Реферат "Философия математики Платона и Аристотеля"

Содержание

1. Введение.

2. Основная часть.

1. Философия математики Платона

1. о Платоне;
2. пифагореизм Платона;
3. математическое познание мира как основа  для построения системы объективного идеализма Платона;
4. спорный вопрос о вкладе Платона в математику, как науку;
5. конкретные математические понятия и определения в интерпретации Платона.

2. Философия математики Аристотеля

1. об Аристотеле;
2. критика Аристотелем взглядов  Платона;
3. математический  эмпиризм Аристотеля;
4. «Метафизика» Аристотеля и математические понятия и определения в интерпретации Аристотеля;
5. вопросы методологии математического познания у Аристотеля.

3.   Заключение.

IV. Литература.

Тема: Философия математики Платона и Аристотеля

Всего приятнее для нас те слова, которые дают нам какое-нибудь знание.

Аристотель

Очень плох человек, ничего не знающий, да и не пытающийся что-нибудь узнать. Ведь в нем соединились два порока.
Платон

Введение

Цель работы:  анализ  процесса  движения философской мысли в отношении математики  как  инструмента  отражения взглядов двух величайших представителей античной философии, имеющих своих поклонников и последователей  в современном мире.

Задачи:

1. Изучить литературу по данному вопросу.
2. Проанализировать философские взгляды на математику представителей античной философии  Платона и Аристотеля.
3. Провести сравнительный анализ  философии математики Платона и философии математики Аристотеля.

История развития философских взглядов на математику весьма разнообразна и объемна. Философские концепции различаются тем, как они трактуют природу математических понятий и принципов. Вопросы, связанные с происхождением математических понятий являются наиболее важными, так как они определяют в основном представления о природе и методах математического мышления. Эти вопросы являются непомерно трудными в том смысле, что их  решения  связаны с  общей теории познания.

Вопрос о взаимосвязи математики и философии впервые был задан  давно. Многие великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали определенных  результатов. Это понятно: ведь основу взаимодействия философии с какой-либо из наук составляет потребность использования аппарата философии для проведения исследований в данной области; математика же  более всего среди точных наук поддается философскому анализу (в силу своей абстрактности). Также прогрессирующая математизация науки оказывала   активное воздействие на философское мышление.

Совместный путь математики и философии начался в Древней Греции около VI века до нашей эры.

Наиболее интересным лично для меня представляется временной период, связанный с именами Платона и Аристотеля, знакомство с их воззрениями на математику, занявшими значимое место в истории философии и методологии математики. 

Философские взгляды Платона и Аристотеля и в современном мире являются  объектом критики, модификации, обсуждения. Вызывают желание спорить, обсуждать, «привязать» их к сегодняшней науке.

Человек постоянно стремится познать мир вокруг себя. Но как можно познать то, что постоянно меняется? Как суметь достичь  сути  изменчивых вещей? Платон  отвечает  на этот вопрос. Он говорит о двух мирах: изменчивом чувственном и  мире идей, который возможно постичь умом, существующем вне времени и пространства.

Философа, у которого спустя более двух десятков столетий после смерти остаются последователи, трудно назвать заурядным. 

Считается, что Платон родился в Афинах в 428 или 427 г. до н. э. в аристократической семье. Сначала он учился у Кратила, последователя Гераклита. Затем  стал учеником Сократа, оказавшего на него решающее влияние. После смерти Сократа в З99 г. он удалился на некоторое время в Мегару, к также учившемуся у Сократа Евклиду, основателю Мегарской школы, а затем возвратился в Афины. Несколько лет спустя он предпринял великое путешествие.  Платон отправился в Египет, где эта древняя цивилизация произвела на него глубокое впечатление. Из Египта перебрался в Южную Италию, задержавшись в Кирене у математика и астронома Феодора. В Италии он вступил в контакты с пифагорейцами, которых было много в этих краях. Эта философская школа переживала тогда период расцвета. Затем Платон переехал в Сицилию, в Сиракузы, где царствовал тиран Дионисий I. Он подружился с молодым зятем тирана,  Дионом, пылким и великодушным принцем, которого вдохновляли нравственные и политические идеалы Платона. Но Дионисий враждебно отнесся к тому, что Платон оказывал  влияние на Диона, и философу пришлось покинуть Сиракузы: его высадили на острове Эгина, находившемся в состоянии войны с Афинами, и продали в рабство. К счастью, он был выкуплен гражданином Кирен, который находился на острове и узнал Платона. Платон смог вернуться в Афины, и уже зрелым человеком (в литературных источниках нет точности, где-то от 40 до 49 лет) он основал Академию, в которой преподавал до конца своих дней, лишь дважды покинув Афины ради двух новых путешествий на Сицилию.
Его последние годы были омрачены трагической смертью Диона.  Платон умер в 348 или 347 г. до н. э. в возрасте  примерно восьмидесяти лет, до конца жизни сохранив всю полноту своего могучего ума. Его тело погребено в Керамике, неподалеку от Академии.

