Муниципальное бюджетное общеобразовательное  учреждение

«Новониколаевская средняя школа №2»

1. р.п. Новониколаевский Новониколаевского района
2. Волгоградской области

Научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ и учебных проектов учащихся  «Дойти до самой сути»;

Номинация «Учебно-исследовательские работы: физико-математические науки».

Тема «Математическая составляющая календаря».

Зенин Артем Михайлович, учащийся 6 «а» класса  МБОУ «Новониколаевская СШ № 2»

Кузнецова Елизавета Алексеевна, учащаяся 6 «а» класса  МБОУ «Новониколаевская СШ № 2»

Руководители:

Попова Марина Генриховна, учитель математики

Кузнецова Инна Георгиевна, учитель математики

р.п. Новониколаевский, 2021

Оглавление

Мы так привыкли пользоваться календарем, что даже и не вполне отдаем себе отчет в том, как велика в нашей жизни и во всем нашем мышлении роль упорядоченного счета времени; между тем нетрудно видеть, что никакая культура невозможна без него.

Н.И. Идельсон

1. ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. В жизни любого человека присутствует календарь и для каждого из нас он играет определенную роль: одни планируют свою деятельность; другие отмечают важные для себя и своей семьи даты; мы, школьники, отсчитываем количество дней до экзаменов, выходных дней, долгожданных каникул и праздников, предвкушая таинственное, сказочное, чудесное.

В наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники, разговор о календаре может показаться простым и не современным. Заглядывая в него каждый день, мы не задумываемся над тем, как он устроен, какова история его появления, существует ли он единственный или их множество. В ходе нашего исследования нам удалось выяснить что, над созданием современного календаря трудились ни одно поколение мудрецов, астрономов, физиков и математиков.

С самого начала своего появления, человечество пыталось постичь действительность и изучить природные явления, используя для этого различные способы.

Окружающий нас мир находится в постоянном развитии. В нем нет ничего неизменного и постоянного, все в нем движется и претерпевает изменения. Иногда время несется неумолимо быстро, иногда нестерпимо медленно. Прошлое распределяется по шкале времени. Вся жизнь человеческого общества связана со временем и регулируется периодической сменой дня и ночи и времен года. Желание измерить длительные промежутки стало началом пути по созданию календаря, пути,  длинною более 4 тысяч лет.

Современный календарь, несмотря свою простоту, создавался с помощью весьма серьезных логических приемов и математических расчетов. История его создания изобилует интересными фактами и необычными способами измерения времени. Далеко не все взрослые, не говоря уже о школьниках, знакомы с ними, и неудивительно, так как по данной теме практически нет литературы, да и в школьных учебниках мы только знакомимся с понятием календаря. Отметим также, что сложные математические формулы всё дальше и дальше уводят нас, учащихся, от реальной жизни, окружающей нас действительности. А ведь именно в структуре календаря кроятся множество интересных математических задач, которые являются настоящей гимнастикой для ума. В связи с этим возникают противоречия между: а) практическим применением календаря и знанием его математической структуры; б) желанием ориентироваться во времени и умением быстро вычислять нужные даты; в) возможностью увидеть межпредметные связи и отсутствием данного материала в решении математических задач.

Проблема исследования заключается в отсутствии целостного знания о математической структуре календаря  и возможности его применения в решении практических задач. Представленная проблема обусловила выбор темы исследования: «Математическая составляющая календаря».

Объект исследования – структура календаря.

Предмет исследования – математика в создании календаря и при вычислении дат и дней недели.

Цель исследования: обнаружить математическую составляющую календаря в истории его создания, на современном этапе его существования и в различных жизненных ситуациях.

Задачи исследования:

а) изучить историю создания календаря на предмет математической составляющей;

б) рассмотреть алгоритмы вычисление знаменательных дат;

в) сделать подборку математических задач, на применение знаний структуры современного календаря.

Гипотеза исследования: связь явлений окружающей действительности и календаря есть закономерный, подчиненный математической логике процесс взаимодействия Вселенной и времени.

Основным исследовательским методом в работе является познавательно-практический метод, который реализуется в совокупности таких приёмов, как поиск и анализ литературы, анкетирование, диагностика, сравнительный анализ.

