Инд.проект "Решение тригонометрических уравнений"(брошюра)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Опубликовано Якимова Ольга Аркадьевна вкл 28.09.2023 - 21:48

Автор:

Уразалинов Данияр Жанатович

Брошюра "Система подготовки к ЕГЭ 2023" . Методы решений тригонометрических уравнений (Задание 5,задание 12).

Вложение	Размер
broshyura_ege_2023_trigonometricheskie_uravneniya.docx	446.13 КБ

Текст задания

$sin^{2}x+2sinxcosx-3cos^{2}x=0.$

$\displaystyle -arctg3+\pi k; \frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z.$

$10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3.$

$\displaystyle -\frac{\pi }{4}+\pi k; arctg\frac{2}{7}+\pi k, k\in Z.$

Выпускнику

Система подготовки к ЕГЭ – 2023

ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАНИЕ 12

Решение тригонометрических уравнений

Ученик: Уразалинов Данияр Жанатович

Класс: 10 А

2023

СОДЕРЖАНИЕ

Номер урока	Тема урока	Страница
	Простейшие тригонометрические уравнения	5
	Основные понятия, формулы корней	5
	Типовые примеры	6
	Задания для самостоятельного решения	7
	Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью разложения на множители	8
	Основные понятия и метод решения	8
	Типовые примеры	9
	Задания для самостоятельного решения	10
	Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным	10
	Типовые примеры	11
	Задания для самостоятельного решения	12
	Однородные тригонометрические уравнения	13
	Основные понятия и методы решения	13
	Типовые примеры	14
	Задания для самостоятельного решения	16
	Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул тригонометрических преобразований	16
	Основные понятия и методы решения	18
	Типовые примеры	19
	Задания для самостоятельного решения	32
	Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного аргумента	20
	Основные понятия и методы решения	20
	Типовые примеры	22
	Задания для самостоятельного решения	22
	Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки	23
	Основные понятия и методы решения	23
	Типовые примеры	24
	Задания для самостоятельного решения	25
	Решение уравнений, содержащие обратные тригонометрические функции Основные понятия и методы решения	26 28
	Типовые примеры	28
	Задания для самостоятельного решения	30
	Задание №5 ЕГЭ Типовые примеры Задания для самостоятельного решения	30 30 32
	Задание №12 ЕГЭ Типовые примеры Задания для самостоятельного решения	33 33 36
	Для заметок	38

Тема1. Простейшие тригонометрические уравнения

Цель:

повторить основные понятия и методы решения простейших тригонометрических уравнений;
закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Уравнения вида sinx = a , cosx = а , tgx = a , сtgx = a , где x – переменная, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Уравнение	Ограничения	Решение
sin = a	-1≤≤1
cos =a	-1≤≤1
tg =a
ctg =a

Пример 1.1.

Решите уравнение: .

По формуле получаем:

;

Ответ: .

Пример 1.2.

Решите уравнение .

;

;

;

Ответ: ;

Примечание: для решения простейших уравнений удобно пользоваться тригонометрической окружностью, в этом случае пользоваться формулами не придётся. Решим уравнение с помощью окружности (рис.1):

Проведём прямую ;
Отметим точки пересечения прямой с окружностью и определим их значения;
Запишем значения, соответствующие этим точкам:;

Ответ:, .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

№	Текст задания	Ответ




	ctg x=1

Тема 2. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

Цель:

повторить основные понятия и методы решения уравнений;
закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде произведения нескольких множителей. При решении тригонометрических уравнений этим способом мы преобразуем сумму или разность тригонометрических функций в произведение с помощью всех известных способов разложения на множители (вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических формул).

Пример 2.1.

Решите уравнение:

Вынесем sinза скобки, получим: sin (sin -1;
Решим совокупность простейших уравнений

sin=0; sin-1;

х = ; sin

х =,

Ответ: ; ,

Пример 2.2.

Решите уравнение:.

Вынесем за скобки, получим: -4;
Решим совокупность простейших уравнений

=0; -4;

;

х=,

Ответ: ,

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

№	Текст задания	Ответ
		$\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n; \frac{\pi }{2}+2\pi n; \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z.$
		$\displaystyle \frac{\pi n}{5}, n\in Z.$
	$3\sin^{2}2x + 7\cos2x - 3 = 0$	$x = \frac{\pi}{4}(2k + 1),\ k \in Z$

Тема 3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Цель:

повторить основные понятия и методы решения уравнений;
закрепить навыки решения уравнений.

Уравнение вида или называется тригонометрическим уравнением, сводящимся к квадратным.