Ученик Сократа и Евклида, впитавший в себя основные идеи пифагорейцев, он просто не мог быть равнодушен к математике. Интересно то, что в Академии Платона воспитание проводилось внутри духовного сообщества,  тесного круга друзей, где царила возвышенная любовь. Члены Академии делились на две группы: старшие — ученые и преподаватели,  и младшие — ученики.  По мнению Платона, настоящая философия может существовать только в условиях постоянного диалога между учителями и учениками в стенах школы. Основной задачей педагогической деятельности Платона было формирование гармонично развитого человека — через каждодневные усилия и философский образ жизни. Многогранность его дарования удивительна. В нем не только философ сочетался с ученым. Философ и ученый, в свою очередь, неотделимы в нем от художника, поэта, драматурга. Платон излагал свои философские и научные идеи в литературных произведениях. Платоновские диалоги являются  философскими комедиями и драмами. Для Платона высшим воплощением красоты является соразмерный, прекрасный, гармоничный, построенный по геометрическим законам космос. Все остальное, что имеется внутри космоса, прекрасно в меру своего приближения к вечной правильности небесных движений и через них к надкосмическому царству чистых идей. Человек, порождая и создавая прекрасное, непрестанно стремится к этому царству высшей красоты, и это стремление Платон называет эросом, то есть любовью. 

 С Академией связывается подлинное рождение математики. Геометрия и другие математические науки имели первостепенное значение в обучении. Но они составляли только первый этап в формировании будущего философа. Они выполняли и своего рода этическую функцию, так как позволяли очистить ум от чувственных представлений. Самые  ранние  диалоги были написаны  Платоном  вскоре  после  смерти Сократа в 399 г. до  н. э.,  а  самые поздние  – в конце  жизни.  Надо полагать, что в связанных с математикой отрывках диалогов отражены как воспоминания Платона о геометрии и арифметике времён его собственной юности, так и те проблемы, которые обсуждались математиками платоновской Академии в зрелые годы жизни Платона.

Первой ясно выраженной философией математики был пифагореизм, приверженцем которого был Платон.

Пифагорейцы отделяли мир чувственных предметов и явлений, в которых царит случайность, от космоса как идеальной основы мира, которая может быть понята только умозрительно, посредством самого разума. Все, высказываемое о чувственном мире, недостоверно, является только мнением, и лишь утверждения математики, относящиеся к космосу, выступают подлинным знанием, обладающим истинностью и неопровержимостью. Пифагорейцы, таким образом, отделяли математику от других наук по предмету, а также и по методу: математические утверждения опираются не на показания чувств, а на умозрение, т.е. на разум, который способен, как они полагали, непосредственно (без опоры на чувственный опыт) отражать глубинные законы мироздания. 
Математика определяла и общее пифагорейское понимание реальности, которое выражалось в положении «Все есть число». Это положение выражало веру пифагорейцев в то, что всякая вещь содержит некоторую присущую ей меру, определенное гармоническое соединение частей, благодаря которому она и существует. Они были убеждены также в том, что вещь может быть познана в своей сущности только через раскрытие ее числа, ее внутренней пропорциональности. В соответствии с такой установкой они пытались соединить наиболее значимые для них вещи с числами, которые раскрывали бы их природу. Известно, что богатство и благо они соотносили с числом пять, согласие и дружбу — с числом четыре, вселенную — с числом десять и т.д. Положение «Все есть число» имело у пифагорейцев и другой, менее понятный для нас смысл. Они понимали число не только в качестве внутренней структуры вещей, но и в качестве их причины, т.е. они воспринимали  числа как некоторого рода идеальную основу мира, как особого рода субстанцию, определяющую само их возникновение. Можно сказать, что Пифагор и его последователи возводили числа в начало всех вещей, ставили их на место природных стихий, из которых исходили первые греческие философы. Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в античной философии и целиком и полностью принят Платоном.  Именно  в диалогах Платона, в особенности, в  «Теэтете» и «Тимее» особенно видно влияние пифагорейцев.

Платоновский  Бог в произведении «Тимей» строит мир, опираясь на идею пропорционального соотношения всех его частей. «...Бог поместил между огнем и землей воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он сопряг их, построяя из них небо, видимое и осязаемое. На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто, кроме лишь того, кто сам ее сплотил».

«Бог геометризирует», — якобы говорил Платон. Например, куб символизировал царствование и земные основы, в то время как золотое сечение считалось динамическим принципом, воплощающим в себе высшую мудрость. Таким образом, здание, посвященное обожествленному правителю, могло носить следы куба, в то время как храм, посвященный небесному богу, строился таким образом, что в его основании лежало золотое сечение.

