Математический марафон.
методическая разработка на тему

Математический марафон.

Морозова В.И.

ГБОУ СПО МО КХ-МК

Данное открытое мероприятие, которое можно представить в виде математического марафона, состоящего из нескольких этапов. Сразу несколько разделов математики нашли свое отражение в этом конкурсе. Это математическая логика, математическое планирование, множества и отношения, проценты, геометрия и история математики. Задачи представлены в виде слайдовой презентации. Степени сложности задач разные. Предложенные варианты ответов несколько облегчают работу участников конкурса.

Часть 1. Логика – это учение о способностях рассуждений и доказательств безотносительности к тому, где и для чего они используются в споре, научном исследовании или в зале суда. Математическая логика исследует способы рассуждений, применяемые в математике. Математическая логика изучает любые рассуждения, но с помощью методов математики. Элементы математической логики можно найти уже в работах древнегреческих философов. Как предмет математическая логика начала формироваться только с середины 19 века. В 20 веке на основе этих теорий возник новый раздел – теория алгоритмов, где изучаются не способы рассуждать, а способы вычислять.

Задача 1. Парадокс брадобрея.

Говорят, что в некой деревне был всего один брадобрей. Он брил всех тех и только тех мужчин, которые не брили самого себя.

Брил ли брадобрей самого себя?

Задача 2. Корреспондент опоздал к финишу легкоатлетического кросса, поэтому он обратился к группе болельщиков с просьбой рассказать о результатах кросса.

1. «Сережа занял второе место, а Коля третье».

2. «Настя заняла третье место, а Толя  - пятое».

3. «Толя занял первое место, а Надя  - второе».

4. «Сережа занял второе место, а Ваня – четвертое».

5. «Коля занял первое место, а Ваня – четвертое»

К: «Но ведь такого не может быть!»

4: «В наказание за опоздание каждый из нас один раз сказал тебе правду, а один раз обманул».

К: « Так кто же занял первое место?»

Задача 3. Про яблоки. В корзине лежат яблоки двух сортов.

Наугад берут из этой корзины несколько яблок.

Какое наименьшее число яблок нужно взять, чтобы среди них оказалось хотя бы два яблока одного сорта?

Задача 4. Спортивная группа. В группе 30 студентов. Из них 18 занимаются в секции легкой атлетики, 10 в секции плавания и трое – в обеих секциях.

Сколько студентов этой группы не занимаются ни в одной из этих секций?

Задача 5. Однажды Князь Владимир призвал к себе трех богатырей и спросил: «Кто из вас поймал соловья – разбойника?» М: «Негоже хвастать. Поэтому мы решили, что каждый из нас будет трижды речь держать. Два раза правду скажет, а единожды слукавит. После этого сам  решай, кто поймал соловья – разбойника».

Д: «Много на Руси храбрых воинов. Я знаю, где жил соловей – разбойник. Его поймал  Алеша Попович».

А: « Я давно хотел совершить подвиг. Это не я сделал. Илья был в это время в другом месте».

М: «Это сделал не я. Я был в это время в другом месте. Это сделал Алеша Попович».

Задача 6. Однажды Капитан де Тревиль наблюдал, как друзья – мушкетеры перетягивали канат: Партос с д`Артаньяном легко пертянули Атоса с Арамисом.  Атос с Партосом с трудом перетянули Арамиса с д`Артаньяном.

Партос с Арамисом предложили Атосу с д`Артаньяном  ничью.

Конечно же самый сильный из них Партос, а какое место по силе занимает д`Артаньян?

Задача 7. Как гласит древняя легенда, чешская королева некогда обещала стать женой одного из трех рыцарей, кто первым решит ее задачу: Из своей корзины со сливами я положила во вторую корзину половину всех слив и еще одну сливу. В третью корзину я положила половину остатка и еще одну сливу. А в четвертую – половину остатка и еще три сливы, чем полностью опорожнила свою корзину. Теперь, не пересчитывая слив в корзинках, ответьте: сколько слив было в моей корзине?

Задача 8. Грибники. Ира, Таня, Коля и Леня собирали грибы. Таня собрала больше всех. Ира – не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

Задача 9. Метро. Два человека бегут по ступеням эскалатора метро. Один бежит быстрее другого. Кто из них насчитает больше ступеней?

Задача 10. Городские часы. Павел Петрович любит читать книгу, сидя в скверике около курантов. Однажды, пока он сидел, часы начинали бить пять раз, а всего он насчитал 11 ударов. Городские часы отбивают каждый час и каждые полчаса. С последним ударом часов Павел Петрович встал и пошел домой. Сколько времени показывали в это время часы?  

Задача 11. Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древне - греческий математик и философ Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучает математику. Четвертая часть изучает природу. Седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении. Остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора?

