презентация к уроку "Комплексные числа"
презентация к уроку по теме

Слайд 1

Комплексные числа и их геометрическая интерпретация

Слайд 2

Определение: Комплексными числами называются числа вида z =a+ bi , где a и b – действительные числа, а число i , определяемое равенством i 2 = - 1 , называется мнимой единицей.

Слайд 3

Понятия равенства и действия над комплексными числами. 1) Два комплексных числа z 1 =a 1 +b 1 i и z 2 =a 2 +b 2 i называются равными, если a 1 =a 2 и b 1 =b 2 . 2) Суммой двух комплексных чисел z 1 =a 1 +b 1 i и z 2 =a 2 +b 2 i называется комплексное число z= (a 1 +a 2 )+(b 1 +b 2 )i . 3) Произведением двух комплексных чисел z 1 =a 1 +b 1 i и z 2 =a 2 +b 2 i называется комплексное число z= (a 1 a 2 – b 1 b 2 )+(a 1 b 2 +a 2 b 1 ) i .

Слайд 4

z=a+bi – алгебраическая форма записи комплексного числа, a – действительная часть, b – мнимая часть. Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: a=a+0·i . При а=0 z=bi .

Слайд 5

Определение: 1. Комплексное число z=a - bi называется комплексно сопряженным с числом z=a + bi и обозначается , т.е. = = a-bi . 2. Комплексные числа z=a + bi и z= - a - bi называются противоположными . 3. Модулем комплексного числа z=a + bi называется число |z| = |a+bi| = (1), |z|≥ 0; |z| = 0, если z = 0.

Слайд 6

Комплексное число можно изображать точкой плоскости с координатами ( a ; b ) (рис.1). При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действител ьно й осью , а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью . Каждой точке плоскости с координатами ( a ; b ) соответствует один и только один вектор с началом в точке О (0;0) и концом в точке М( a ; b ).

Слайд 7

Свойства( согласно геометрической интерпретации) : 1. Длина вектора равна |z| . 2. Точки z=a + bi и z=a - bi симметричны относительно действительной оси. 3. Точки z и - z с имметричны относительно точки z = 0. 4. Число z 1 + z 2 геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам z 1 и z 2 (рис.2). 5. Расстояние между точками z 1 и z 2 равно | z 1 - z 2 |.

Слайд 8

Определение: Угол φ между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа z = 0 (как положительный, так и отрицательный). Обозначается: φ =arg z или φ =arg (a+bi) (2). Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, отличается друг о друга на число, кратное 2 π . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка - π < φ≤π называется главным значением аргумента.

Слайд 9

Из определения тригонометрических функций следует, что если φ =arg (a+bi) , то имеют место равенства cos φ = a/ =a/r, sin φ = b/ =b/r (3). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, все значения аргумента φ можно находить, решая совместно уравнения (3).

Слайд 10

Значения аргумента можно находить и по схеме: 1) Определить, в какой четверти находится точка z=a + bi ( использовать геометрическую интерпретацию) 2) Найти в этой четверти угол φ , решив одно из уравнений (3) или уравнение tg φ = b/a (4) 3) Найти все значения аргумента числа z по формуле arg z= φ+2πk, k Z .