 Платон  каждое из природных начал соединяет с одним из пяти правильных многогранников: огонь — с тетраэдром, земля — с гексаэдром, вода — с октаэдром, воздух — с икосаэдром. Космос как высшее совершенство имеет форму сферы. В этой теории Платона первые, еще очень наивные попытки использовать математические объекты для описания реальности, для выражения ее сущностных связей. Процесс познания возможен, поскольку есть образец для мира и души.  И в  этом контексте появляется математика, если  вспомнить платоновский миф о пещере, который находится в Платоновском трактате «Государство»

Миф о пещере представляет собой рассказ о том, что  люди, подобны узниками, которые сидят в глубине практически полностью тёмной пещеры в практически полной темноте. Всё, что узники видят: только смутные тени, которые пробегают по стенке. И учатся различать, что по стенке бегает. Причём узники с рождения в таком состоянии, и не знают ничего другого. Они не знают, что за тени бегают, и есть ли мир вокруг. Задача философа — выбраться из пещеры. Соответственно, пещера — мир чувственного бытия, окружающий мир — мир непосредственного бытия. Главная проблема, с которой сталкивается человек, который всё время находился в темноте, то, что придётся выйти на яркий свет и что-то видеть и различать. Он ослепнет и ничего не увидит. Платон считает, что надо подготовить его глаза, и математика осуществляет подготовку глаз души, подготовку от чувственного видения, к умному видению.

Платоновский Сократ говорит, если узнику надо выйти из пещеры, то лучше сначала смотреть ему не на мир в солнечном свете и не на само солнце, а на него в ночном освещении или на тени. В этом смысле здесь и говорится о занятии математикой. То есть математика — то, что находится вне пещеры, но в тоже время, то чем она занята, не есть вещь сама по себе, и относится оно к нашему миру, как тени, отражения в воде, как к бодрствованию относится сон.  Оказывается, вне пещеры тоже есть свои тени, отражения, таков статус математики.

Математика сыграла значительную роль в конструктивном оформлении его философской системы.  Согласно Платону,  математические науки (арифметика, геометрия, астрономия и гармония) дарованы человеку богами,  которые «произвели число, дали  идею  времени и возбудили потребность исследования вселенной». Изначальное назначение математики в том,  чтобы «очищался и оживлялся тот орган души человека,  расстроенный и ослепленный иными делами», который «важнее,  чем тысяча глаз,  потому что им одним созерцается истина». «Только никто не пользуется ею (математикой) правильно, как наукою,  влекущей непременно к сущему». «Неправильность» математики Платон  видел,  прежде всего, в ее применимости для решения конкретных практических задач. Нельзя сказать, чтобы он вообще отрицал практическую применимость математики. Так, часть геометрии нужна для «расположения лагерей», «при всех построениях, как во время самих сражений, так и во время походов». Но, по мнению Платона, «для таких вещей ...достаточна малая часть геометрических и арифметических выкладок, часть же их большая, простирающаяся далее, должна ...способствовать легчайшему усвоению идеи блага». 

Платон отрицательно  отзывался о  тех попытках использования механических методов для решения математических задач,  которые имели место в науке того времени. Его неудовлетворенность вызывало также принятое современниками понимание природы математических объектов.  Рассматривая идеи своей науки  как отражение реальных связей действительности,   математики в своих исследованиях наряду с абстрактными логическими  рассуждениями  широко использовали чувственные образы,  геометрические построения.  Платон всячески старается убедить,  что объекты математики существуют  обособленно от реального мира, поэтому при их исследовании неправомерно прибегать к чувственной оценке.

Таким образом, в исторически сложившейся системе математических знаний Платон выделяет только умозрительную,  дедуктивно построенную компоненту и закрепляет за ней право называться математикой. История математики мистифицируется,  теоретические разделы резко противопоставляются вычислительному аппарату, до предела сужается область приложения. В таком искаженном виде некоторые реальные стороны  математического познания  и  послужили  одним  из оснований для построения системы объективного идеализма Платона. Ведь сама по себе математика к идеализму  вообще  не ведет,  и в целях построения идеалистических систем ее приходится существенно деформировать.

