Презентация на тему "Числа"
презентация к уроку по теме

Материал презентации взят из книги Л.Ф. Пичурина "За страницами учебника алгебры", гдесодержатся исторические сведения и занимательнве факты.

Текст к презентации «Числа».

Слайд2.  Итак мы переходим к знакомству с важнейшей частью алгебры – учение о числе. Первой задачей в нашем знакомстве со вторым китом алгебры будет рассмотрение множества натуральных чисел. Так как изучение математики начиналось с натуральных чисел, т. е. «природными», естественными, обыкновенными.  Обозначают это множество буквой N (лат. Naturalis – естественный, природный). Это числа 1, 2, 3, … Они понадобились человеку прежде всего для счета предметов. И хотя вы, конечно, изучали натуральные числа, но некоторые его свойства мы все же повторим.

     Во-первых это множество упорядоченно. Эта фраза означает, что для любых двух неравных натуральных числах всегда можно сказать, что одно из них меньше другого. Например 3 меньше 5 и т. д.

    Во-вторых, множество N ограниченно снизу. Это значит, что в нем есть число, меньше которого натуральных чисел уже не существует. Что это за  число? Конечно, 1.

      В-третьих, множество N неплотно. В чем состоит это свойство? Между двумя натуральными числами далеко не всегда удастся вставить третье так, чтобы оно было больше меньшего, но меньше большего из них. Например, между 3 и 7 можно вставить 4 и 5, и 6. Но вот между 8 и 9 уже никакого натурального числа не вставишь! И вообще за любым натуральным числом непосредственно следует одно и только одно натуральное число.

    В-четвертых, множество N не ограниченно сверху, иначе говоря, не существует   самого большого натурального числа.

Слайд 3. Перечисленные свойства натуральных чисел отражены в аксиомах  арифметики натуральных чисел. Ученых давно привлекала внимание мысль о построении теории натуральных чисел. Попыток было сделано немало, наиболее удачной оказалась система аксиом, сформулированных итальянским ученым Джузеппе Пеано (1858-1932).

Акисома1. Существует натуральное число единица, не следующее ни за каким числом.

Аксиома 2. За любым натуральным числом следует одно и только одно число.

Аксиома 3. Всякое натуральное число, кроме единицы, следует за одним и только одним числом.

    Аксиома 4. Если какая- либо теорема, о свойствах натуральных чисел доказана для  единицы и если из допущения, что она верна для натурального числа n, следует, что она верна и для числа, непосредственно следующего за n, то она верна для всех натуральных чисел.

Слайд 4. Обратимся теперь к еще одному хорошо известному вам свойству множества N, которое называется замкнутостью относительно операций сложения и умножения. Вы, знаете, что сумма любых двух натуральных чисел всегда является натуральным. Точно также и произведение двух натуральных чисел обязательно будет натуральным числом. Но относительно операций вычитания и деления множество N незамкнуто. Это означает, что разность двух натуральных чисел вовсе не обязательно будет натуральным же числом (вычитая из меньшего  большее, например из 5 вычитая 7, получим –2 – число целое, но не натуральное, а противоположное натуральному числу 2  отрицательное число). И с делением такая же картина. Поделив 6 на 2, получим 3-натуральное число. Но разделив 6 на 5, получим 1, т. е.  не натуральное число. Иначе говоря, разность натуральных чисел, как и их частное, не всегда удается выразить натуральным же числом, для этих операций натуральных чисел не хватает.

Слайд 5. По отношению к делению натуральные числа обладают рядом очень интересных свойств. Вы уже знаете о существовании простых чисел, т. е. чисел, делящихся только на единицу и на самого себя. Например, число 11- оно не делится ни на одно число, кроме 1 и 11. Остальные числа, кроме единицы, называют составными. Единица не считается ни простым, ни составным числом. Ясно, что по «внешнему виду» числа, по его записи нельзя установить, является ли оно простым или составным. Для упрощения поиска простых чисел заманчивым представляется решение такой задачи: найти формулу, при вычислениях по которой всегда получались бы простые числа. Интересный поиск предпринял в этом направлении французский ученый Марен Мерсенн(1588-1648). Мерсенн заинтересовался числами вида 2^р –1, где р-простое число. Отыскание простых чисел такого вида каждый раз является серьезным научным достижением.