Для решения уравнений данного вида следует ввести новую переменную или . В результате приходим к квадратному уравнению bt+c=0. Решаем полученное уравнение относительно переменной t, затем подставляем полученные значения в выражение, которое было обозначено за t.

Если в уравнении присутствуют различные тригонометрические функции, например:

, то для его решения можно представить как , сведя уравнение к виду: .

Пример 3.1.

Решите уравнение: .

Сведём к одной тригонометрической функции, заменив на .

2(;

Введём новую переменную:.

;

Решим квадратное уравнение:

;

корень не удовлетворяет условию.

Обратная замена:

Решаем простейшее уравнение с помощью тригонометрической окружности (рис.2).

Ответ: ;

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

№	Текст задания	Ответ
	$2cos^{2}x+5sinx=5.$	$\displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi k; -\frac{2\pi }{3}+2\pi k, k\in Z.$
	$cos2x-5\sqrt{2}cosx-5=0.$	$\displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$
	$\displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )-9=0.$	$\displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi k; -\frac{2\pi }{3}+2\pi k, k\in Z.$

Тема 4. Однородные тригонометрические уравнения.

Цель:

повторить основные понятия и методы решения уравнений;
закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Уравнение вида называют однородным уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение ,

где

Разделив обе части уравнения на , получим:

В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:

Рассмотрим теперь тригонометрическое уравнение второй степени:

Разделим обе части уравнения на :

Получившееся уравнение решается путём введения новой переменной а затем сводится к простейшему.

Если коэффициент a равен нулю, уравнение принимает вид:

Данное уравнение решается методом разложения на множители:

или .

Получились два уравнения, одно из которых простейшее, а другое является однородным первой степени и которое сводится к простейшему.

Примечание: делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение не обращается в ноль. Синус и косинус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю, значит деление на или не приведёт к потере корней.

Пример 4.1.

Решите уравнение .

Данное уравнение относится к однородным первой степени. Для его решения поделим обе части на .

;

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

Ответ: .

Пример 4.2.

Решите уравнение

=0.

Уравнение относится к однородным второй степени. Поделим обе части на

Выполним замену переменной:
Решаем квадратное уравнение:

Обратная замена:
Решаем простейшие уравнения.

1); 2)

Ответ:,

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 5. Решение тригонометрических уравнений с помощью различных формул преобразования тригонометрических выражений.

Цель:

повторить основные понятия и методы решения уравнений;
закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

При решении тригонометрических уравнений применяются следующие формулы тригонометрических преобразований:

Преобразование суммы в произведение	Синус, косинус суммы и разности аргументов

Формулы двойного угла	Формулы понижения степени

Формулы приведения

Данные формулы позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Но нельзя забывать, что правые части этих формул не определены при . Поэтому, если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, нужно выполнить проверку.

Пример 5.1.

Решите уравнение:

Для решения сведём все части уравнения к одному аргументу. Для этого воспользуемся формулой двойного угла.

;

Разложим уравнение на множители. Для этого вынесем общий множитель за скобки.

;

или;

Решим совокупность простейших уравнений.

; ;

Ответ: , .

Пример 5.2.

Решите уравнение: .

Сведём все части уравнения к одной тригонометрической функции. Для этого воспользуемся формулами приведения.

;

Воспользуемся формулой преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

;

=0 или ;

Ответ: , -.

Пример 5.3.

Решите уравнение: .

Поделим обе части уравнения на вспомогательный аргумент 2;

;

и соответствуют табличному значению

;

По формуле синуса суммы получаем:

;

Решаем простейшее уравнение:

;

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

№	Текст задания	Ответ
	$sin^{2}2x+sin^{2}3x=1.$	$\displaystyle \frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}, n\in Z.$
	$\sqrt{3}sinx+cosx=2.$	$\displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in Z.$
		$\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n; 2\pi n, n\in Z.$

Тема 6. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью вспомогательного аргумента.

Цель:

повторить основные понятия и методы решения уравнений;
закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Для решения тригонометрических уравнений вида , где (относительно переменной x) используется метод введения вспомогательного аргумента:

Найти коэффициент (вспомогательный аргумент);

Разделить обе части уравнения на найденный коэффициент.(вспомогательный аргумент).

Получаем:

При этом коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами:

, ;

Раскладываем уравнение по формулам синуса или косинуса суммы и разности аргументов.

То есть мы можем обозначить за , а за , где – вспомогательный угол.Тогда уравнение приобретает вид:

По формуле синуса суммы можно получить уравнение вида:

Решаем простейшее уравнение

Где или .