Вопрос о  влиянии,  оказанном  Платоном на развитие математики, довольно труден.  Длительное  время  господствовало  убеждение,  что вклад Платона  в  математику  был значителен.  Однако более глубокий анализ привел к изменению этой оценки. В связи с этим интересно привести выкладки Отто Нейгеба́уэра.   Otto Eduard Neugebauer (1899—1990) — австрийский, позже американский математик и историк науки. Он является автором глубоких исследований древней и средневековой науки, в особенности  истории математики и астрономии. В его книгах много оригинальных идей, остроумных реконструкций античных методов, яркие характеристики больших периодов в развитии наук, оценки отдельных идеологических направлений, гипотезы о появлении тех или иных задач и теорий. Так, О.Нейгебауэр пишет о Платоне: «Его собственный прямой вклад в математические знания,  очевидно, был равен нулю...  Исключительно элементарный характер примеров  математических рассуждений,  приводимых  Платоном и Аристотелем, не подтверждает гипотезы о том,  что Эвдокс или Теэтет  чему-либо  научились  у Платона... Его  совет астрономам заменить наблюдения спекуляцией мог бы разрушить один из наиболее значительных вкладов греков  в  точные науки». Такая  аргументация  вполне убедительна;  можно также согласиться и с тем, что идеалистическая философия Платона в целом сыграла отрицательную роль в развитии математики. Однако не следует забывать о сложном характере этого воздействия. Платону принадлежит  разработка некоторых важных методологических проблем математического познания: аксиоматическое построение математики, исследование  отношений  между  математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания.  Так, процесс доказательства  необходимо связывает набор доказанных положений в систему,  в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения.  Тот факт, что начала математических наук «суть предположения», может вызвать сомнение в истинности всех  последующих  построений.  Платон считал такое сомнение необоснованным.  Согласно его объяснению, хотя сами математические науки,  «пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности  и  не могут дать для них основания»,  предположения находят основания посредством диалектики. Платон высказал и ряд других положений,  оказавшихся  плодотворными  для развития математики.  Так, в диалоге «Пир» выдвигается  понятие  предела;  идея  выступает здесь как предел становления вещи.

Проблема «правильных определений» была для Платона  одной из важнейших. В большинстве диалогов Платона  Сократ своими вопросами подводит  собеседника к необходимости дать ответ на  вопрос: «Что есть то, о  чём идёт речь?»  В «Федре» прямо говорится о том,  что всякое правильное обсуждение  следует начинать с определения обсуждаемого предмета: «Всякое  правильное обсуждение, о юноша,  начинается с одного: надо выяснить, что именно  обсуждается, иначе во всём  будут неизбежны ошибки.  Большинство людей не замечают,  что им неизвестна сущность того или иного  предмета. И  словно они с ней  знакомы, они не уславливаются о  ней в начале рассмотрения, а  это  обязательно сказывается в дальнейшем:  они противоречат сами себе и друг другу». Сократ в диалогах Платона  неоднократно приводит математические определения в качестве  образцов для определения как такового.   В «Меноне»  он просит своего собеседника объяснить, что представляет собой  добродетель.  Но тот плохо понимает,  как можно найти «единую добродетель»,  не улавливая самый смысл задаваемого вопроса.  Тогда Сократ переводит обсуждение в  другую  плоскость и задаёт вопрос  из геометрии: «Что это  такое, включающее в себя закруглённое и прямое, –  то, что ты именуешь  фигурами, утверждая, что закруглённое и прямое –  фигуры в равной мере?»  В  результате  обсуждения появляется определение: «фигура –  это край тела», и  это определение становится образцом для  определения как такового, после чего разговор возвращается к  поискам определения добродетели. В  «Пармениде»  даются следующие определения  закруглённого и прямого: «Закруглённое  есть то, края чего  повсюду одинаково отстоят от  середины... А  прямое – то, середина  чего заслоняет оба края».

Платоном подчеркивается, что всякое определение представляет  собой соединение имени предмета и его словесного  объяснения.  Интерес Платона к проблеме словесных определений как одной из составляющих общей проблемы знания очевиден.  Можно ли считать, что человек, который не способен объяснить, что такое «круглое» и «прямое», по-настоящему знает это? По-видимому, в душе у такого человека имеется некий смутный образ «круглого» и «прямого», с которым он сверяет свои впечатления; но правильное мнение, которое опирается лишь на восприятие и не может быть выражено в словах, ещё не является настоящим знанием. Об этом рассуждает Платон в «Теэтет».

Труды Платона можно разделить на четыре группы.
Первая состоит из  диалогов, предшествующих большим произведениям, где Платон излагает теорию Идеи; самые значительные из них — «Апология Сократа», «Протагор», «Горгий», «Менон» и «Кратил».
Вторая группа включает в себя произведения, где теория Идеи изложена в ее первоначальной форме: «Пир», «Федон», «Государство» и «Федр».
Третья группа — это труды, которые можно было бы назвать «критическими», где Платон пересматривает свою доктрину, показывая, что необходимо внести в нее некоторые изменения: это «Теэтет», «Парменид», «Софист» и «Политик».
 В четвертую группу входят труды, излагающие доктрину в ее последней форме: «Филеб», «Тимей» (с незаконченным «Критием»), «Законы» и письма.