Определившись с темой и обратившись к поиску информации, мы увидели, что большинство источников содержат в основном исторические сведения о появлении календаря и лишь немного касаются его математической составляющей. Разобраться в расчетах создания солнечного календаря помогла нам книга С.Е. Селешникова «История календаря и хронология». Для лунного и лунно-солнечного календаря мы, под руководством учителей, самостоятельно рассчитали периодичность появления продолженных и эмболисмических годов.

Таким образом, в своей работе мы более подробно остановимся на математической составляющей в истории создания календаря, на алгоритме вычисления знаменательных дат и на создании подборки задач на применение сведений о структуре календаря.

2.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1.1. Слово «календарь»: происхождение и понятие. В повседневной жизни мы понимаем слово «календарь» как нечто материальное – перекидной календарь, календарь на открытке или в телефоне, на плакат и т.д. Воспринимаем его как предмет, который позволяет нам ориентироваться во времени, определять для себя значимые даты.

Если обратиться к истории, то слово «календарь» произошло от латинского слова «calendae», обозначающее у римлян  первый день месяца. Далее, это слово приобрело новое звучание – «calendarium» и значение – «долговая книга», в первый день каждого месяца в неё записывалось увеличение долга. Современное понятие слово «календарь» приобрело лишь в Средние века.

В Большом толковом словаре современного русского языка Д.И. Ушакова вводится следующее понятие календаря: «Календарь. 1. Справочная таблица или книга, в которой перечислены в последовательном порядке все дни года с указанием различных других сведений (праздников, исторических дат). 2. Способ счисления дней в году. 3. Распределение занятий, работы, состязаний и т.п. по дням, месяцам» [3].

В словаре русского языка В. Даля определение понятия «календаря» отсутствует.

В толковом словаре живого великорусского языка С.И. Ожегова «Календарь (календы, у римлян, первый день месяца) роспись всех дней в году, с показанием и других, к сему относящихся сведений; месяцеслов. Святцы составляют часть календаря, а сведения астрономические, по суточному и годовому обращению земли и планет, другую»[4].

Таким образом, «календарь» можно определить как таблицу для счета времени, связанную с устройством мира.

2.1.2.Измерение времени. Еще древние люди заметили, что смена дня и ночи, периодичность временных отрезков связана с движением небесных светил. У каждого народа был свой счет времени и свой календарь. В Древнем Египте (2770 – 2767 гг. до н. э) одному году соответствовал промежуток времени между двумя восхождениями Сириуса, и равнялся 365суткам (год состоял из 12 месяцев по 30 дней, а последний месяц содержал лишние 5 дней, которые считались днями рождения богов). В племени Майя (доколумбовая Америка) было три календаря: один гражданский (год состоял из 18 месяцев по 20 дней и еще 5 дней «без имени»), второй церемониальный, а третий единый (объединял два предыдущих) и содержал сведения о движении планет и созвездий. Удивительно, насколько были близки древние цивилизации в своих расчетах к современным данным.

Наблюдения за периодическими явлениями, происходящими в природе, привели к появлению таких понятий, как сутки, месяц, год.  

Смена дня и ночи, времен года, изменения внешнего вида Луны и расположения светил на небе определили закономерности давшие возможность измерять различные промежутки времени и легли в основу создания календаря.

2.1.3. Лунный календарь. Желание связать между собой сутки, месяцы и год привели к тому, что были созданы лунный, солнечно-лунный и солнечный календари.

Лунный календарь – самый простой из календарей, в основе которого лежит смена фаз Луны (синодический месяц). Его создателями считаются жители Древнего Шумера (проживавшие на территории Ирана около 4 тыс. лет до н.э.). Продолжительность синодического месяца составляет около 29  суток (от 29д6ч15м до 29д19ч12м.). Поэтому 12 месяцев в древнешумерском календаре содержали 29 или 30 дней, и чередовались так, чтобы быть приближенными к фазам Луны. Согласно лунному календарю, год содержал 29 ×12= 354  суток. Поэтому, в простом году должно быть 354 дня, а в продолженном 355 дней. Периодичность продолженных годов определялась с помощью цепной дроби:

Обрывая эту дробь на разных стадиях деления, можно получить следующие значения для введения количества продолженных годов (числитель дроби) из общего числа годов (знаменатель дроби): .

