Способы решения арифметических задач.

Задачи сопровождают человека на протяжении всей его жизни. С начальной школы нам знаком только один способ решения текстовых задач – арифметический. Уже в 5-6 классах мы решаем большинство текстовых задач с помощью уравнений. Этот способ так и называем «с помощью уравнений». Мне стало интересно - есть ли ещё какие-нибудь способы решения текстовых задач, а может одну и ту же задачу можно решать разными способами.

Актуальность. Текстовые задачи, на мой взгляд, трудный материал. Текстовые задачи, способствуют развитию логического мышления, математических способностей, математической речи, повышению математической культуры.

Научившись решать задачи различными способами, я смогу применять их не только на уроках, но и олимпиадах. Мое исследование направлено на то, чтобы показать разные способы решения задач.

Цель работы – показать различные способы решения математических задач в курсе изучения математики 5-6 классов.

Задачи:

- изучение теоретического материала;

- выявление способов решения задач;

- выбрать для себя самые интересные или более рациональные, и использовать их при решении задач.

Объект исследования: текстовые задачи в курсе математики 5-6 классов.
Предмет исследования: способы решения текстовых задач.

Гипотеза - с помощью различных способов можно упростить и ускорить процесс решения текстовых задач.
Методы исследования:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

- исследовательский метод при определении способов решения текстовых задач;

- практический метод при решении текстовых задач.

§1. История текстовой задачи.

1. Немного истории.

С древнейших времен люди сталкивались с необходимостью решения различных практических задач. Приходилось отыскивать способы их решения. Таким образом, текстовые задачи изначально были «движущей силой» развития математики.

Практика применения текстовых задач во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других письменных источников.

Древнейшая русская математическая рукопись, сохранившаяся до наших дней, датируется 1136 годом. Автором этой рукописи был новгородский дьякон Кирик. Записки содержат задачи на суммирование прогрессий, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества месяцев со дня сотворения мира, вычисление размеров Солнца и Луны по астрономическим данным. Измерение земель, военное дело, развивающиеся торговые отношения – все требует прикладных математических знаний.

Рукописи XVI – XVII веков послужили основой для создания учебной литературы XVIII века. Многие задачи перешли в учебники по арифметике и алгебре в XVIII век из старых рукописей.

В 1703 году Леонтием Филипповичем Магницким был создан учебник математики «Арифметика, сиречь наука числительная…», прослужившая в качестве школьного учебника почти до середины XVIII века. Она содержала задачи практического содержания вместе с их решениями. Обучение математике велось по образцам, т.е. по «правилам». По-другому в те времена учить не умели. Обучение «по правилам», было обычным для России, учитель лишь формулировал основные определения и правила, и разбирал решение типовых задач. Ученик должен был знать на память ряд правил и решать задачи, попадающие в сферу его деятельности. Очень долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде практического содержания вместе с их решениями.

2. Определение текстовой задачи.

Термин задача встречается нам как в быту, так и в профессии. Каждый из нас решает те или иные задачи.

Для текстовой арифметической задачи различные авторы предлагают следующие определения.

1. Арифметической задачей называют требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, которая связывает эти величины, как между собой, так и с искомой величиной. (Богданович М.В.).

2. В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи. (Бантова М.А.).

3. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (Моро М.И., Пышкало А.М.).

4. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения. (Стойлова Л.П., Пышкало А.М.).

5. Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней (Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.).

В словаре Ожегова под арифметической задачей подразумевается упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления.

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти.

3. Классификация текстовых задач.

В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо способ решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет.

В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать:

- по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;

- по соответствию числа данных и искомых;

- по способам решения.

3.1. Задачи по числу действий.

Задачи по числу действий можно классифицировать на:

простые – это задачи, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие;
составные – задачи, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий.

Задача 1 (простая задача). Саше 7 лет, он на 3 года старше Тани. Сколько лет Тане?

Решение:

7 – 3 = 4 (года) Тани

Ответ: 4 года.

Задача 2 (составная задача). Будем считать, что айсберг представляет собой прямоугольный параллелепипед. Известно, что его высота над водой равна 36 м, что составляет 1/6 части всей его высоты. Ширина айсберга в 125 раз больше его высоты, но в 3 раза меньше его длины. Определить объем айсберга.

Решение:

36 : 1/6 = 216 (м) - высота айсберга
216 * 125 = 27000 (м) - ширина айсберга
27000 * 3 = 81000 (м) – длина айсберга
216 * 27000 * 81000 = 472 392 000 (м3) объем айсберга

Ответ: 472 392 000 м3.

Решение сложной задачи сводится к разложению ее на простые задачи и к решению этих простых задач.

Разделение задач на простые и составные не может быть проведено вполне строго. Например: задача на сложение нескольких слагаемых может быть решена одним действием сложения или несколькими действием сложения, то есть может быть причислена к простым или составным. Задачи на нахождение числа по его части могут решаться одним действием – делением на дробь, как задачи простые, или двумя действиями (делением на числитель дроби и умножением на ее знаменатель), то есть могут быть отнесены к составным задачам.