Первый удар по пифагорейской философии математики был нанесен развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримых геометрических величин. Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между арифметикой и геометрией, которая для пифагорейцев была само собой разумеющейся, а также пифагорейскую идеологию в целом. Необходимо было признать в силу самой строгой логики, что при любом выборе единицы измерения найдутся величины неизмеримые и непредставимые отношением натуральных чисел, которые, таким образом, уже не могут быть поняты как соответствующие определенному числу. Но если число является недостаточным уже для описания геометрических величин, то его универсальность для выражения других, более сложных вещей становится в высшей степени сомнительной. 
Другая причина постепенного ослабления пифагорейской философии математики состояла в развитии философии, в появлении более обоснованного и убедительного объяснения природы математических объектов. Огромная роль принадлежит здесь Аристотелю, в сочинениях которого дана широкая и в определенном смысле исчерпывающая критика пифагореизма.

Аристотель Стагирский родился в 384 г. до н. э. в Стагире, греческой колонии во Фракии, недалеко от Афона. От названия города производится имя Стагирит, которое часто давалось Аристотелю. Отец  и мать Аристотеля  были благородного происхождения. Отец, придворный врач македонского царя Аминты III, прочил своего сына на ту же должность и, вероятно, сам первоначально обучал мальчика врачебному искусству и философии, которая в то время была нераздельна с медициной.

Рано потеряв родителей, Аристотель отправился сначала в Атарней, в Малой Азии, а затем, в 367 году, – в Афины. Там Аристотель стал учеником Платона и в течение 20 лет был участником платоновской Академии. В 343 г. Аристотель был приглашен Филиппом (царём Македонии) воспитывать его сына – 13-летнего Александра Македонского.  В 335 г. Аристотель вернулся в Афины и создал там свою школу (Ликей, или перипатетическую школу). После смерти Александра Аристотель был обвинён в безбожии и покинул Афины, чтобы, как он говорил, явно намекая на казнь Сократа, избавить афинян от нового преступления против философии. Аристотель переселился в Халкис на Эвбее, куда за ним последовала толпа учеников,  и где через несколько месяцев он скончался от болезни желудка.

 Еще раз хочу подчеркнуть, Аристотель — ученик Платона, он провёл 20 лет в стенах Платоновской академии, и только после смерти учителя основал собственную школу.

Хотя Аристотель — непосредственный ученик Платона, его мировоззрение отличается от платоновского. Аристотель, скорее исследователь природы, чем умозрительный философ, он ценит факты и логику больше, чем мифологические построения. И отношение Аристотеля к пифагорейцам отрицательное и даже пренебрежительное. Пифагорейская философия ложна, считает Аристотель, прежде всего, потому, что она не раскрывает причин вещей. «На каком основании, — спрашивает Аристотель, — числа суть причины? Есть семь гласных, гармонию дают семь звуков, семи лет животные меняют зубы, было семь вождей против Фив. Так разве потому, что число таково по природе, вождей оказалось семь или Плеяды состоят из семи звезд? А может быть, вождей было семь потому, что было семь ворот...»

Пифагорейские сопоставления для Аристотеля — простая игра с числами, основанная на случайных совпадениях и не имеющая значения для истинного объяснения явлений. 

С другой стороны, если посмотреть на теоретические достижения Аристотеля, то он разработал систему понятий, исходя из Платона, но разработал самостоятельно. Платоники предпочитали видеть скорее согласие между Платоном и Аристотелем, нежели противоречие. Хотя и не игнорировали противоречия.

В философии Аристотеля появилось новое понимание математического мышления, которое известно сегодня под названием математического эмпиризма. В основе этой концепции лежит убеждение в первичности опытного знания. По мнению Аристотеля, математические предметы не являются чем-то существующим отдельно от вещей: они связаны с вещами и возникают как таковые из способности отвлечения. «И лучше всего можно каждую вещь рассмотреть таким образом: полагая отдельно то, что отдельно не существует, как это делает исследователь чисел и геометр», читаем мы в «Метафизике». Смысл этого высказывания состоит в том, что человек, воспринимая вещи во всем многообразии свойств, отвлекается от них, оставляя лишь некоторые из них и исследуя их как отдельно (самостоятельно) существующие.

Математика, по Аристотелю, является наиболее абстрактной наукой: если физик отвлекается от всех качеств тел, кроме их движения, то математик отвлекается и от движения, оставляя в сфере своего внимания только фигуры и числа. Математик строит особый идеальный мир, основанный на отвлечениях. Этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берется как независимый лишь условно, для ясности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств. Вещи первичны перед математикой и определяют ее содержание. Согласно Аристотелю в чувственных вещах математические  объекты  не  существуют, так как "находиться в том же самом месте два тела не в состоянии".   

