Способы умножения

Министерство образования и науки РБ

Джидинский  район

МБОУ Булыкская СОШ

Республиканская научно-практическая

конференция учащихся 5-7 классов

«Серебряная альфа»

Номинация: «Математика вокруг нас»

Тема: «Всемирные умножения»

Автор:

Айсуева Диана,

ученица 5 класса

 Булыкской  СОШ

Джидинского  района

Телефон: 89516268977_ 

Руководитель:

Галсанова Светлана Владимировна

Телефон: 89021608129

                                             г. Улан-Удэ 2023 г.

Оглавление

Введение ______________________________________________________3

Глава 1. История появление таблицы умножения ____________________5

Глава 2. Способы умножения

2.1 Русский способ умножения____________________________________7

2.2 Китайско-японский способ умножения__________________________8

2.3 Итальянский способ умножения _______________________________ 9

2.4 Немецкий способ умножения _________________________________10

3.  Заключение ________________________________________________ 11

4 Список использованной литературы ____________________________ 12

Приложение 1

Приложение 2 

Введение

                                                                              «Предмет математики настолько                                                                                     серьезен,

                                                                       что полезно не упускать  случаев делать                                                                                                          его      немного занимательным».                                                                                                                           Б. Паскаль                                                                               

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Математика развивает способность к логическому мышлению, что позволяет человеку жить интересно и никогда не скучать. Эта прекрасная наука развивает умение мыслить нестандартно, находить выход из любых ситуаций.  В нашей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними. Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики нас, в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе. Умножать нас учат стандартно - столбиком. Однажды, я случайно увидел в интернете японский способ умножения. Он мне очень понравился и мне захотелось узнать, есть ли и другие способы умножения. Оказалось, что есть и все они интересные и, возможно, более рациональные, чем традиционный метод столбиком. Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Актуальность: 

В последнее время ученики доверяют гаджетам больше, чем себе. Многие считают только на калькуляторах. Я хочу показать, что есть разные способы умножения, с которыми ученикам будет легче считать и интересно учить.

Гипотеза:

Если учащиеся овладеют способами умножения чисел, то они могут применять их на практике.

Цель:  изучить нестандартные приёмы умножения и выявить их целесообразность использования при обучении математики современных школьников

Задачи:

1.Познакомиться с историей появления таблицы умножения.

2. Провести анкетирование, что думают люди по поводу умножения и каким методом большинство умножают числа.

3. Собрать и проанализировать информацию о некоторых нетрадиционных способах умножения.

4. Научиться применять некоторые необычные способы умножения и рассказать ученикам нашей  школы про них

5. Провести анкетирование среди учеников   школы, обобщить собранную информацию и выявить более понравившийся способ умножения для  учеников.

6. Проанализировать нетрадиционные способы умножения с целью выявления их достоинств и недостатков.

Объект исследования: приёмы нестандартного умножения.

Предмет исследования: процесс вычисления.

Методы:

1.  Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

2. Исследовательский метод при определении способов умножения;

3.Практический метод при решении примеров

4. Сравнительный анализ

Новизна

Поисковое нахождение наиболее рационального способа умножения
Практическая значимость работы:
Расширение математического кругозора. Возможность использования материалов исследования во внеклассных мероприятиях и в быту.

.

                                         Глава 1. Теоретическая часть

История появление таблицы умножения

Нельзя точно ответить кто именно положил начало арифметике. Но можно точно сказать, что умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения. В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения-«предками» современных.

В древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Люди, живущие в Индии, производили умножение чисел, начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении. Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме. Таблица в Индии включает в себя числа до 20-ти. Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой.

В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название «множитель» упоминается в работах VI века, а «множимое» - в XIII веке. В XVII веке некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком, а иные употребляли точку. Только в конце XVIII века большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста. Знаки умножения и знак равенства стали общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716)

Известно, что впервые таблица умножения была введена в школах в средневековой Англии. Выглядела она как система перемножения чисел до 12. В Англии до сих пор сохранился именно такой средневековый вариант по той причине, что в жизни англичан часто приходится умножать именно на 12. Таким образом, мы видим, что таблица не во всех странах одинакова.

Интересно, что на Руси существовал крестьянский способ умножения, который заключался в том, что первый множитель увеличивается в два раза, а второй уменьшался тоже в два раза. И эта операция продолжалась до тех пор, пока второй множитель не становился равен одному. Строки, в которых правое число четное, удалялись, а сумма левых чисел и оставшихся строк давали нужный результат.

Пифагор и таблица умножения

Привычная для нас таблица умножения — это 8 столбцов с последовательными примерами на задней обложке тетради. Таблицу умножения также называют «Таблицей Пифагора», особенно когда она представлена в виде квадрата, стороны которого — множители, а в ячейках стоит их произведение. Именно так принято считать в европейской культуре. При этом существует очень интересный факт: не обнаружено ни одного письменного свидетельства тому, что именно Пифагору принадлежит авторство таблицы. Существуют только косвенные доказательства.