ЧИСЛА ВИДА М_р= 2^Р -1

  Слайд 6.  В наше время при помощи ЭВМ найдено еще несколько простых чисел данного вида, одно из последних – 2²¹⁶⁰⁹¹ – 1.Любопытно, что пока не удалось установить, конечно или бесконечно число таких простых чисел.

     Любое натуральное число а  может быть представлено в виде произведения простых множителей а = , где е – натуральные показатели степени, а р – различные простые числа. Это утверждение называется основной теоремой арифметики.

  Слайд 7. Следующее множество чисел, о котором мы будем говорить, - множество Z, множество целых чисел, т. е. множество чисел…,--3,-2,-1,0,1,2,3,…Тому, кто хорошо понял, что множество N не ограниченно сверху, не составит труда усвоить мысль о неограниченности множества Z снизу, и это новое свойство не окажется таким уж новым. Множество Z упорядоченно, неплотно,  так же как и множество N. Относительно операции деления множество Z ведет себя точно таким же образом, что и множество N,- оно незамкнуто относительно этой операции. Короче говоря, множества N и Z очень похожи друг на друга.

Принципиальное же различие между ними лишь в одном – стоило добавить к N число 0 и числа, противоположные натуральным, как новое множество стало замкнутым относительно операции вычитания.

Слайд 8.  Людям нелегко было понять, что такое – отрицательные числа. Недаром даже такие великие ученые древности, как Архимед, ими еще не пользовались. Но именно они, отрицательные числа, сделали возможным превратить решение нелегких арифметических задач в простое исполнение заранее составленных алгоритмов решения уравнений. Побудительной причиной для «изобретения» отрицательных чисел явилось желание кратко характеризовать величины, изменяющиеся в двух противоположных направлениях: долг-имущество, вправо-влево, вверх-вниз, и т.п.  Первыми, кто дал некоторые правила действия с отрицательными числами, были китайские математики. Во II в. до н. э. Китайский ученый  Чжан Цань написал книгу «Арифметика в девяти главах». В этой книге впервые в науке встречаются отрицательные  количества. Полного и ясного понимания  природы отрицательных величин и правил действия с ними у него нет. Каждое отрицательное число он понимал как долг, а положительное  - как имущество. Действия с отрицательными числами он производил не так, как мы, а пользуясь рассуждениями о долге. Знак минус тогда не знали, поэтому, чтобы отличить числа, выражавшие долг, Чжан Цань писал их другими  чернилами, чем числа, выражавшие имущество.

Слайд 9. Через восемь веков после Чжан Цаня индийский ученый  Брамагупта писал: «Сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов – долг; имущество и долг  - их разность или,  если они равны,- нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля – имущество, двух нулей – нуль». Он производит действия сложения и вычитания с ними, но теоретического обоснования им не дает.

     Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах,  меньших нуля.

 Слайд 10. В XVIIв. Великий французский ученый Ренэ Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Среди ученых разгорелся большой спор и долгий спор о сущности отрицательных чисел, о том, признать отрицательные числа числами действительными или нет. Спор этот после Декарта продолжался около 200лет.

  Только в начале XIX в. теория  отрицательных чисел  закончила свое развитие, и они получили всеобщее признание.

  Вернемся к операции деления, которое не всегда выполняется во множестве N, так и во множестве Z. Чтобы операция деления была выполнима, пришлось расширить числовое множество N, т. е. добавили дробные числа. Символ

Впервые встречается в сочинении итальянского ученого Фибоначи в 1202г.

Слайд 11. На практике к дробям приводит не только деление на части, но и другая важнейшая задача – измерение длин, площадей, объемов.

Слайд 12. Ведь при измерениях приходится выбирать какую-то единицу меры, и эта единица вовсе не обязательно укладывается в измеряемом отрезке, прямоугольнике, параллелепипеде и т. д. целое число раз. Это понимали еще в Египте и в Древнем Вавилоне.

Слайд 13. Итак, расширение множества Z до множества Q – множества рациональных чисел дало возможность создать множество, замкнутое относительно операции деления, - кроме, конечно, деления на нуль, тут никаких замыканий быть не может, нельзя и все!

Слайд 14. Стало возможным без ограничений, кроме случая  b = 0, решения уравнения 

     хb=a. Появилась возможность проводить измерения.