Нужно заметить, что у Аристотеля нет специальных трактатов, посвященных математике, более того, у него множество высказываний, которые равномерно рассыпаны везде, в самых разных местах, поэтому изложение его математических идей – это некая выборка, реконструкция.
Аристотель высказал также ряд других идей, заслуживающих рассмотрения. Он выдвинул положение о том, что строгость математического рассуждения объясняется простотой ее предмета. Под простотой здесь имеется в виду не легкость усвоения математики, а специфическая абстрактность ее предмета, отсутствие разнородности качеств, которые присутствуют в физике и других, более конкретных науках.

Им высказана также импонирующая лично мне идея о глубинной связи математики с понятием «прекрасного». Важнейшие виды прекрасного, считал Аристотель, — это слаженность, соразмерность и определенность, но именно эти стороны вещей и выявляет математика. 
Аристотелевская концепция математики является, конечно, более обоснованной и более соответствующей логике научного мышления. Значительное число ученых и в настоящее время придерживаются в своей сути аристотелевского воззрения на математику: они считают, что математика вторична перед физикой, что исходные математические объекты есть лишь абстрактные схемы реального бытия вещей. С этой точки зрения математика — абстрактная физика, отвлеченная от анализа сил и движений, одна из наук о природе, и именно по этой причине она с успехом прилагается к описанию природы. 

К теории познания Аристотеля вплотную примыкает его логика. Хотя логика у Аристотеля по содержанию имеет формальный характер, она является многопрофильной, так как включает в себя учение о бытии и учение об истине и познании. Поиск истины осуществляется через силлогизмы (умозаключения) с использованием индукции и дедукции. Существенным элементом поисков истины выступают десять категорий Аристотеля:

• сущность,
• количество,
• качество,
• отношение,
• место,
• время,
• положение,
• состояние,
• действие,
• страдание.

Эти категории он рассматривает как тесно взаимосвязанные друг с другом, подвижные и текучие. Вот один из самых тривиальных примеров, но наиболее просто и четко показывающих, как с помощью логического анализа можно познать истину. Из двух силлогизмов: “все люди смертны” и “Сократ есть человек”, можно сделать вывод, что “Сократ смертен”.

Нельзя не отметить вклад Аристотеля в классификацию наук. Это, на мой взгляд, весьма ценно. До Аристотеля, хотя уже и существовали различные науки, но они были разрозненные отдаленны друг от друга, не определена была их направленность. Естественно, это создавало определенные трудности и в их изучении, и в определении их предмета, и в области применения. Аристотель был первым, кто провел как бы инвентаризацию имеющихся наук и определил их направленность. Существовавшие науки он разделил на три группы:

• теоретические, куда вошли физика, математика и философия;
• практические или нормативные, в рамках котоҏыҳ политика является одной из главнейших;
• поэтические науки, которые регулируют производство различных предметов.

Говоря об Аристотеле нельзя не сказать о его «Метафизике». Это самый известный сборник сочинений  Аристотеля и первая основополагающая работа. Состоит из 14 книг, собранных из различных работ, в которых описывается учение о первоначалах, которые и составляют предмет мудрости. К примеру, в шестой книге Аристотель говорит о трех видах умозрительного знания: математике, философии и теологии.

В «Метафизике»  Аристотель подверг специальному рассмотрению проблему количества. Количество он трактует как одну из основных категорий, раскрывающих общий характер реальности. 

Анализ категории количества Аристотель предпосылает анализу категории качества, хотя он прекрасно сознает, что начальная ступень познания связана с познанием посредством чувств различных качественных характеристик вещей.  Согласно Аристотелю, количеством «называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых, будет ли их две или несколько, является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это — величина, если его можно измерить».  В терминах категории количества,  дифференцируемой,  далее, на количества прерывные и непрерывные, Аристотель определяет такие основные математические предметы, как  множество, число, линия, плоскость и тело.

«Множеством, — пишет он, — при этом называется то, что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною — то, что (делится) на части непрерывные; а у величины протяжение, непрерывное в одном (направлении), есть длина, непрерывное в двух (направлениях) — ширина, непрерывное в трех (направлениях) — глубина. Из (всех) этих количеств ограниченное пределом множество есть число, ограниченная длина — линия, ограниченная ширина — плоскость, ограниченная глубина — тело».

Таким образом, основные арифметические и геометрические понятия, будучи определены в терминах категории количества и актуального и потенциального бытия, получают тем самым философское осмысление и обоснование, истолкование с точки зрения основополагающих принципов, сформулированных в «Метафизике».