3.2. Задачи по соответствию числа данных и искомых.

Задачи по соответствию числа данных и искомых можно классифицировать на:

- определенные задачи;

- неопределенные задачи;

- переопределенные задачи;

- задачи с недостающими данными.

Задача является определенной, если число условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа. Задача имеет единственное решение.

Задача 3. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетает по пять книг в день и уже переплел 160 книг. Сколько книг в день должен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один день с первым?

Решение:

В данной задаче число условий соответствует числу данных и искомых. Поэтому она имеет решение и является определенной.

160 : 5 = 32 (дня) – работал первый переплетчик переплетая по 5 книг в день
384 – 160 =224 (книги) – переплел второй переплетчик
224 : 32 = 7 (книг) - переплетал в день второй переплетчик, работая 32 дня

Ответ: 7 книг в день.

Задача является неопределенной, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы. Задача может иметь несколько решений.

Задача 4. От одной пристани по реке одновременно отправляются два катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй - со скоростью 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 2 часа, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

1 случай. Если они плывут в одну сторону, то расстояние от течения не зависит.

19 * 2 -17 * 2 = 4 (км) – расстояние между катерами через 2 часа.

2 случай. Если они плывут в разные стороны, то имеем:

17 + 2 = 19 (км/ч) - скорость первого по течению
19 – 2 = 17 (км/ч) - скорость второго против течения
19 + 17 =36 (км/ч) - скорость удаления
36 * 2= 72 (км) - расстояние между катерами через 2 часа.

Или

17 - 2 = 15 (км/ч) - скорость первого против течения
19 + 2 = 21 (км/ч) - скорость второго по течению
15 + 21 =36 (км/ч) - скорость удаления
36 * 2= 72 (км) - расстояние между катерами через 2 часа.

Ответ: 4 км; 72 км.

Переопределенные задачи – это задачи, в которых имеются лишние условия. Если в переопределенной задаче лишнее условие не противоречит остальным условиям, то она имеет решение.

Задача 5. В одной печи можно обжечь 39000 кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей за пять дней. За сколько дней можно обжечь 143000 кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй.

Решение:

39000 : 6 = 6500 (кирп.) – в первой печи за один день
39000 : 5 = 7800 (кирп.) – во второй печи за один день
6500 + 7800 = 14300 (кирп.) - кирпичей
143000 : 14300 = 10 (дней) – потребуется для обжига всех кирпичей.

Ответ: 10 дней.

§2. Способы решения текстовых задач в курсе математики 5-6 классов.

1. Способы решения текстовых задач.

Существуют различные способы решения текстовых задач:

арифметический – найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами;
алгебраический - найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение;
логический - найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения;
практический - найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами);
табличный - позволяет видеть задачу целиком, это решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу;
схематический - найти ответ на требование задачи с помощью схем;
геометрический - найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

2. Примеры решения текстовых задач в 5-6 классах.

2.1. Арифметический способ.

В арифметическом способе решить задачу - это значит выполнить и арифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.

Задача 6. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Решение.

1) 82 + 32 + 78 = 192 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192:2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96 – 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4) 96 – 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;

5) 96 – 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.

Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.

2.2. Алгебраический способ.

Задачу, решенную арифметическим способом можно решить и алгебраическим способом.

Решение:

Пусть х учеников занимались танцами, тогда 82-х учеников пели в хоре и 32-х учеников занимались художественной гимнастикой. Составим уравнение по последнему предложение нашей задачи - поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников, значит

(82 - х) + (32 - х) = 78

82 –х + 32 – х = 78

2х = 36

х = 18 учеников занимались танцами.

82-18=64 ученика пели в хоре,

32-18=14 учеников занимались художественной гимнастикой.

Задача 8. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение:

Пусть х дет. в день - первоначальная производительность рабочего. Тогда (х+10) дет. в день - новая производительность, 3х дет. – число деталей, которое он должен сделать.

По условию получаем уравнение:

3х = 2(х+10)

3х = 2х + 20

х = 20.

Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Задача 9. На солнышке грелось несколько кошек. У них вместе лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

Решение:

Кошки - х шт.

Лапы - 4х шт.

Ушки - 2х шт.

Так как лап на 10 больше чем ушей, составим и решим уравнение:

4х - 2х = 10

2х = 10 / : 2

х = 5

Ответ: 5 кошек грелось на солнышке.

Задача 10. В хозяйстве имеются куры и козы. Сколько тех и других, если известно, что у них вместе 19 голов и 46 ног?

Решение:

Количество Ноги

Куры х шт. 2х шт.

Козы (19-х) шт. 4(19-х) шт.

Так как у кур и коз ног всего 46, составим и решим уравнение:

2х + 4(19-х) = 46

2х + 76 - 4х = 46

- 2х = - 30 / : ( - 2)

х = 15

15 шт. – куры

19 – 15 = 4 (шт.) - козы

Ответ: 15 кур, 4 козы.

