Методические рекомендации для студентов 2 курса по математике по теме "Интегральное исчисление"
методическая разработка по теме

Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования

«Армавирский юридический техникум»

Краснодарского края

(ГБОУ СПО АЮТ КК)

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по организации самостоятельной работы студентов 2 курса специальности 030912 Право и организация социального обеспечения

по дисциплине Математика

на тему: “Интегральное исчисление”.

Подготовил преподаватель

Макуха И.А.

Рассмотрены и утверждены

на заседании цикловой методической

комиссии математических и

компьютерных  дисциплин

Дата “        ”                     2013г.        

Протокол №        

Председатель ЦМК

2013-2014 уч. год

Пояснительная записка

Тема «Интегральное исчисление» является наиболее сложной для восприятия обучающимися, так как является ключевым разделом математического анализа, поглощающим в себя раздел «Дифференциальное исчисление», который так же является наиболее сложным разделом математики.

В данной работе рассматриваются основные способы и методы решения неопределённых и определённых интегралов, есть задания для самостоятельного решения, необходимые для выполнения практических занятий и самостоятельных работ по разделу  «Интегральное исчисление» в количестве 12 часов.

Также в работе приводится перечень теоретических вопросов, составленных на основе ФГОС СПО по математике для специальности 030912 Право и организация социального обеспечения.

Содержание

1. Теоретические вопросы.
2. Задания для самостоятельной работы.
3. Решение типовых примеров
4. Список использованной литературы

Теоретические вопросы

1. Первообразная функции и неопределённый интеграл.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Методы интегрирования неопределенного интеграла: разложения, замены переменной и интегрирования по частям.
4. Интегрирование отдельных классов функций.
5. Понятие определенного интеграла.
6. Формула Ньютона-Лейбница.
7. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
8. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения.

Задания для самостоятельной работы

№ 1. Найти неопределенные интегралы:

№ 2. Найти определенные интегралы:

3. Решение типовых примеров

1. Найти неопределенный интеграл:

а) ;   б) ;   в);   г) .

Справочный материал

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если (F(x))’=f(x).

Первообразная определена неоднозначно: если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x)+C – также первообразная для данной функции.

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается , где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С –  произвольная постоянная (С = const),  - знак операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.

Свойства неопределенного интеграла:

1.  , где с = const.

2. .

3. .

Таблица 1 (неопределенных интегралов)

Решение. а)

Чтобы найти данный неопределенный интеграл, воспользуемся методом разложения, который заключается в разложении подынтегральной функции на сумму функций и использовании свойств неопределенного интеграла 1 и 2.

===(св-во 2) =

= = (св-во 1) = =(используем формулы 3 и 4 из таблицы 1 н.и.)= =

=.

Ответ: =.

б) .

Данный интеграл вычисляется методом замены переменной (линейная замена). Обозначим выражение в скобках через t: 3х – 1 = t, тогда d(3х – 1)=dt => 3dх = dt =>.

 =  = = (по формуле 3 из таблицы 1 н.и.) =  = = = .

Ответ: = .

в) .

Здесь при вычислении интеграла используется также метод замены переменной (нелинейная замена).

 = == =  = (используем формулу 4 из табл.1 н.и.) =  = .

Ответ: = .

г) .

Для решения этого примера нужно использовать метод интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям имеет вид:  .

Этот метод применяется для двух групп интегралов:

I. ; ;  (где m=const). В этой группе в качестве u выбирают х, а остальная часть подынтегрального выражения принимается за dv (u = x).

II. ; ; ; ;  (где m=const). В этой группе xdx = dv.

В нашем случае интеграл относится к первой группе интегралов, поэтому в качестве u возьмем 5х – 2 (u = 5х – 2), а dv = e3x∙dx.

= =

(по формуле интегрирования по частям) =  =

 = .

Ответ: = .

2. Вычислить определенные интегралы:

а) ;                 б) .

Справочный материал

Для вычисления определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница:

.

(где а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел, F(x) – первообразная для функции f(x). Для нахождения первообразной F(x) используются те же методы, что и при вычислении неопределенных интегралов).

Решение.

а) = (формула 9 табл. 1 н.и.) = = .

Ответ:  = .

б) Используем метод замены переменной: = =

= = (по формуле 3 табл.1 н.и.)= = = (т.к. ln1 = 0)== .

Ответ:  = .

Замечание: В отличие от метода замены для неопределенных интегралов, для определенных интегралов нет необходимости возвращаться к старой переменной интегрирования (х), если перейти к новым пределам интегрирования (в нашем примере старыми пределами были а = 0, b = , а новыми стали а = 1, b = ).

Список использованной литературы

Основная:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер и др. - М.: ЮНИТИ, 2012.

Дополнительная:

1. Общий курс высшей математики для экономистов / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2010 г. – 656 с.

2. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 2-х частях. Ч.1. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 224с.

3. Справочник по высшей математике / Под ред. М.Я.Выгодского. – М.: Наука, 1966 г.