Лист Мёбиуса и бутылка Клейна

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №8

с углублённым изучением математики»

Научно-исследовательская работа на тему:

«Лист Мёбиуса и бутылка Клейна»

Выполнила: ученица 10 «А» класса

МАОУСОШ №8

Денисова Виктория

Руководитель: Николаев Андрей

Алексеевич,

учитель математики

Старая Русса, 2023

Оглавление:

Введение………………………………………………………………….3

Глава 1 Теоретическая часть………...……………….…………………5

1.1 Понятие топологии …………………………….………………...….5

1.2 Биография Мёбиуса.………...……………………………………….5

1.3 Лист Мёбиуса..……………………………………………………….6

1.4 Свойства листа Мёбиуса………………………………….…………6

1.5 Значение листа Мёбиуса…………………………………………….7

1.6 Бутылка Клейна……………………………………………………...9

Глава 2 Практическая часть……………………………………………11

2.0 Изготовление листа Мёбиуса………………………………………11

2.1 Разрез листа Мёбиуса……………………………………………….11

Заключение………………………………………………………………13

Список литературы……………………………………………………...14

Приложение……………………………………………………...…...15-18

Введение.

В курсе геометрии 10-ого класса рассматривались темы стереометрии, в том числе и поверхности. Слово «поверхность» вызывает множество ассоциаций: поверхность стен кабинета или земного шара, поверхность стола или листа бумаги. Лист Мёбиуса (по-другому так же можно назвать «Лента Мёбиуса») – это, так называемая «математическая неожиданность»; удивительная и уникальная поверхность. Её особенность заключается в том, что она имеет только одну сторону. Поверхность была открыта в XIX-ом веке, однако на сегодняшний день так же актуальна. Её используют в технике, физике, живописи, архитектуре, оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии.

Я выбрала эту тему потому, что посчитала её достаточно интересной и хочу, не только поделится полученными знаниями в ходе исследования, но и заинтересовать вас стереометрией в целом для дальнейшего изучения.

Объект исследования:

Лист Мёбиуса и бутылка Клеина

Предмет исследования:

Свойства и применение листа Мёбиуса и бутылки  Клеина

Цель работы:

Исследовать поверхности листа Мёбиуса и бутылки Клеина, их свойства и значения

Задачи:

• Изучить понятие топологии;
• Описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления
• Описать бутылку Клеина
• Исследовать свойства листа Мёбиуса и бутылки Клеина
• Определить практическое применение поверхности/области применения данных поверхностей

Методы:

• Изучение и анализ литературных и интернет источников
• Эксперимент

Вид проекта:  исследовательский

Гипотеза: Если лист Мёбиуса имеет одну поверхность, то он обладает уникальными свойствами.

Глава 1. Теоретическая часть

1. Понятие топологии.

Топология – одна из ветвей геометрии; раздел в математике, изучающий явления непрерывности: свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях.

Иначе говоря, объекты изучаемые топологией это – фигуры неменяющиеся при сжатии или растяжении. Поэтому, второе имя этой науки – «Резиновая геометрия».  С точки зрения топологии, при деформации фигуры (при условии, если её не рвали и не склеивали), её свойства остаются неизменными.

Лист Мёбиуса – один из объектов изучения топологии.

2. Биография Мёбиуса

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) (см. Приложение 1) – немецкий математик, механик, астроном-теоретик. Родился на территории княжеской школы Шульпфорта, близ Наумбурга. Его отец занимал должность учителя танцев в этой школе; мать Мёбиуса, Иоганна Катарина Кристиана Кайль, - потомок Мартина Лютера (1483-1546).

Начальное образование Август получил дома и сразу начал проявлять интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в гимназии-интернате Шульпфорта, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1858 году, в возрасте 68 лет, установил существование односторонних поверхностей и стал известен благодаря листу Мёбиуса (так же известный, как лента Мёбиуса). Целый ряд полученных им принципиально новых геометрических результатов Мёбиус изложил в своём главном труде «Барицентрическое исчисление» (1827). Так же под его авторством созданы множество работ в областях астрономии, математики и механики.