Но с развитием земледелия, данный календарь перестал удовлетворять потребностям людей, так как посевные работы были связаны с сезонными изменениями, а не с фазами Луны, так стали появляться лунно-солнечные и солнечные календари.

2.1.4. Лунно-солнечный календарь. Лунно-солнечный календарь – один из самых сложных календарей, в основе которого лежит периодичность смены фаз Луны и видимых движений Солнца. Он связывает синодический месяц и тропический год (период обращения Земли вокруг Солнца) - 365  суток. Количество дней в месяце чередуются таким образом, чтобы быть максимально приближенными к фазам Луны. Согласно этому календарю, год должен состоять из 365  : 29 = 12 синодических месяцев. Поэтому он может содержать 12 месяцев (обычный год) и 13 месяцев (эмболисмический год). Расчет эмболисмических годов идет с помощью цепной дроби:

Обрывая эту дробь на разных стадиях деления, можно получить следующие значения для введения количества эмболисмических лет (числитель дроби) из общего числа лет (знаменатель дроби): ….

Из-за постоянно меняющегося синодического месяца и неодновременным появлением молодой Луны на разных широтах, этот календарь оказался не очень удобным.

2.1.5. Солнечный календарь. Солнечный календарь – самый распространенный календарь современного мира, основанный на движении Солнца. Основоположниками этого календаря по праву являются жрецы Древнего Египта. Они не только определили, по восхождению Сириуса, что год содержит 365 суток, но и то, что реальный тропический год немного длиннее и составляет примерно 365 суток. В Канопском декрете царя Птолемея III датированном 7 марта 238 г. до н. э., говорится: «Так как звезда (Сириус) за каждые четыре года уходит на один день вперед, то, чтобы праздники, празднуемые летом, не пришлись бы на будущее время на зиму, как это бывает и как будет случаться, если год будет и впредь состоять из 360 и пяти добавочных дней, отныне предписывается через каждые 4 года праздновать праздник богов Евергета после пяти добавочных дней и перед новым годом. Пусть всякий знает, что прежние недостатки в счислении времен года отныне верно исправлены царем…» [2].

Наш календарь берет свое начало от римского календаря, который был заимствован у греков первым римским царем Ромулом (738 г. до н.э.), и содержал 10 месяцев (304 дня). Новый год согласно ему, начинался 1 марта. В VII и VI веков до н. э у Этрурии (область на северо-западе Италии) вторым римским императором был заимствован календарь, который добавил к римскому календарю ещё 2 месяца – январь и февраль. Год согласно ему, содержал 4 месяца по 31 дню, 7 месяцев по 29 дней и один месяц – 28 дней (31х4+7х29+28=355 дней). Для того чтобы выровнять дни летнего и зимнего солнцестояния, осеннего и весеннего равноденствия каждые несколько лет к году добавлялся дополнительный месяц, состоящий из 22 или 23 дней.

В 46 г. до н. э. по совету египетского астронома Созигена Юлий Цезарь установил четырёхгодичный солнечный цикл (365 + 365 + 365 + 366 = 1461 день) с неравной продолжительностью месяцев, принятой до сих пор: 4 месяца (апрель, июнь, сентябрь, ноябрь) по 30 дней, 7 месяцев (январь, март, май, июль, август, октябрь, декабрь) по 31 дню, и один месяц (февраль) – 28 дней в течение трёх лет и 29 дней для четвёртого года. Правивший после Цезаря Октавиан Август переименовал шестой месяц в август, а начало нового года перенесено на 1 января. Данный календарь вошел в истории под названием «юлианский».

В 1582 году римским папой Григорием XIII была проведена реформа календаря. Необходимость в ней возникла в связи с тем, что День Весеннего равноденствия, важный для определения религиозных праздников смещался с каждым годом на более ранний срок. Длительность тропического года принималась за 365= 365+ – += 365 +  Отсюда следует распределение високосных годов: год, номер которого кратен 400 – високосный; другие годы, номер которых кратен 100 – не високосные; другие годы, номер которых кратен 4 – високосные; остальные годы – не високосные. Теперь День Весеннего равноденствия закреплен за 21 марта.

Таким образом, григорианский солнечный календарь наиболее удачный и приближен к тропическому году.