Часть 2. Математика.  «Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это важнейшие виды прекрасного» - Аристотель.

Задача 1. 12 апреля 1961 года. Как далеко мог видеть горизонт первый летчик – космонавт, находясь на высоте 250 км над поверхностью земли?

(Землю считать шаром диаметром 12800 км, а расстояние от космического корабля до горизонта – отрезком касательной).

Задача 2. Большие числа. В астрономии для выражения расстояний в солнечной системе применяется астрономическая единица, равная 1,496*1013 см (приближенное расстояние от Земли до Солнца). Сколько это километров?

Задача 3. Числовые множества. В 17 веке на Руси была создана стройная система счисления, названная «великим словенским числом». Слово «тьма» означало тысячу тысяч, «тьму тем» называли «легионом» или «леодром», «леодр леодров» - «вороном». В одной из рукописей того времени есть упоминание и о большем числе, которое называлось «колодой» и равнялось десяти «воронам». Об этом летописец говорит: «Сего числа несть больше».

Какое же это число в десятичной системе счисления? Запишите его в виде степени числа 10.

Задача 4. Задачник Войтеховского. Собака усмотрела в 150 саженях зайца (1 сажень – 2,13 м), который перебегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут – 1300 сажен.   В какое время собака догонит зайца?

Задача 5. Математика и биология. Один биолог открыл удивительную разновидность амеб. Каждая из них через минуту делится на две.

В пробирку биолог кладет одну амебу, и ровно через час вся пробирка оказывается заполненной амебами. Сколько потребовалось бы времени, чтобы вся пробирка заполнилась амебами, если бы в нее вначале положили не одну, а две амебы?

Задача 6. Воспользуйтесь уравнением. Отец сказал сыну: «10 лет тому назад я был в 10 раз старше тебя, а через 22 года я буду только в 2 раза старше тебя».  Сколько лет теперь отцу и сколько лет сыну?

Задача 7. Знаете ли вы проценты? Влажность воздуха к полудню, по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем к вечеру еще на 5%, по сравнению с полуднем.  Сколько процентов от утренней влажности воздуха составляет влажность воздуха к вечеру?

Задача 8. Алгебра. На памятнике древнегреческому математику Диофанту имеется надпись: «Прохожий! Под этим камем покоится прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть его жизни занимало детство, двенадцатую – отрочество, седьмую – юность. Затем протекла половина его жизни, после чего он женился. Через 5 лет у него родился сын, а когда сыну минуло 4 года, Диофант скончался». Сколько лет жил Диофант?

Задача 9. Египетский папирус (около 2000 лет до н.э.) У семи лиц по семи кошек.  Каждая кошка съедает в день по семи мышей.  Каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя.  Из каждого колоса ячменя может вырасти по семи мер зерна.  Сколько мер зерна сохраняется благодаря этим кошкам?

Задача 10. Сообразите: Самолет из Москвы летит в Киев и возвращается обратно в Москву. В какую погоду этот самолет проделает весь путь быстрее: в безветренную или при  ветре, дующим с одинаковой силой в направлении Москва – Киев.

Задача 11. Задача на восстановление. Восстановите квадратную функцию

y = x2 + px + q     по вершине (-1; 2) параболы, служащей ее графиком.

Задача 12. Алгебраическая смесь. Каждый день в полдень из Гавра (Франция) в Нью-Йорк (США) отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка  отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути 7 суток и идут они по одному и тому же пути.  Сколько пароходов своей компании встретит на своем пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?

Задача 13. Задача на планирование. Чтобы взвесить 2 кг крупы на неверных чашечных весах, хозяйка поступила так:  сначала гирю в 1кг она положила на одну чашку весов и отвесила крупу, затем эту гирю положила на другую чашку и отвесила крупу. Ссыпав вместе отвешенную крупу, она решила, что масса ее в точности равна 2 кг. Так ли это?

Задача 14. Разрежьте правильно на части. Сколько нужно сделать разрезов плоскостями так, чтобы из куба с ребром в 3 дм, получить кубики с ребром 1дм?

Част 3. Поэтические задачи.  Математика и поэзия. Что роднит их, казалось, на первой взгляд разные… Но женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская говорит о математике так: “Это наука, требующая наиболее фантазии, нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе”.

Задача 1. Обезьяны в роще.

На две партии разбившись, забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате в роще весело резвилась.
Криком радостным двенадцать воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь, обезьян там было в роще?

Задача 2. Про пчелок.

Есть кадамба-цветок; на один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла
Вся в цвету симендга,  на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, ее трижды возьми,
На кутай этих пчел посади. Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед и везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме, сколько пчелок всего здесь собралось?

