно числу неизвестных. То система называется квадратной. Одним из методов решения этой системы является метод определителей – если определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: ,  где  Δ – определитель системы, а Δi – определитель системы, в которой столбик номер  i  заменен свободными членами.  

4.Закрепление изученного материала: Решить систему методом определителей:

1. Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных системы:  

  Δ =  =    

= 1(-1*1 - 2*1) - 2(2*1 – 3*1) - 1( 2*2 – (-1)*3) = 1(-1 – 2) – 2( 2 – 3) - 1(4 + 3) =

1*(-3) – 2*(-1) -1*7 = -3 + 2 - 7 = -8, так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную матрицу. Найдем еще три определителя:

  Δ1 =  = 1(-1*1 - 2*1) - 2(5*1 – 7*1) - 1( 5*2 – (-1)*7) = 1*(-3) -2*(-2) – 1*17 = -3 + 4 - 17 = -16;      

 Δ2 =  = 1(5 - 7) - 1(2 – 3) - 1( 14 – 15) = -2 + 1 +1 = 0

  Δ3 =  = 1(-7 - 10) - 2(14 – 15) + 1( 4 + 3) = -17 + 2 +7 = -8

Х1 = х2 =   х3 =

Проверка:  

Ответ: (2; 0; 1)

5.Подведение итогов: (Сегодня вы узнали, что такое системы уравнений, для чего они нужны и как их решать методом определителей).

Домашнее задание:  Решить систему уравнений методом определителей:

Ответ:( -1; -3; 4)

6..Используемая литература:                                                          

• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (учебник), ЮНИТИ, Москва , 2007
• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (практикум), ЮНИТИ, Москва, 2007
• под ред. профессора Ермакова В.И., Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие, Москва, ИНФРА, 2006

План-конспект урока №4.

Тема: Матричный метод решения систем уравнений.

Цели урока:

Образовательные – повторить общие понятия и определения систем линейных уравнений, их решение матричным  методом.

Воспитательные -  воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов, стремление к творческой деятельности.

Развивающие  – развивать  коммуникативные  навыки во время практической работы; организовывать собственную деятельность.

Студенты должны уметь:

У2  Решать системы уравнений и применять их в решении практических задач

Студенты должны знать:

З 1 Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

З 2 Основные понятия и  методы линейной алгебры;

Тип урока: Урок закрепления изученного.

Ход урока:

1. Организационный момент (приветствие студентов, проверка посещаемости, настрой студентов на дальнейшую работу).
2. Сообщение темы и цели урока  (Системы линейных алгебраических уравнений – один из основных разделов линейной алгебры. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребляемы в аппарате исследования и при рассмотрении частных проблем. Цель нашего сегодняшнего занятия -  решение систем линейных уравнений матричным методом).
3. Объяснение нового материала: Система линейных уравнений может быть задана в виде:  (i = 1, 2, …, m),  где a,b – заданные числа, которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений системы. Первый индекс – номер уравнения, второй – номер неизвестного х. Решением системы уравнений является набор значений х, при которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, то она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, тогда она называется определенной. Если система имеет более одного решения, то она называется неопределенной. Если число уравнений системы равно числу неизвестных. То система называется квадратной. Одним из методов решения этой системы является матричный метод – если определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система имеет единственное решение.
4. Закрепление изученного материала: Решение практической работы №2. Решить систему матричным методом:

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных системы:  

  Δ =  =    

= 1(-1*1 - 2*1) - 2(2*1 – 3*1) - 1( 2*2 – (-1)*3) = 1(-1 – 2) – 2( 2 – 3) - 1(4 + 3) =

1*(-3) – 2*(-1) -1*7 = -3 + 2 - 7 = -8, так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную матрицу.

Найдем алгебраические дополнения матрицы по формуле:

           Аij = (-1)i + j Mij

(там, где сумма индексов нечетное число поменяем знак на противоположный, так как (-1) в нечетной степени равно (-1)). Составим обратную матрицу по формуле: А-1 = =    =

Найдем произведение данной матрицы на обратную: А*А-1 = =* Е

Проверка:  

Ответ: (2; 0; 1)

5.Подведение итогов: (Сегодня вы узнали, что такое системы уравнений, для чего они нужны и как их решать матричным методом).

Домашнее задание:  Решить систему уравнений матричным методом:

Ответ:( -1; -3; 4)

6..Используемая литература:                                                          

• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (учебник), ЮНИТИ, Москва , 2007
• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (практикум), ЮНИТИ, Москва, 2007
• под ред. профессора Ермакова В.И., Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие, Москва, ИНФРА, 2006

План-конспект урока №5.

Тема: Решение систем уравнений методом Гаусса.

Цели урока:

Образовательные – повторить общие понятия и определения систем линейных уравнений, их решение   методом Гаусса.

Воспитательные -  воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов, стремление к творческой деятельности.

Развивающие  – развивать  коммуникативные  навыки во время практической работы; организовывать собственную деятельность.

Студенты должны уметь:

У2  Решать системы уравнений и применять их в решении практических задач

Студенты должны знать:

З 1 Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

З 2 Основные понятия и  методы линейной алгебры;

Тип урока: Урок закрепления изученного.