Последователь его учения — Никомах Герасский, который жил на рубеже I и II веков нашей эры, записал таблицу в привычном нам виде в своем сочинении «Введение в арифметику». Именно он утверждал, что авторство принадлежит древнегреческому ученому Пифагору.  Мнения ученых по поводу авторства таблицы умножения разделились. И многие считают, что Пифагор не может быть ее создателем, ведь существуют факты, подтверждающие другое ее происхождение.

Самая старая десятичная таблица умножения найдена на раскопках древних китайских городов. Ученые датируют ее 305 г. до н.э., т.е. она существенно старше, чем сам Пифагор и его труды. При раскопках японского города Нара нашли дощечку с фрагментами записей, которые подтверждают, что в древней Японии вели подсчеты с помощью таблицы. Интересно то, что иероглифы похожи на древнекитайское письмо.

Это не единичный случай обнаружения подобных табличек археологами. Подобную дощечку нашли на раскопках еще одной японской столицы Хэйнан. Таким образом, ученые предполагают, что таблица умножения могла попасть из Китая в Японию, так как между двумя империями были очень прочные торговые отношения. По мнению ученых, таблица умножения, которую придумали в Китае, могла попасть в Индию вместе с торговыми караванами, а затем уже распространиться по Азии и Европе.

Но есть и еще одна версия, исходя из которой таблица была изобретена в Месопотамии. Эта теория тоже подтверждается находками археологов. Самая старейшая табличка была найдена на раскопках древнего Вавилона и имеет возраст около 4000 лет.

В 493 году появился новый вариант, предложенный ученым Викторием Аквитанским: он записал таблицу из 98 столбцов, которая представляла в римских числах результат перемножения чисел от 2 до 50.

В 1820-м году шотландский физик и профессор математики Джон Лесли в своей книге «Философия арифметики» опубликовал таблицу умножения до 99. Он же стал тем, кто начал давать своим ученикам рекомендации заучить ее.

В Россию современная таблица умножения попала благодаря математику Леонтию Филипповичу Магницкому, который в 1707 году издал первый учебник по математике под названием «Арифметика». В этом учебнике были таблицы сложения и умножения. Такое нововведение, как заучивание таблицы умножения было поистине революционным. Оно значительно облегчало повседневные расчеты, так как другие хитрые способы вычисления приводили к тому, что увеличивалось количество ошибок и замедлялся процесс подсчета.

Глава 2. Способы умножения

2.1 Русский способ умножения.

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его заключается в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности.

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат. Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Например: 24 х 4=96

Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:

5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48

21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12

Ясно, что числа 48, 12, утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение. Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно.

2.2 Китайско-японский способ умножения

В Китае давно существует свои метод перемножение чисел, отличный от привычного для нас. Он позволяет легко и быстро перемножать двух- или трехзначные числа с помощью нехитрой схематической таблицы, которую может изобразить даже школьник младших классов.

Как же китайцы умножают числа? Давайте разберемся!

Возьмём числа 21 и 32. Для этого надо нарисовать эти числа при помощи горизонтальных и вертикальных прямых

Шаг 1. Сначала рисуем первый множитель — 21. В нём 2 десятка и 1 единица, значит, рисуем горизонтально 2 параллельные прямые (сверху) и 1 прямую (снизу).

Шаг 2. Поверх первого множителя теперь рисуем второй множитель — 32. В нём 3 десятка и 2 единицы, значит, рисуем вертикально 3 параллельные прямые (слева) и 2 параллельные прямые (справа). Эти вертикальные прямые будут пересекать горизонтальные прямые первого множителя. Получился рисунок, похожий на всем известный знак «решётка».

Шаг 3. Далее смотрим на рисунок и считаем, сколько точек пересечения имеют горизонтальные и вертикальные прямые в каждом углу «решётки».

Шаг 4. Делим эти точки на три зоны (части).

Шаг 5. Ответ (т. е. произведение этих двух множителей) «собираем» по порядку, двигаясь от первой зоны ко второй, затем к третьей. При этом необходимо запомнить, что число из первой зоны соответствует единицам, число из второй зоны — десяткам, число из третьей зоны — сотням искомого произведения.

1)    2) 

3)       4) 

2.3 Итальянский способ умножения

Итальянский способ умножения или способ умножения «Сеткой». В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

Например: умножим 1234 на 576.

1) Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2)Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

Т.е. 4 х 5 = 20. Записываем 2 и 0.

1х 5 * 3 = 6. Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.

3) Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

1)     2) 3) 

2.4 Немецкий способ умножения

Самый известный и применяемый способ в Российском образовании придумал немецкий педагог-математик Адам Ризе. Чтобы перемножить два числа, записываем большее над меньшем. Затем начиная с единиц и двигаясь к высшим разрядам умножаем поочерёдно каждую цифру нижнего числа на верхнее. Если при умножении цифр получаем число большее десяти, добавляем единицу к следующему разряду.