Задача 3. Про Геракла.

Когда Гераклом Герион был в жаркой битве сокрушен,
То победителю в награду быков отличных было стадо;
Быков на луг отправил он  и погрузился в крепкий сон.
Но сын Вулкана Какус смелый  к быкам, как вор, подполз умело
И сделал все, что он хотел: он отобрать себе успел
Одну шестнадцатую стада;  теперь добычу спрятать надо.
В пещеру он быков загнал,  куда свет дня не проникал,
И вход туда прикрыл надежно:  найти быков здесь невозможно!
Когда Геракл пришел на луг, он насчитал сто двадцать штук.
И не осталось в нем сомненья, что состоялось похищенье.

В нем сердце закипело злобой, быков он ищет, смотрит в оба,
И вдруг как бы из-под земли услышал, что ревут они.
К пещере бросился он в гневе, все разметал он в этом хлеве
И Какуса убил в мгновенье, быков добыл из заточенья;
И стадо он угнал скорей, — все получил царь Эвристей.
Теперь скажи мне, вычислитель, скольких быков злой похититель
Из стада увести сумел, и сколько всех быков имел
Геракл могучий и отважный, — все это знать нам очень важно?

Задача 4. Мифология.

Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
"Что такое тебя огорчило, ответствуй немедля".
"Яблок я нес с Геликона немало, — Эрот отвечает, —
Музы, отколь не возьмись,  напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа,
А Клио пятую долю взяла, Талия - долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена, Четверть взяла Терпсихора,

С частью седьмою Эрато  стремглав от меня убежала.
Тридцать плодов унесла Полигимния.  Сотня и двадцать взяты Уранией.
Триста плодов понесла Каллиопа.  Я возвращаюсь домой
Почти что с пустыми руками: только полсотни плодов
Мне оставили музы на долю"        Сколько плодов было у Эрота?

Часть 4. История математики.

Вопрос 1. Какого происхождения слово АРИФМЕТИКА?

А: Арабского;   В: Греческого;   С: Итальянского.

Вопрос 2. Кто создал метрическую систему  мер?

А: греки;    В: итальянцы;   С: французы

И кто впервые в России, в своем учебнике ее применяет?

А: Лобачевский;   В: Магницкий;   С: Ковалевская.

Вопрос 3. Где возникла десятичная система счисления?

А: греки;    В: итальянцы;   С: французы

И кто впервые в России, в своем учебнике ее применяет?

А: Лобачевский;   В: Магницкий;   С: Ковалевская.

Когда была издана первая печатная книга по арифметике в России?

А: В 1682 году;   В: В 1782 году;   С: В 1582 году

И кем была издана первая книга по математике в России?

А: Г.Ф. Рыбкин;   В: Л.Ф.Магницкий;   С: А.П. Юшкевич

Вопрос 4.  Кто является основателем алгебры?

А: Абу Али ибн Сина;   В: Мухаммед-бен Муса ал Хорезми;

С: Диофант Александрийский

И кто предложил неизвестные величины в задачах обозначать одними буквами, а известные – другими?

А: Ф. Виет;   В: Р. Декарт;   С: И. Ньютон.

Вопрос 5.Кто является основателем геометрии?

А: Пифагор;   В: Евклид;   С: Геродот

и  кто является основателем аналитической геометрии?

А: Декарт;   В: Эйлер;   С: Виет.

Часть 5. Древние задачи.

Задача 1.  Древнееврейская задача. (из еврейской рукописи «Бава – Батра»)

Пять дворов расположены один за другим, соединены проходами, но проход в переулок общий. Расходы по содержанию дворов распределены так, что живущие на заднем дворе принимают участие в расходе по всем пяти дворам, живущие в следующем по четырем, и т. д. Наконец, живущие в переднем дворе принимают участие в расходе только по этому последнему.

Какая часть расходов падает на каждый двор?

Задача 2. Китайская задача. Имеется два сорта чая. 3 фунта первого смешаны с 6 фунтами второго, после чего оказалось, что фунт смеси стоит 3 дяо.После этого смешали 12 фунтов первого сорта с 4 фунтами второго, причем оказалось, что фунт смеси стоит 3,5 дяо.

Сколько стоит фунт первого и второго сорта чая?

Задача 3. Древняя греческая задача. Бассейн получает воду из четырех труб. Первая наполняет его в день, вторая – в два дня, третья – в три.

Требуется узнать, во сколько времени наполнится бассейн, если все четыре трубы открыть одновременно.

Часть 6. Подведение итогов. Можно учредить несколько номинаций по названиям частей конкурса. Вручить несколько призов: «Лучшему знатоку логики», «Лучшему знатоку математики», « Лучшему знатоку истории математики». По результатам конкурса определить победителя.