Прежде чем дать определение непрерывности, например, Аристотель, рассматривает  понятие  бесконечного,  так как "оно относится к категории количества" и проявляется, прежде всего, в непрерывном.  "

Что бесконечное существует,  уверенность в  этом возникает у  исследователей  из пяти оснований:  из времени (ибо оно бесконечно); из разделения величин…; далее, только таким образом не иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее.  Далее, из того, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, так  как необходимо,  чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего на том основании,  что мышление не останавливается: и  число кажется бесконечным,  и математические величины".

Существует ли бесконечное как отдельная сущность  или  оно  является акциденцией величины или множества?  Аристотель принимает второй вариант, так как "если бесконечное не есть ни величина,  ни множество, а само является сущностью..., то оно будет неделимо, так как делимое будет или величиной,  или множеством.  Если же оно не делимо, оно не бесконечно в смысле непроходимого до конца". Невозможность математического бесконечного как неделимого следует из того,  что  математический объект - отвлечение от физического тела, а "актуально неделимое бесконечное тело не существует".

Число "как что-то отдельное и в то же  время бесконечное" не существует,  ведь "...если возможно пересчитать числимое,  то будет возможность пройти до конца и  бесконечное". Таким  образом,  бесконечность здесь в потенции существует, актуально же - нет.

     Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного,  Аристотель определяет непрерывность и прерывность.  Так, "непрерывное есть само по себе нечто смежное.

Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его". Число как типично прерывное (дискретное) образование формируется соединением дискретных, далее неделимых элементов - единиц.

Геометрическим аналогом единицы является точка;  при этом соединение точек не может образовать линию, так как "точкам, из которых было бы составлено непрерывное,  необходимо или быть непрерывными,  или  касаться друг друга".  Но непрерывными они не будут:  "ведь края точек не образуют чего-нибудь единого,  так как у неделимого нет ни  края, ни другой  части".  Точки не могут и касаться друг друга,  поскольку касаются "все предметы или как целое целого, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое не имеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не образует непрерывного".

     Невозможность составления непрерывного из неделимых и  необходимость его деления на всегда делимые части, установленные для величины,  Аристотель распространяет на  движение,  пространство  и  время, обосновывая правомерность этого шага. С другой стороны,  он приходит к выводу,  что признание неделимых величин противоречит основным  свойствам движения.  Выделение непрерывного и прерывного как разных родов бытия послужило основой для размежевания в логико-гносеологической области, для резкого отмежевания арифметики от геометрии.     "Началами... в  каждом роде я называю то,  относительно чего не может быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и из него вытекающее, принимается. Существование начал необходимо принять,  другое - следует доказать.  Например,  что  такое единица или, что такое прямое или ,что такое треугольник (следует принять); что единица и величина  существует,  также  следует  принять, другое - доказать".

В вопросе о появлении у людей способности познания начал Аристотель не соглашается с точкой зрения Платона о  врожденности таких способностей,  но и не допускает возможности приобретения их;  здесь он предлагает следующее решение:  "необходимо обладать некоторой возможностью,  однако не такой,  которая превосходила бы эти способности в отношении точности". Но такая возможность, очевидно, присуща всем живым существам; в самом деле, они обладают прирожденной способностью разбираться,  которая называется  чувственным восприятием. Формирование начал идет "от предшествующего и более известного для нас", то есть от того, что ближе к чувственному восприятию к  "предшествующему и более известному безусловно" (таким является общее).

Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя из разных признаков.

     Во-первых, он выделяет "начала, из которых (что-либо) доказывается, и такие,  о которых (доказывается)".  Первые "суть общие (всем начала)", вторые - "свойственные (лишь данной науке), например, число, величина". 

В системе начал общие занимают ведущее место,  но их недостаточно, так как "среди общих начал не может быть таких, из которых можно было бы доказать все". Этим и объясняется, что среди начал должны быть "одни свойственны каждой науке в отдельности, другие общие всем".

 Во-вторых, начала делятся на две группы в зависимости от того, что они раскрывают: существование объекта или наличие у него некоторых свойств. 

В-третьих,  комплекс начал доказывающей науки делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходные определения.

     Выбор начал  у Аристотеля выступает определяющим моментом построения доказывающей науки;  именно начала  характеризуют  науку  как данную, выделяют  ее  из ряда других наук.  "То,  что доказывается", можно трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный доказывающий силлогизм и его заключения.  Из этих элементарных процессов строится здание доказывающей науки в виде отдельно  взятой  теории. Из них же создается и наука как система теорий.  Однако не всякий набор доказательств образует теорию.  Для этого он должен  удовлетворять определенным требованиям,  охватывающим как содержание доказываемых предложений,  так и связи между ними. В пределах же научной теории  необходимо  имеет место ряд вспомогательных определений, которые не являются первичными, но служат для раскрытия предмета теории.

     Хотя вопросы методологии математического познания и не были изложены Аристотелем  в какой-то отдельной работе,  но по содержанию в совокупности они образуют полную систему.

