Презентация "Элементы комбинаторики и теория вероятностей"2 часть
учебно-методический материал

Слайд 1

Автор Гончарова Светлана Павловна Преподаватель математики Краснодарский колледж электронного приборостроения Презентация «Элементы комбинаторики. Теория вероятностей и математическая статистика»

Слайд 2

Содержание: Элементы комбинаторики. Вероятность события. Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона. Дискретная случайная величина. Числовые характеристики ДСВ, законы распределения. Непрерывная случайная величина. Числовые характеристики НСВ , законы распределения . Задачи и методы математической статистики.

Слайд 3

Биномиальный закон распределения Биномиальным называют распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p. П усть происходит n независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится с одной и той же вероятностью p . Тогда случайная величина X - количество испытаний, в которых появилось событие, имеет биномиальное распределение вероятностей . Она может принимать целые значения от 0 (событие не произошло ни разу) до n (событие произошло во всех испытаниях). Формула для вычисления соответствующих вероятностей - уже известная нам формула Бернулли для схемы повторных независимых испытаний : Для биномиального распределения известны готовые формулы для математического ожидания и дисперсии :

Слайд 4

Задача 1.

Слайд 5

Задача 2.

Слайд 7

Задача 3.

Слайд 9

Задача 5. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено четыре варианта ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти M(X), D(X ). Задача 6 . Стрелок производит 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. За каждое попадание стрелку засчитывается 10 очков. Найти закон распределения числа засчитанных очков . Задача 7. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины Х - числа мальчиков в семье с 4 детьми. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Слайд 10

Геометрический закон распределения ДСВ Пусть происходит серия независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится с одной и той же вероятностью p. Тогда случайная величина X - количество испытаний до первого появления события, имеет геометрическое распределение вероятностей . Она может принимать всевозможные целые значения от 0 (событие произошло в первом испытании) и больше (счетное число значений). Формула для вычисления соответствующих вероятностей легко выводится : Для геометрического распределения известны готовые формулы для математического ожидания и дисперсии :

Слайд 11

Задача 8.

Слайд 13

Задача 9.

Слайд 15

С понятием гипергеометрической вероятности мы уже сталкивались ранее, когда решали определенный кластер задач по формуле классической вероятности: задачи про выбор шаров определенного цвета, выигрышных лотерейных билетов или бракованных деталей. Теперь такие же задачи будут встречаться и при изучении случайных величин. Для определенности сформулируем задачу следующим образом: Из урны, в которой находятся N шаров ( K белых и N-K чёрных шаров), наудачу и без возвращения вынимают n шаров ( ). Найти закон распределения случайной величины X - равной числу белых шаров среди выбранных . Случайная величина X может принимать целые значения от 0 до K ( если n

Слайд 16

Задача. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно . РЕШЕНИЕ. Введем дискретную случайную величину X = (Число проданных автомобилей черного цвета). X может принимать значения 0, 1, 2 и 3. Найдем соответствующие вероятности по классическому определению вероятности. Всего способов выбрать 3 любых автомобиля из 15 будет : X = 0 , если все автомобили не черные, таких было 8 штук, поэтому X =1, если один автомобиль черный (выбираем из 7) и еще два – не черные (выбираем из 8 остальных ) , X = 2 , если два автомобиля черные (выбираем из 7) и еще один – не черный (выбираем из 8 остальных ) , X = 3, если все автомобили черные, вероятность Ряд распределения случайной величины X : Сумма вероятностей равна 1, распределение найдено верно. 0 1 2 3 8/65 28/65 24/65 1/13 0 1 2 3 8/65 28/65 24/65 1/13

Слайд 17

Задача 1. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трёх независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6. Задача 2. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестёрки. Задача 3. Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести очков. Найти вероятность того, что первое выпадение «шестёрки» произойдёт при втором бросании игральной кости. Задача 4 . В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

Слайд 18

Непрерывная случайная величина В отличие от дискретной случайной величины, НСВ может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы (т.к. действительных чисел несчётно много) . В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов. Функция распределения непрерывной случайной величины X о пределяется точно так же, как и функция распределения ДСВ : – вероятность того, что случайная величина X примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная x, которая «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Таким образом, учитываются все значения, которые в принципе может принять произвольная случайная величина . С увеличением x функция распределения «накапливает» (суммирует) вероятности, а значит, является неубывающей и изменяется в пределах . По этой причине её иногда называют интегральной функцией распределения . Важной особенностью является тот факт, что функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна! Часто её можно встретить в кусочном виде, например :

Слайд 19

Функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: . Примечание : для дискретной случайной величины такой функции не существует . Если случайная величина X принимает значения из конечного промежутка, то всё дело сводится к вычислению определённого интеграла : С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина X достоверно примет одно из значений отрезка . Геометрически же это означает, что площадь между осью OX и графиком f(x) равна единице .

Слайд 20

Числовые характеристики непрерывной случайной величины Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Все возможные значения случайной величины X принадлежат промежутку Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется определенный интеграл Если X принимает з начения на то Дисперсией непрерывной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения D ; D Если X принимает значения на то D Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины

Слайд 21

Пример. Найти Найдем D

Слайд 25

Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна . Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид Значения f ( x ) в крайних точках a и b участка ( a , b ) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины равна нулю . Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок ( a , b ) , в связи с чем равномерное распределение иногда называют "прямоугольным ".