В профессиональной среде Мёбиус известен как автор большого количества работ по геометрии, анализу и теории чисел. Целый ряд полученных им принципиально новых геометрических результатов Мёбиус изложил в своём главном труде «Барицентрическое исчисление»

3. Лист Мёбиуса

Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) – топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство (см. Приложение 2).

Пускай считается, что лента Мёбиуса открыта Августом Фердинадом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году, однако первое упоминание похожей структуры изображена на римской мозаике III века н.э.

Любой тонкий объект имеет две поверхности. Примером могут быть: обычный лист бумаги, парта, доска. Лента Мёбиуса имеет одну поверхность, учитывая это, можно сказать что, пройдя вдоль её, можно вернутся к изначальной точке.

1.4 Свойства листа Мёбиуса 

Основная особенность листа Мёбиуса – непрерывность, свойство топологии. На ленте Мёбиуса можно отметить любые две произвольные точки и соединить их одной непрерывной прямой. Отсутствие разрывов указывает на полную непрерывность.

Второе свойство листа Мёбиуса – связность. Чтобы разделить квадрат требуется сделать разрез по диагонали от одного угла к противоположному. В результате получим два прямоугольных треугольника. Чтобы разделить кольцо (подразумевается украшение) потребуется два разреза.

На основе этого в топологии квадрат называют односвязным, а кольцо двухсвязным. Лист Мёбиуса так же двусвязен. Это доказывает то, что при разрезе вдоль, получаем одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то она становится односвязной, на три – двусвязной и т.д. Из этого можно сделать вывод: чётное количество перекрутов делает лист Мёбиуса односвязным, а нечётное – двусвязным.

Лист Мёбиуса единственный объект, к которому относится свойство топологии  «односторонность».

Хроматический номер - максимальное число областей, которое можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Ориентированность – свойство топологии не принадлежащее листу Мёбиуса. Если бы человек смог бы пройтись вдоль ленты Мёбиуса, он вернулся бы в изначальную точку.

1.5 Значение листа Мёбиуса

Эта необычная плоскость легла в основу ряда изобретений, которые представлены далее.

• Ли де Форест (1923) – трёхэлектродная лампа. Изобретатель предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек.

• Амир Губайдуллин (1969) – бесконечная шлифованная лента, работающая обеими сторонами. Он предложил натянуть из спец. материала ленту Мёбиуса на два вращающихся ролика и покрыть её крупинками твёрдого абразива.

• Павел Чесноков (1971) – фильтр непрерывного действия для жидкости, «отличающийся тем, что, с целью интенсификации процесса фильтрования и увеличения срока службы фильтрующего материала, лента выполнена в виде Мёбиуса листа».

• Иван Киселёв (1972) – «бесконечный шлифованный ремень, выполненный на гибкой основе с нанесённым на неё абразивным покрытием и склеенный в кольцо с повёрнутой ветвью, отличающийся тем, что, с целью увеличения стойкости, он имеет в сечении форму многогранника с равными гранями, покрытыми абразивным слоем, а ветвь его повёрнута на одну грань».

• Юрий Драбович и Игорь Криштафович – «магнитный сердечник, изготовленный из ферромагнитной ленты с изоляционным покрытием, отличающийся тем, что, с целью улучшения магнитных свойств сердечникапутём создания равномерного магнитного поля по его сечению, сердечник намотан в форме ленты Мёбиуса».

• Джакобс (1963) – самоочищающийся фильтр, который представляет собой всё ту же ленту Мёбиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, работая при этом обеими сторонами.

• Ричард Дэвис (1963) – электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.

Лист Мёбиуса используется в повседневной жизни. Примером может послужить: ленточный конвейер (благодаря свойству листа Мёбиуса поверхность изнашивается одновременно и техника работает дольше), красящая лента в матричном принтере. Кроме этого эта необычная поверхность служит источником вдохновения для ювелирных украшений, используется на логотипах, как мотив произведений искусств и пр.