Мы теперь знаем, что ни множество N, ни множество Z не являются плотными. А как обстоит дело с множеством Q? Между двумя дробями р и q (р < q) всегда можно «вставить» третью дробь r с таким условием, что р<r<q, значит Q плотно.

    Рассмотрим участок числового луча, например, от точки А до точки В

  Если мы разделим отрезок АВ пополам, то точку Е, которой соответствует число  , разделив АВ на четыре, получим три точки: , , . Возникает вопрос: выполняя такое деление много бесконечно много! – раз, мы заполним точками весь отрезок или нет? Будет ли соответствовать каждой точке отрезка АВ дробь?

 Прежде чем ответить на вопрос, проделаем такое построение:

1.     Построим на отрезке АВ квадрат ОАDС;                   D             С

2.      Проведем диагональ ОС;

3.      Затем дугу СВ до пересечения с числовым лучом.                                                                                                         

Так как отрезок ОС равен (по теореме Пифагора), то и отрезок ОВ тоже равен . Какая же это дробь? Что же мы имеем? Точка есть, а дроби нет! Что все это может значить?

А значит это вот что. Рациональных чисел не хватает для того, чтобы сделать числовую прямую сплошной. Нам нужны новые числа.

Слайд 15. Эти числа принято называть иррациональными. В то время люди считали, что существуют только натуральные числа и числа, представляющие собой их отношение  (лат. Ratio-отношение), т. е. обыкновенные дроби. Иррациональные – это значит не выражающиеся в виде такого отношения, т. е. не рациональные. Ибо не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Сам факт существования таких чисел долго не укладывался в сознании ученых древности. Существует легенда, будто этот факт настолько потряс Пифагора и его учеников, что они решили скрыть его от всех. Но нашелся некто Гиппас, который разгласил запретную информацию. Легенда утверждает, что боги наказали его – он утонул во время кораблекрушения.

   Если выписать последовательно десятичные дроби:

v квадрат которых меньше 2, то получится 1,4; 1,41; 1,414…

v квадрат которых больше 2, то получится 1,5; 1,42; 1,415…

       И таких дробей мы можем написать сколько угодно.

      Тогда становится понятным такое определение: иррациональным числом называется непериодическая бесконечная дробь.

Слайд 16. Иррациональные числа вместе с рациональными составляют множество, которое называют множеством действительных чисел и обозначают буквой R (от лат. Realis – реальный, вещественный, действительный, существующий в действительности).

При изучении математики в школе мы фактически все время используем именно это множество, хотя и обходимся без глубокого его изучения.

На протяжении многих лет не ощущалась необходимость построения достаточно глубокой и полной теории действительных чисел.

Слайд 17. Но с развитием науки и техники такая необходимость возникла, и во второй половине XIX в. эта теория была создана. Главную роль в этом сыграл немецкий математик Рихард Дедекинд (1831 – 1916). Его сочинение, вышедшее в свет в 1872г. так и называлось «Непрерывность и иррациональные числа». Р. Дедекинд  создал теорию, которая оказалась применимой во многих разделах математики, да и не только математики. В 1871г. он ввел такое определение: «Полем называется любая система из бесконечного числа действительных чисел, которая является замкнутой и полной так, что сложение, вычитание, умножение и деление любых двух чисел снова дает число той же системы».

Слайд 18. Сегодня это определение звучит так:

 «Полем называется множество, для элементов которого определены арифметические операции, то есть:

1.     для любых элементов а и в определены их сумма а + b и произведение а b;

2.     нуль и единица являются элементами поля;

3. для любого элемента а, принадлежащего полю, имеется противоположный ему элемент –а, также принадлежащий полю, для любого элемента а ¹ 0, принадлежащего полю, имеется ему элемент , также принадлежащий полю;

Слайд 19.  4. выполняются тождества:

Конечно, получилось очень длинное определение, включающее в себя массу фактов. Но ведь почти все вы знаете.

     В заключении хочу сказать, что изучение математики требует от вас глубокого понимания «устройства» множества действительных чисел, что, в свою очередь, потребует безупречного понимания устройства и свойств множества натуральных, целых и рациональных чисел.

      Данная схема не отражает ни исторического, ни логического пути развития понятия числа, а является схемой, отражающей классификацию чисел.

       Одним из великих достижений человеческого гения является открытие  нового вида чисел - комплексных чисел. Об этих числах поговорим в следующий раз.

2