Слайд 26

Найти вероятность попадания случайной величины X , равномерно распределённой на участке ( a , b ) на любую часть ( α , β ) участка ( a , b ). Эта вероятность находится по формуле и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и опирающуюся на часть ( α , β ) участка ( a , b ):

Слайд 27

Функция распределения F ( x ) непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид

Слайд 28

Пример 1. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случа й ной величины при условиях, которые будут указаны в решении. Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. : Найдём среднее значение непрерывной случайной величины : Найдём стандартное отклонение:

Слайд 31

Примерами случайных величин, распределённых по нормальному закону, являются рост человека, масса вылавливаемой рыбы одного вида . Нормальность распределения означает следующее : существуют значения роста человека, массы рыбы одного вида, которые на интуитивном уровне воспринимаются как "нормальные" (а по сути - усреднённые), и они-то в достаточно большой выборке встречаются гораздо чаще, чем отличающиеся в большую или меньшую сторону . Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины (иногда - распределение Гаусса) можно назвать колоколообразным из-за того, что симметричная относительно среднего функция плотности этого распределения очень похожа на разрез колокола. Н ормальное распределение можно найти в распределении многих показателях в системах связи (сигналы, шумы, помехи и другие), под нормальное распределение подгоняют многие финансовые показатели . Ц ентральная предельная теорема позволяет применить нормальный закон еще к сотням изучаемых явлений: "Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному."

Слайд 32

Функцию плотности нормального распределения непрерывной случайной величины можно найти по формуле :

Слайд 34

Задача 1. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г? Решение . Пусть X - нормально распределенная случайная величина, равная массе коробки с конфетами, параметры a =1,06 (математическое ожидание), σ (среднее квадратичное отклонение). Используем формулу для нахождения вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал : , где Φ( x ) - функция Лапласа (значения берутся из таблицы). Используем условие: 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг, то есть: Теперь вычислим, каков процент коробок, масса которых превышает 940 г.

Слайд 35

Задача 2 . Станок изготовляет шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ = 0,25 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных . Решение. Используем формулу: - - нормированная функция Лапласа.

Слайд 36

Задача 3. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн. а) Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля. б) Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 860 до 940 тонн угля. в) Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тонн . Задача 4. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см. 1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см. 2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?

Слайд 37

Задачи и методы математической статистики Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. Первая задача математической статистики: указать способы сбора и группировки статистических данных, полученных в результате экспериментов. Вторая задача математической статистики: разработать методы анализа статистических данных. Ко второй задаче относятся: Оценка неизвестных параметров (вероятности события, функции распределения и её параметров и т.д.) с построением доверительных интервалов (методы оценивания). Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения и параметров распределения (методы проверки гипотез). При этом решаются следующие в порядке сложности и важности задачи: Описание явлений, то есть, упорядочение поступившего статистического материала, представление его в наиболее удобном для обозрения и анализа виде (таблицы, графики). Анализ и прогноз, то есть приближённая оценка характеристик на основании статистических данных. Например, приближённая оценка математического ожидания и дисперсии наблюдаемой случайной величины и определение погрешностей этих оценок. Выработка оптимальных решений. Например, определение числа опытов n, достаточного для того, чтобы ошибка от замены теоретических числовых характеристик их экспериментальными оценками не превышала заданного значения. В связи с этим возникает задача проверки правдоподобия гипотез о параметрах распределения и о законах распределения случайной величины, решением которой является возможность сделать один из выводов: – отбросить гипотезу, как противоречащую опытным данным; – принять гипотезу, считать ее приемлемой.

Слайд 38

Математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями; оценить, значимы или не значимы наблюдаемые факты; принять или отбросить те или иные гипотезы о природе случайных явлений. Генеральной совокупностью называют полный набор всех возможных N значений дискретной случайной величины Х. Практически сложно получить полную информацию о случайной величине. Поэтому случайным образом отбирают объекты, которые называется выборкой , при этом число – n называется объемом выборки . Выборку делают либо из ранее полученных результатов, либо планируют эксперимент. По результатам выборки строят простой статистический ряд в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой – порядковый номер измерения, во второй – его результат x i . Затем производят группировку данных. Вначале x i располагают в порядке возрастания, интервал наблюдаемых значений случайной величины разбивают на последовательные непересекающиеся частичные интервалы, далее подсчитывают количество значений x i , попавших в каждый интервал, т.е. n i . Таким образом, получается группированный статистический ряд или статистическое распределение выборки. Статистическим распределением выборки или статистическим рядом называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Слайд 39

Пример 1 . После группировки данных в выборке статистический ряд задан таблицей 1 (где объем выборки n = 15). Таблица 1 i 1 2 3 4 x i 2 3 5 10 n i 5 5 3 2 В таблице 1 значения x i называют вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке (вся строка x i ) называется вариационным рядом . Число наблюдений n i называют частотами , i – номер варианты . Учитывая, что – это объем выборки, можно найти относительную частоту p i = n i /n, наблюдаемого значения x i – варианты, k – количество вариант . Тогда таблица 1 будет иметь вид: Таблица 2 i 1 2 3 4 x i 2 3 5 10 n i /n 0,33 0,33 0,2 0,14

Слайд 40

Табличные данные могут быть представлены графически в виде полигона или гистограммы. Если выборка задана в виде отдельных точек, а не интервалов, тогда строят полигон частот. Полигоном частот называется ломанная, отрезки которой соединяют точки (x ; ; n i / n ). На рис.1 изображен полигон относительных частот, приведённых в таблице 2 . Рис.1 Полигон

Слайд 41

Используемая литература и источники: Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. – М.: Высшее образование, 2008. – 479 с. Прохоров Ю.В., Прохоров А.В. Курс лекций по теории вероятностей и математической статистике. – Издательство: МЦМНО, 2019. – 144 с. Семенов В. А. С30 Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Стандарт третьего поколения. – СПб.: Питер , 2013. — 192 с. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Е.А. Коган, А.А. Юрченко. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 250 с. https://www.matburo.ru/st_subject .