Ход урока:

5. Организационный момент (приветствие студентов, проверка посещаемости, настрой студентов на дальнейшую работу).
6. Сообщение темы и цели урока  (Системы линейных алгебраических уравнений – один из основных разделов линейной алгебры. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребляемы в аппарате исследования и при рассмотрении частных проблем. Цель нашего сегодняшнего занятия -  решение систем линейных уравнений методом Гаусса).
7. Объяснение нового материала: Система линейных уравнений может быть задана в виде:  (i = 1, 2, …, m),  где a,b – заданные числа, которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений системы. Первый индекс – номер уравнения, второй – номер неизвестного х. Решением системы уравнений является набор значений х, при которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, то она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, тогда она называется определенной. Если система имеет более одного решения, то она называется неопределенной. Если число уравнений системы равно числу неизвестных. То система называется квадратной. Одним из методов решения этой системы является  метод Гаусса или метод исключения неизвестных.
8. Закрепление изученного материала: Решение практической работы №3. Решить систему методом Гаусса:

Умножим первое уравнение на 2, а потом вычтем из первого уравнения второе. Умножим первое уравнений на 3, а потом вычтем из первого уравнения третье. В результате получим:    

Теперь умножим второе уравнение на 4, а третье на 5 и вычтем из второго уравнения третье. В результате получим:

Из третьего уравнения найдем z = 8/8 = 1; из второго уравнения:  у =

Из первого уравнения х =  = 2

Проверка:  

Ответ: (2; 0; 1)

5.Подведение итогов: (Сегодня вы узнали, что такое системы уравнений, для чего они нужны и как их решать методом Гаусса).

6.Домашнее задание:  Решить систему уравнений методом Гаусса:

Ответ:( -1; -3; 4)

7..Используемая литература:                                                          

• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (учебник), ЮНИТИ, Москва , 2007
• под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (практикум), ЮНИТИ, Москва, 2007
• под ред. профессора Ермакова В.И., Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие, Москва, ИНФРА, 2006

План-конспект урока №6.

Тема: Решение алгебры матриц в решении прикладных задач.

Цели урока:

Образовательные – повторить общие понятия и определения матриц, научиться использовать их в решении прикладных задач.

Воспитательные -  воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов, стремление к творческой деятельности.

Развивающие  – развивать  коммуникативные  навыки во время практической работы; организовывать собственную деятельность.

Студенты должны уметь:

У 1.  Выполнять операции над матрицами и применять их в решении практических задач.

Студенты должны знать:

З 1 Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

З 2 Основные понятия и  методы линейной алгебры;

Тип урока: Урок закрепления изученного.

Ход урока:

1. Организационный момент (приветствие студентов, проверка посещаемости, настрой студентов на дальнейшую работу).
2. Сообщение темы и цели урока  (Использование алгебра матриц является одним из основных методов решения многих практических задач. Этот вопрос стал особенно актуальным при разработке и использовании баз данных, так как  при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме).
3. Объяснение нового материала: Один из примеров  применения алгебры матриц в практических задачах – основная задача межотраслевого баланса – отыскание такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта У. Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Связь между отраслями отражается в таблице межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом В.Леонтьевым.  Рассмотрим задачу, использующее понятие матрицы: Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в таблице:

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: Расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

Решение: По данным таблицы составим четыре вектора или строчечные матрицы, характеризующие весь производственный цикл: Q = (20 50 30 40) – матрица ассортимента; S = (5 2 7 4) – матрица расхода сырья ; T = (10 5 15 8) – матрица затрат рабочего времени ; P = (30 15 45 20) – матрица стоимости. Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие произведения матриц ассортимента на три других матрицы, т.е.

S = Q*S = (20 50 30 40)* (5 2 7 4) = 20*5+50*2+30*7+40*4 = 570кг;  T = Q*T =(20 50 30 40) *(10 5 15 8) = 20*10 + 50*5 +30*15 + 40*8 = 1220час.; P = Q*P =( 20 50 30 40)* (30 15 45 20) = 3500 ден.ед.

4. Закрепление изученного материал. Решение практической работы №4.

В таблице приведены данные о дневной производительности 5 предприятий холдинга, выпускающих 4 вида продукции с потреблением трех видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия за год и цена каждого вида сырья. Требуется определить годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий; годовую потребность каждого предприятия в каждом виде сырья; годовую сумму финансирования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.

Алгоритм решения:

1. Составим матрицу производительности предприятий холдинга и умножим ее на матрицу числа рабочих дней в году. В результате получим матрицу годовой производительности предприятий холдинга по каждому виду сырья.
2. Транспонируем матрицу затратов видов сырья, т.е столбцы сделаем строками. А строки – столбцами. Полученную матрицу  размером 3х4 умножим на матрицу годовой производительности предприятий холдинга по каждому виду сырья. В результате получим матрицу годовой потребности каждого предприятия в каждом виде сырья.
3. Найдем годовую сумму финансирования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств. Для этого вектор стоимости сырья или строчечную матрицу (70 90 80) умножим на матрицу годовой потребности каждого предприятия в каждом виде сырья.

5. Подведение итогов: (Сегодня вы узнали о применении алгебры матриц в решении практических задач и результатом освоения полученных знаний станет практическая работа).
6. Домашнее задание:  В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл.ден.ед.:

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохранится на прежнем уровне.    

7. Подведение итогов (рефлексия).  

Результатом своей  работы в изучении «Элементов матричного анализа»  считаю, что я

А – разобрался в теории;

В – научился решать задачи;

С – успешно повторил весь ранее изученный материал.

Что вам не хватило при решении задач?

А – знаний;

В – времени;

С – желания;

Д – решал нормально.

Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке?

А – одногруппники;

В – преподаватель;

С – учебник;

Д – никто.

        Используемая литература:                                                          

•        под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (учебник), ЮНИТИ, Москва , 2007

•        под ред. Н.Ш.Кремера, Высшая математика для экономистов (практикум), ЮНИТИ, Москва, 2007

•        под ред. профессора Ермакова В.И., Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие, Москва, ИНФРА, 2006