В основе философии математики Аристотеля  лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира. 

Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с  Платоновым идеализмом;  ведь "если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое,  то каким образом  возможно, что к ним прилагаются его свойства?" - писал он.

Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным,  в целом  его  воззрения  в большей степени  соответствовали потребностям математического познания, чем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеля одним  из источников формирования ряда разделов его философской системы.

Заключение

В чем все-таки схожи, а чем различаются философские платформы этих великих людей относительно математики как науки?

Известная картина Рафаэля “Афинская школа” изображает Платона указывающим рукой на небо,  Аристотеля — на землю. В этих образах запечатлено различие в ориентациях двух великих мыслителей.

Прежде всего,  их взгляды расходились в определении того, что представляет собой окружающая нас действительность. У Платона вещи чувственно воспринимаемого мира рассматриваются лишь как видимость, как искаженное отражение истинно сущего, у Аристотеля чувственно воспринимаемая вещь рассматривается как реально существующее единство формы и материи.

Оба стоят на позициях объективного идеализма, так как придают особую, ведущую роль не материи, а идеальным субстанциям - идеям (у Платона) или форме (у Аристотеля).

И Платоном и Аристотелем важная роль приписывается мировому разуму - богу (у Платона), высшей форме (у Аристотеля). Это дает еще одно основание для характеристики их философских  теорий,  как объективно-идеалистических.

Из этого следует естественный перенос их философских взглядов и на математику.

Мир Платона идеален и математичен по своей природе, оттого математика — лучший инструмент его познания. 

Если Платон страдал оттого, что наше несовершенство не позволяет постигнуть математику мира и узнать, каков же он на самом деле, то Аристотель считал, что это наша математика слишком слаба, чтобы описать физическую реальность во всем ее многообразии. 

По  Аристотелю, идейное богатство мира скрыто в чувственно воспринимаемых земных вещах и раскрывается в прямом, опирающемся на опыт общении с ними.

Фрэнсис Бэкон  английский философ, родоначальник английского материализма утверждал, будто Аристотель разбирал мысли прежних философов единственно для того, чтобы их опровергнуть и затем одному безраздельно владычествовать в науке и в философии. Но очень многие ученые, занимающиеся вопросами философии Древней Греции, считают, что это не так. Критические разборы Аристотеля отличаются сдержанностью и справедливостью; он не искажает мыслей своих предшественников, а стремится дать о них верное понятие. Потомство оценило такое отношение Аристотеля к философии древних. Сочинения Аристотеля служили и служат лучшим источником сведений о греческих философах. Прежние учения сделались основой его собственного вполне самобытного учения; последнему суждено было бессмертие в будущем также и потому, что оно было органически связано с прошлым.

В заключение  работы так же хочется привести слова  Линицкого Петра Ивановича (1839-1906)  философа и церковного писателя,  профессора философии Киевской Духовной академии:  "В лице Платона и  Аристотеля  древняя греческая философия достигает высшего процветания: здесь мы имеем все существенное, что было выработано гением греческого ума как и в научном отношении, так и относительно вопросов жизни".

Выбранная мною тема  до сих пор находится в общем поле внимания, как истории философии, так и истории математики. Хочется привести такой пример. Многие математики, в том числе и  Эйнштейн в конце жизни, занимаясь единой теорией поля, явно или неявно склонялись к идеям Платона: математика хорошо описывает Вселенную именно потому, что та математична по своей природе. И познание физического мира сводится к решению сложной, но конечной и в принципе решаемой математической задачи. Безгранично умный математик может на основе фундаментальных законов рассчитать картину мира. Чем не платоновский подход!?

Философские идеи Платона и Аристотеля бессмертны!

Философские идеи этих великих землян не могут быть забыты и всегда будут объектом критики, модификации, абсорбции одних концепций и отмирания других, взаимодействия с другими направлениями философской и научной мысли, одним словом, всегда будут жить.

                                             Литература:

1. Щетников А. И. (2006)  “Диалоги Платона как источник  сведений по ранней античной математике”,  Academeia: Исследования и материалы  по  истории платонизма.  Вып. 6 (Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ)

2. Миронов В.В.  «Современные философские проблемы естественных, технических, и социально-гуманитарных наук» учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук. –М.; Гардарики, 2006.

3. Кузнецов Б.Г. «История философии для физиков и математиков», М.; «Издательство»,1974.

4. Асмус В.Ф. История античной философии. - М., 1965

5. Асмус В.Ф. Избранные диалоги  Платона. Вступительная статья. - М., 1965

6. 6. Лосев А.Ф. «Жизненный и творческий путь  Платона»,    М., 1990.

7. Линицкий П.И. « Платон - представитель идеализма в древней философии» ТКДА, 1868г.