2.1.6. Математическая теория солнечных календарей. Попытается разобраться в периодичности високосных годов. Длина тропического года равна 365 средних солнечных суток. Следовательно, простой год в 365 дней окажется более короткий на  или . Это значит, что расхождение за 5000 лет составит 1211 суток. Для того чтобы среднюю продолжительность календарного года приблизить к продолжительности тропического года, надо за эти 5000 лет в календарный счет ввести 1211 високосных лет. Воспользуемся алгоритмом Евклида и представим дробь в виде цепной дроби:

Обрывая эту дробь на разных стадиях деления, можно получить следующие значения для введения количества високосных годов (числитель дроби) из общего числа годов (знаменатель дроби): …. Анализируя полученные дроби, рассмотрим, точность солнечных календарей представленных в таблице.

Анализируя, полученные сведения о календарях и математические расчеты можно сделать вывод о том, что григорианский календарь на современном этапе развития науки является самым удобным и точным.

2.1.7. Пасхальный календарь. Каждый раз, рассматривая календарь, мы выделяем для себя значимые даты. И если часть праздников закреплена за определенным числом,  то есть даты, которые ежегодно меняются, например Христианская Пасха.

Чтобы определить её дату, можно воспользоваться пасхалиями – специальными таблицами, которые составляет православная церковь, а можно – алгоритмом, предложенным немецким математиком Карлом Гауссом в XVIII веке. Рассмотрим его по новому стилю:

1. Разделить номер года на 19 и определить остаток от деления a.
2. Разделить номер года на 4 и определить остаток от деления b.
3. Разделить номер года на 7 и определить остаток от деления c.
4. Разделить сумму 19a + 15 на 30 и определить остаток d.
5. Разделить сумму 2b + 4c + 6d + 6 на 7 и определить остаток e.
6. Определить сумму f = d + e.
7.  (по новому стилю) Если f ≤ 26, то Пасха будет праздноваться 4 + f апреля; если f > 26, то Пасха будет праздноваться f – 26 мая.

Таким образом, математика сыграла свою роль не только в создании лунного, солнечно-лунного и солнечного календарей, но и пасхального.

2.1.8. Вечный календарь. Ни для кого не  секрет, что чаще всего внешний вид календаря представляет собой таблицу, в которой год делится на месяцы, месяцы на недели, недели на дни. И, как правило, в жизни любого человека, встречаются ситуации, когда ему необходимо определить на какой день недели приходиться, то или иное событие. Если это событие в текущем году, то достаточно заглянуть в календарь, а если оно было несколько лет назад или должно произойти через несколько лет, то, как быть?

Около тысячи лет назад были созданы вечные календари – календари на широкий диапазон лет, предназначенные для определения дня недели. В  работе мы предлагаем вечный календарь с 1901 по 2096 г. (приложение 5.1), который состоит из двух таблиц, и позволяет определить на какой день недели приходится конкретная дата. Рассмотрим алгоритм работы с ним:

1. В первой таблице найдите цифру, соответствующую данному году и месяцу;

2. Сложите эту цифру с числом дня;

3. Во второй таблице найдите получившиеся число и определите, какому дню недели оно соответствует.  

 Вечный календарь может быть всегда у нас «под рукой», для этого нужно иметь две таблицы чисел, знать алгоритм  и уметь хорошо считать.  

Алгоритм: 1. (остаток от деления числа месяца на 7) + (число, соответствующее месяцу) + (количество лет от начала столетия) + (количество високосных годов от начала столетия)=сумма;

2. сумму делим на 7 и находим остаток от деления;

 Этот остаток определяет  день недели по второй таблице.

Мы видим, что в вечном календаре присутствуют расчеты, основанные на математических знаниях и на том, как устроен календарь.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

2.2.1. Анкетирование. Для того чтобы выяснить, как современные школьники определяют понятия «календарь», «високосный год», знают ли они способы определения дней недели, на которые приходятся значимые для них даты, была  проведена авторская  анкета (см. приложение 5.2.). Всего опрошено 52 учащихся 5 – 6  и 10 классов.

При ответе на первый вопрос:  «Что такое, по- вашему календарь?» выяснилось, что учащиеся определили его как вещь, предмет, лист, блокнот, сборник, последовательность, расписание, систему, способ для измерения времени, определения дат.

Анализ ответов на третий вопрос: «Какой год считается високосным?» показал, что чаще всего это год в котором 366 дней, 29 дней в феврале, каждый четвертый год, год, число которого делится на 4.

