Решение квадратных уравнений нестандартным способом

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Муниципальное образование «Курумканский район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Улюнханская средняя общеобразовательная школа»

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Тема «Решение квадратных уравнений нестандартным способом»

Секция:  математика

Работу выполнил: Цыденова Даяна,  ученица 10 класса

                                                      Руководитель : Аюшеева Оюна Юрьевна,

                                                                     учитель математики высшей категории

у. Улюнхан

2021 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………….…………3

Глава I. Теоретическая часть……………………………………….…………        4

1.1 История  квадратных уравнений……………….………………………        4

1.2 формулы раения квадратных уравнений………………………………5

Глава II. Практическая часть……………………………………………………        6

2.1 Нестандартные способы решения квадратных уравнений…………        6

2.2 Дидактический материал по применению нестандартных приемов

 решения квадратных уравнений………………………………..………………7

2.3 Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений

 нестандартными способами…………………………………………………….8

Заключение………………………………………………………….…………...9

Используемая литература……………………………………………………….10

Введение

             Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики. Практически все, что окружает современного человека, так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомились с несколькими видами квадратных уравнений и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие способы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому я выбрала тему исследовательской работы, связанную с квадратными уравнениями. В ходе работы она получила название «Решение квадратных уравнений нестандартным способом».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений, и перед каждым учеником стоит задача - уметь верно и рационально решать квадратные уравнения;  это также может  пригодится при решении более сложных экзаменационных задач.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения?

Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.

Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений

Задачи:

• Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений
• Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.
• Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.

Разработать дидактический материал как тренажер по решению квадратных уравнений с использованием новых способов их решения в помощь ученикам при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет изучения: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами.

Глава 1. Теоретическая часть.
Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под ред. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир.. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2. Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г.

Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.

Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. (Приложение 1).

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения.

        Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным. Однако не известно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

      Квадратным уравнением называют уравнение вида , коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, кроме .

Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, число b  - вторым коэффициентом, число с  - свободным членом.

Приведенное, если                  

Неприведенное, если              

Полное, если              

Неполное, если                        

                   если                          

                   если              

Полные квадратные уравнения

   при

Если - два корня по формуле    

Если - один корень по формуле    

Если  - нет корней.

Неполные квадратные уравнения

Теорема Виета:

Если  и   – корни квадратного уравнения , то

Следствие теорема Виета:

Если  и   – корни квадратного уравнения , то

Глава 2. Практическая часть.
2.1. Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

 при

Если - два корня по формуле    

Если - один корень по формуле    

Если  - нет корней.

Пример:

Метод коэффициентов

Если  

Пример:

Если  

Пример:

В уравнениях вида:

             Пример:

В уравнениях вида

             Пример:

В уравнениях вида

             Пример:

В уравнениях вида

             Пример:

Прием «переброски» старшего коэффициента.

Корни квадратных уравнений вида

   и     связаны следующими отношениями:    и  

Пример:

Заменим на  ,

тогда

получим

2.2. Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.

1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

4х2 – 13х + 9 =0
(1; 2,25)

1978х2 – 1984х + 6=0
(1; 6/1978)

4х2 + 11х + 7 = 0
(-1; -7/4)

319х2 + 1988х +1669=0
(-1; -1669/319)

1999х2 + 2000х+1=0
(-1; -1/1999)

2. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

313х2 +326х+13=0
(-1; -13/313)

839х2– 448х -391=0
(1; -391/839)

345х2 – 137х – 208=0
(1;.-208/345)

939х2+978х+39=0
(-1; -39/939)

3. Используя полученные знания, установи соответствие:

2.3.Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Разработаны критерии оценки проведенного практикума :

За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;

Наиболее возможное количество набранных баллов-17

Если ученик набирает менее

7 баллов, то выставляется оценка «2»
от 7 до 11 баллов «3»
от 12 до 15 баллов «4»
от 16-17 баллов «5»

Результаты практикума. (Приложение 2.)

Выполняли работу – 11человек

Набрали баллов

от 16-17 – 6 человек (63%)
от 12-15 – 4 человека (27%)

от 7-11 – 1 человек (10%)
Менее 7 – 0 человек

Средний балл – 4,45

Процент качества – 90%

Процент успеваемости - 100%.

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 9 и 10 классов, позволяет сделать следующие выводы:

нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;

позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

Заключение

В процессе работы была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов. Апробация проводилась на базе 9 и 10 классов, всего в эксперименте участвовало 11 учащихся.

Способов решения квадратных уравнений очень много. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ. Для того, чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания. В данной работе представлены тренировочные задания для каждого из способов решения квадратных уравнений.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике, а также для подготовки учащихся к ОГЭ и ЕГЭ по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

По итогам выполненной исследовательской можно сделать вывод о том, поставленные цели и задачи достигнуты, удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Список использованной литературы

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970.

Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.. Алгебра 8 класс .

Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.

Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.

15.03.2013

Приложение 1.

Приложение 2.