К самым известным использованиям ленты Мёбиуса можно отнести: символ вселенной, герб механико-математического факультета Московского университета.

Нельзя утвердить или опровергнуть связь листа Мёбиуса и спирали ДНК. Однако такая структура может объяснить наступление биологической смерти, так как начало находиться там, где и конец – спираль замыкается.

6. Бутылка Клейна

Бутылка Клейна (так же называемая Бутылка Кляйна) (см. Приложение 3) – неориентируемая (односторонняя) поверхность, описана в 1881 году немецким математиком Феликсом Клейном.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве.

Бутылка Клейна подобна ленте Мёбиуса. Она так же является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краю, однако это не получится сделать в трёхмерном пространстве без самопересечения. Если разрезать бутылку Кляйна по оси симметрии, то результатом будет два листа Мёбиуса.

Бутылка Клейна сыграла роль в литературе и искусстве. В рассказе Мартина Гарднера (математика и писателя) «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения. Своё место она нашла и в современной поп-культуре. В сериале Футурама в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.

Бутылку Клейна могут изготовить только высококвалифицированные стеклодувы, однако даже они не смогут изготовить её в подлинном виде, так как на месте самопересечения будет запаяно (см. Приложение 4).

Глава 2. Практическая часть

2.0 Изготовление листа Мёбиуса

Изготовления макета ленты Мёбиуса (см. Приложение 5) можно разделить на три этапа: подбор материалов, изготовление деталей и создание макета.

1. Этап подбора маттериалов:

Для изготовления макета листа Мёбиуса подходит обычный лист бумаги формата А4, ножницы, клей, линейка, по желанию.

2. Изготовление деталей:

Вдоль листа А4 делаем разрез ножницы, в результате получаем полосу шириной примерно 3-4 см и длинной 30 см.

3. Создание макета:

На полученной детали перекручиваем один конец в пол-оборота и приклеиваем его ко второму. Оставляем макет на несколько минут высохнуть.

Изготовление макета ленты Мёбиуса окончено.

2.1 Разрез листа Мёбиуса

Если провести линию посередине вдоль ленты, не отрывая руки, то она вернётся в изначальную точку. Если сделать разрез, соответствующий данной линии, то получим новую ленту Мёбиуса, длиннее предыдущей (см. Приложение 6).

Если провести линию не по центру, а с боку, то придётся сделать два полных оборота вокруг листа Мёбиуса, чтобы вернутся в изначальную точку. Результатом соответствующего разреза станут две различные ленты Мёбиуса (см. Приложение 7).

Если сделать иной лист Мёбиуса с тремя оборотами (540 градусов) и разрез по центру, как в первом случае, то мы получим замкнутую ленту в форме узла трилистника (см. Приложение 8)

Можно сделать ещё более неожиданные и интересные фигуры, если использовать большее количество полуоборотов. Такие фигуры называются парадромными кольцами.

Заключение

В ходе работы я познакомилась с понятием топологии и с необычной поверхностью, именуемой лист Мёбиуса; были рассмотрены её свойства, а так же проведён эксперимент, касающийся их.

Я считаю, что моя работа является достаточно интересной не только для любителей математики; что она способна заинтересовать и вдохновить на дальнейшее самостоятельное изучение.

Гипотеза была доказана и проверена.

Ценность лента Мёбиуса и данной работы выражается в том, что они должны стать толчком в последующих математических исследованиях.

Список литературы

1. Б. А. Кордемский «Математическая смекалка»: М.: «В - 71», 1957

2. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986.

3. Электронный ресурс, Википедия «Лист Мёбиуса» - https://ru.wikipedia.org/wiki/Лента_Мёбиуса

4. Электронный ресурс, Википедия «Бутылка Клейна» - https://ru.wikipedia.org/wiki/Бутылка_Клейна

5.  «Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ – ЛТД», 1998.

Приложение

Прил. 1

Прил. 2

Прил. 3

Прил. 4

Прил. 5

Прил. 6

Прил. 7

Прил. 8