Результаты анкетирования, по второму, четвертому и пятому вопросу представленные на диаграмме в приложении, показали, что современные школьники считают, что они знают приемы вычисления дней недели, на которые приходятся важные события в их жизни, однако практическое занятие показало другие результаты.

2.2.2. Диагностика применения математических знаний при решении практических задач связанных с календарем.  По согласованию с учителями мы  провели по одному занятию для учащихся 5-6 классов, посвященных математическим расчетам, связанных с календарем. В начале занятия предложили школьникам ответить на два вопроса:

1. Знаете ли вы, на какой день недели приходился день вашего рождения?

2. Какого числа будет Пасха в 2022 году?

На первый вопрос мы услышали лишь единичные ответы учащихся (известные им от родителей), второй вопрос поставил их в тупик.

Предложив таблицу вечного календаря с 1901 по 2096 г и показав алгоритм работы с ней, ребята смогли определить, в какой день недели родились они, их родители, братья и сестры. Эти данные мы проверили с помощью другого вечного календаря, который менее объемный, но требующий более сложных расчетов и знаний, о том, с какой периодичностью повторяется високосный год. Не у всех учащихся все получалось, но с нашей помощью они справились.

Пользуясь алгоритмом К. Гаусса, ребята смогли проверить дату Пасхи в этом году и с удовольствием рассчитали её в 2021 г. и 2022 г.

С помощью разработанной авторской презентацией, мы рассказали школьникам историю создания григорианского календаря и показали его математическую составляющую. Проведя исследование современного календаря, мы выяснили в нем простые закономерности:

- в простом году 365 дней (365:7=52 (остаток 1)),  значит в нем 52 недели и один день, следовательно – простой год начинается и заканчивается одним и тем же днем недели;

- в високосном году (366:7=52 (остаток 2)) 52 недели и два дня, следовательно – високосный  год начинается одним днем недели, а заканчивается следующим за ним днем недели;  

- в году больше тех дней недели, с которых год начинается.

С сети Интернет мы сделали подборку задач (приложение 5.3) с практическим содержанием на математические расчеты, связанные с календарем и предложили учащимся решить их дома.

По словам сверстников, наше занятие им понравилось, так как они узнали много нового и интересного.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования мы взглянули на математику с другой стороны, не просто как на точную науку, которая дает знания величин и количественных отношений, а как на систему, которая учит пространственно мыслить, комбинировать различные отрасли знаний. Серьезная и занимательная, чистая и прикладная математика – порой две стороны одной медали или даже четыре грани одного тетраэдра.

Работая над данной темой, мы открыли для себя удивительные закономерности в структуре календаря, интересные исторические данные о его создании, расчетах, вычислении дат. Поэтому мы считаем, что наша работа найдет свое практическое применение на уроках математики, как пример решения задач разного вида с практическим содержанием, так и поможет увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в жизни человечества. Новизна нашей работы заключается в сборе и систематизации знаний о математической составляющей календаря, на уровне понятном для учащихся 5-6 классов.

Испокон веков с календарем связывали различные представления о хаосе и космосе, об устройстве мира, о земле, небе, звездах и человеческой жизни, и совместно с этими представлениями усложнялась и развивалась математика, отвечая потребностям общества. Таким образом, можно сделать вывод, что наша первоначальная гипотеза о том, что связь явлений окружающей действительность и календаря есть закономерный, подчиненный математической логике процесс взаимодействия Вселенной и времени, подтверждается.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ИНФОРМАЦИИ

1. Климишин И. А. «Календарь и хронология» – М., «Наука», 1981 – 320 с.

2. Селешников С. И.. «История календаря и хронология» – М., «Наука», 1972. – 223 с.

3. Ушаков Д.Н. Большой толковый словарь современного русского языка/ Ушаков Д.Н. – М.: «Альт-Принт», 2007. – VIII, 1239 с.

4. https://slovarozhegova.ru/letter.php?charkod=202

5. https://gufo.me/dict/dal/календарь

6. https://www.factroom.ru/facts/52128/

7. https://ru.wikipedia.org/wiki/Лунно-солнечный_календарь

8. https://ru.wikipedia.org/wiki/Римский_календарь

9. https://ru.wikipedia.org/wiki/Григорианский_календарь

10. https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Гаусса_вычисления_даты_Пасхи