2.3. Логический способ.

Задача 11. Кто из учеников Саша, Сергей, Дима и Андрей играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

а) если Саша и Сергей играет, то Дима не играет;

б) если Сергей не играет, то играют Дима и Андрей;

в) Дима играет.

Решение:

Если Саша и Сергей играет, то Дима не играет.

Если играют Дима и Андрей, то Сергей не играет.

Так как Дима по условию играет в шахматы, значит - это Дима и Андрей играют в шахматы.

Ответ: в шахматы играют ученики Дима и Андрей, а Саша и Сергей - не играют.

2.4. Практический способ.

Задача 12. Некто истратил 30 руб. своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 руб., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 рублей, у него осталось 70 руб. Сколько денег было вначале?

Решение:

Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним операции в обратном порядке.

Берем оставшиеся 70 руб., добавляем к ним истраченные 90 руб. (160 руб.), затем делим эту сумму пополам и узнаем сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 руб.). После этого добавляем 60 руб. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 руб. (140 руб.). Делим эту сумму пополам и узнаем сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 руб.), прибавляем истраченные в первый раз 30 руб. и находим первоначальное количество денег (100 руб.).

Ответ: первоначально было 100 руб.

2.5. Табличный способ.

Текстовые задачи на совместную работу, движение удобнее решать табличным способом. В таблице прописываем формулу, необходимую для расчетов, и придерживаемся главного правила таблицы – если есть две известные величины, то обязательно находим третью.

Задача 13. Плавательный бассейн наполняется двумя трубами при их совместной работе за 48 минут. Через первую трубу бассейн может наполниться за 2 часа. За сколько времени наполнится бассейн на ¾ своего объема только через одну трубу?

Решение:

	А =	N	T
I	1	1/120	2 ч = 120 мин
II	3/4	1/48 -1/120 = 1/80	¾ :1/80 = 60 мин
I + II	1	1/48	48 мин

Ответ: 60 мин.

Задача 14. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?

Составим таблицу:

	Скорость (км/ч)	Время (ч)	Путь (км)
I велосипедист	Х	2	2х
II велосипедист	Х-3	2	2(х-3)	76км

Решим уравнение:

2х + 2(х-3) = 76

2х + 2х – 6 = 76

4х = 76 + 6

4х = 82

х = 82 : 4

х = 20,5 (км/ч) скорость I велосипедиста

20,5 – 3 = 17,5 (км/ч) скорость II велосипедиста

Ответ: 20,5 км/ч, 17,5 км/ч

2.6. Схематический способ.

Задача 14. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго – 30 км/ч. Сколько часов находятся туристы в пути до встречи?

Решение:

$D:\12\IMG_20221116_204934.jpg$

1) 20 + 30 = 50 (км/ч) – скорость сближения

2) 250 : 50 = 5 (ч) – находятся туристы в пути до встречи

Ответ: 5 часов.

2.7. Геометрический способ.

Задача 15. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20% . На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня.

Решение:

Представим первоначальный выпуск продукции в виде отрезка АВ Разделим его на 5 равных частей и отметим точку С на расстоянии 1/5 от В. Мы получим отрезок АС, равный 4/5 АВ. Из чертежа видно, что требуется найти какую часть составляет ВС от АС. Решение очевидно. Так как ¼ АС=ВС, тогда требуется увеличить выпуск продукции на ¼ АС, т. е. на 25%.

Ответ: на 25%.

Заключение.

Арифметическим способом можно решать простые задачи 5-6 класса, а некоторые уже и алгебраическим. Геометрический способ является неординарным и рациональным, отличается быстротой и наглядностью. Табличный способ решения текстовых задач значительно упрощает решение задач на совместную работу.

В результате выполнения исследовательской работы я расширил своё

представление о способах решения текстовых задач, освоил и сравнил эти способы, показал их применение при решении задач, которые рассматриваются в наших учебниках.

Таким образом, мною была достигнута цель, которую я поставил. Изучив способы, я научился быстрее и рациональнее решать текстовые задачи, теперь буду увереннее себя чувствовать на уроках математики.

На внеурочном занятии я познакомил одноклассников со способами решения текстовых задач. Надеюсь, моя работа будет полезна не только мне, но и принесёт пользу моим сверстникам.

Литература.

Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений//Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2004-2010. – 280 с.
Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2004-2010. – 288 с.
Капкаева Л.С. Алгебраический и геометрический методы в обучении математике. Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал. №7 – М.: Издательство ООО «Школьная пресса» 2004. – 78 с.
Пойя Д. Как решать задачу. Львов, журнал «Квантор»,1991.

Император Акбар и Бирбал

Мост из бумаги для Киры и Вики

Владимир Высоцкий. "Песня о друге" из кинофильма "Вертикаль"

Выбери путь

Лист Мёбиуса