Если

Пример 6.1.

Решить уравнение 3 cosx+ 5 sinx=4.

Делим обе части уравнения на

Пусть , а , тогда

где

Ответ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

№	Текст задания	Ответ
	$\sqrt3 cosx-sinx=-1;$	$\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;$

Тема 7. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки.

Цель:

повторить основные понятия и методы решения уравнений;
закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки - уравнения, при решении которых используется подстановка:

Пример 7.1.

Решить уравнение sin 2x + tgx =2.

Используя универсальную обстановку:

Пусть , тогда:

Умножим обе части уравнения на

, тогда:

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Переходим к совокупности двух простейших уравнений:

или

Так как дискриминант во втором уравнении меньше нуля, то уравнение не имеет корней. Значит, уравнение имеет только один корень .

Выполняем обратную замену, получаем: tg x= 1.
Решаем простейшее уравнение с помощью тригонометрической окружности (рис.3)

Рис.3

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало tg x. Значит, корень проверять не нужно.

Ответ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

№	Текст задания	Ответ
		$\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.$
	5sin2x-5cos2x=tgx+5

Тема 8. Тригонометрические уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Цель:

повторить основные понятия и методы решения уравнений;
закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Тригонометрические уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции- уравнения, содержащие функции:

Для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, необходимо знать:

Уравнение	Ограничения

Уравнения, обе части которых представляют одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов.

Уравнение	Решение

Уравнения, обе части которых представляют разноимённые обратные тригонометрические функции (использование тождеств).

Примечание: при решении уравнений видов, обозначенных в таблице номерами 1-4, их корнем может быть число, для которого и .

Уравнение	Тождество	Решение

Пример 8.1.

Решить уравнение

Преобразуем уравнение: ;

По определению арктангенса: )=;

);

;

Решаем квадратное уравнение:

;

; .

Ответ: 4; -1.

Пример 8.2.

Решить уравнение

Решим равносильную систему:

;

Получаем:

;

Ответ: -0,5.

Пример 8.3.

Решить уравнение .

Решим равносильное уравнение:

;

Получаем:

;

При выражение меньше нуля, следовательно этот корень посторонний.

Ответ: 1.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

№	Текст задания	Ответ
	2 arcsin 2x = arccos 7x
	arcsin(x 2 − 4x + 4) = .	1;3.

Тема 9. Задание № 5 ЕГЭ.

Цель:

закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.

Пример 9.1.

Найдите корни уравнения: В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Последовательно получаем:

$косинус дробь: числитель: Пи левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: Пи левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n равносильно$
$равносильно x минус 7 =\pm 1 плюс 6n равносильно совокупность выражений новая строка x=8 плюс 6 n; новая строка x=6 плюс 6 n, n принадлежит \mathbb Z. конец совокупности .$

Значениям соответствуют положительные корни.

Если то и

Значениям соответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число

Ответ: −4.

Пример 9.2.

Решите уравнение В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Последовательно получаем:

Значению соответствует Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.

Ответ: −1.

Пример 9.1.

Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Последовательно получаем:

Значениям соответствуют отрицательные корни.

Если то и

Значениям соответствуют большие положительные корни.

Наименьшим положительным решением является 0,5.

Ответ: 0,5.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

№	Текст задания	Ответ
	Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.	4
	Решите уравнение В ответе напишите наибольший отрицательный корень	-1
	Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.	-0,5
	Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.	-0,25
	Решите уравнение В ответе напишите наибольший отрицательный корень	-2

Тема 10. Задание № 12 ЕГЭ.

Цель:

закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.

Пример 10.1.

Дано уравнение .

а) Решите уравнение;

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а) Используем формулу приведения:

;

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

;

Вынесем общий множитель:

;

или ;

;

б) Существует несколько способов отбора корней. Применим графический способ отбора корней на координатной прямой (рис.4)

1) Отметим на прямой отрезок ;

2) Отметим точки ,, ;

3) Отсчитываем от этих точек соответственно до тех пор, пока не попадём в отрезок .

4) Получаем точки .

Рис.4

Пример 10.1.

Решите уравнение .

Определим область допустимых значений:

Покажем ОДЗ

на тригонометрической окружности (рис.4).

Решаем уравнение:

;

или

С учётом ОДЗ получаем:

(рис.5)

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

№	Текст задания	Ответ
	Решите уравнение б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку	а) $левая фигурная скобка 2 Пи k, \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)
	а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку	а) б)
	а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку	а) б)
	а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку	а) б)
	а)  Решите уравнение б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку	а) б)