Заключение

В истории математики есть много интересных событий и открытий, но, к сожалению, не вся эта информация доходит до нас, современных учеников. Из всех найденных мною необычных способов умножения многозначных чисел более интересным показался итальянский способ. Недостаток этого способа заключается в построении прямоугольной таблицы, которая занимает некоторое время.

Самым простым мне показался русский способ умножения, который использовали крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).

Китайско-японский способ - самый наглядный способ умножения. Умножая числа таким способом, вовсе не обязательно знать таблицу умножения. Надо всего лишь правильно начертить линии, сосчитать количество пересечений и вывести результат.

         Считаем, что цель нашей работы достигнута, задачи полностью выполнены. Учащиеся в будущем будут с удовольствием  применять способы умножения, которые я им показал. Они считают, это увлекательно и  интересно нетрадиционные способы умножения. Хотя многие используют традиционный метод вычисления (в столбик).

Список использованной литературы:

1)    https://oyla.xyz/article/umnozenie-po-kitajsk

2)    https://tablica-umnozhenia.ru/stati/istoriya-sozdaniya-tablitsy-umnozheniya-2

3)    https://zen.yandex.ru/media/haknem_shkola/maloizvestnye-sposoby-ustnogo-umnojeniia-mnogoznachnyh-chisel-na-5-25-i-125-607189dd420d4500ed1d2c1d

4)    https://zen.yandex.ru/media/haknem_shkola/maloizvestnye-sposoby-ustnogo-umnojeniia-mnogoznachnyh-chisel-na-5-25-i-125-607189dd420d4500ed1d2c1d

5) Беллюстин В. К. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. - ЛКИ ,2012.-208 с.

6) Депман И. Я. Рассказы о математике. – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

7) Ликум А. Все обо всем. Т. 2. - М.: Филологическое общество «Слово», 1993. - 512 с.

8) Наука и жизнь. Журнал 2011г. № 2.

9) Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К.. Старинные занимательные задачи. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

10) Перельман Я.И. Занимательная арифметика. - М.: Русанова, 1994 – 205с.

Приложение 1 Анкетирование

 Что думают учащиеся  по поводу быстрого умножения и каким  методом большинство умножают числа.

1) Нужно ли современному человеку умение быстро считать?

 2) Знаете ли вы о быстрых методах умножения?

3) Хотели бы вы научиться быстро и просто считать?

Вопрос 2.

На основе данных диаграмм можно сделать вывод, что 100% опрошенные считают, что современному человеку необходимо умение быстро считать. Хотя методов умножения великое разнообразие, но большинство (85%) ответило, что умножали бы трехзначные числа в столбик.. Также в ходе анкетирования мы выяснили, что всего 10% не знают о быстрых методах умножения и 90% хотели бы научится быстро и просто считать, что подтверждает актуальность моего проекта.

Анкетирование   (Приложение 2)

Цель выявления достоинств и недостатков нестандартных способов умножения достигалась с помощью анкетирования в двух классах

Было опрошено 61 учеников, им предлагалось пять способов умножения: 1 традиционный способ умножения столбиком и 4 нестандартных, которые я показал. Некоторые ученики выбрали несколько понравившихся способов умножения, поэтому общее количество выбранных способов получилось больше, чем количество респондентов.

Из проведенного анкетирования стало ясно, что умножение столбиком по мнению опрошенных – самый удобный и рациональный, потому что этим способом можно просто и быстро перемножить числа. Порядок сложения произведений тоже не вызывает трудностей.

Мое предположение оказалось неверным. Графический (японский) способ умножения оказался лишь на втором  месте, хотя там ничего не нужно перемножать. В этом способе нужно лишь начертить линии и подсчитать точки пересечений. Черчение линий занимает достаточно много времени, а подсчет пересечений линий требует повышенной внимательности. Этим способом можно умножать любые многозначные числа. Этот способ больше подходит для хобби.

Индийский способ или итальянское умножение «решеткой» очень прост из-за своей наглядности. Этим способом также можно умножать любые многозначные числа. Необходимо только нарисовать решетку и правильно расставить числа. Из-за разбивания многозначных чисел на однозначные цифры, сам процесс умножения упрощается. Мыслительный процесс современных учеников опережает вычисление этим методом, поэтому он потерял свою важность.

Самым невостребованным способом является русский способ умножения, потому что нужно увеличивать вдвое все большее и большее число, а это уже непросто.

Заключение

Так почему же мало где в мире в обычных школах учат этим методам вычисления?

Одной из причин может быть упор на обучение "вычислениям в уме" - чтобы развивать умственные способности.

У современных учеников настолько развит интеллект, что нетрадиционные методы умножения многозначных чисел стали неактуальными. Школьники способны держать в уме несколько промежуточных произведений и соответственно им достаточно легко умножать многозначные числа без потери времени на черчение линий или таблиц. На умножение столбиком тратится гораздо меньше времени, которое в современном мире очень ценно. У нетрадиционных способов умножения нет применения в реальной жизни, умножение столбиков все-таки проще – для него необходимо знать только таблицу умножения и одно правило, что число после девяти переносится в следующий разряд.

.