Опыты с лентой Мебиуса

Лента Мебиуса.

Идея для этого проекта появилась спонтанно.  Мы крутили в руках полоску бумаги и совершенно неосознанно повернули его на 180 градусов и склеили. Получился незнакомый нам объект, который нас очень заинтересовал. Лента Мебиуса - это очень интересный топологический объект, который стоит вашего внимания. Сегодня мы представим вам научное исследование о его свойствах и его применении в нашей жизни. Сама по себе лента Мёбиуса представляет собой бумажную ленту, повернутую одним концом на пол-оборота, и склеенная с его другим концом.  Установил существование листов Мёбиуса, для которых неприменим «закон ребер» и которые не имеют объема Август Фердинанд Мёбиус. Это немецкий геометр и астроном, один из основателей теории геометрический преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии.

 Поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Достаточно лишь взять карандаш и начать закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, от куда начали. Закрашенной окажется вся лента целиком, а ведь вы её не переворачивали, чтобы закрасить, с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, потому как поверхность ленты односторонняя.

Лента Мёбиуса обладает следующими топологическими свойствами. Это односторонность, непрерывность, связность, ориентированность, «хроматический номер».

Односторонность – топологическое свойство ленты Мёбиуса, характерное только для него.

Непрерывность – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т. д. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.

Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то, когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

«Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Лента Мёбиуса может объяснить теорию относительности. Эйнштейн объяснил свою теорию сыну, который спрашивал его, что он открыл: «Представь себе Жука, который ползает по огромной вогнутой поверхности, и ему кажется, что эта поверхность плоская. А я такой же жук, только я понял, что поверхность не плоская, а кривая»

Согласно расчетам Эйнштейна, наша Вселенная - не просто сфера, наполненная звездами, а сфера, обладающая четвертым измерением. Как, например, плоскому человечку, живущему на листе бумаге непонятны и недоступны для понимания вещи, в нашем трехмерном мире, так и мы не можем видеть объекты четырехмерного пространства, и нам недоступны для понимания законы этого пространства.

Немного начинает все проясняться, если представить, что края ленты очень широки и изогнуты в ширину так же, как лента Мёбиуса в длину, и соединены, то получится сфера Мёбиуса. Это сфера, вывернутая наизнанку.

 Двигаясь по ее внешней стороне, можно, не пробивая ее стенки, попасть внутрь сферы. Это тело и есть сфера в четвертом измерении. Согласно представлениям Эйнштейна, наша Вселенная имеет именно такой вид, форму, она именно такое тело. Причем Вселенная - не то, что внутри этой сферы, а та  пленка, из которой скручена эта диковинная сфера. Увидеть нам такую сферу то же самое, что человеку двухмерного мира увидеть шар, проходящий через его мир – плоскость. Эйнштейн понял четырехмерность нашей вселенной, а Лобачевский и Риман математически описал такую поверхность. Вселенная замкнута, а ее радиус равен тридцати пяти миллиардам световых лет. То есть наша Вселенная не бесконечна. Она безгранична, как лента Мебиуса, как сфера в четвертом измерении.

Лента Мебиуса может объяснить черные дыры. Корабль, попадая в петлю, больше не может выбраться.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. В физиологии лента Мёбиуса может объяснить строение мышц сердца.

Так же, лента Мебиуса является прародителем символа бесконечности.

Знания о ленте Мёбиуса используются во многих сферах человеческой деятельности. Архитекторов и скульпторов тоже заинтересовал этот необычный объект. Во многих уголках мира есть скульптуры, посвящённые ленте Мёбиуса или выполненные в ее форме. Например, в Казахстане была построена удивительная библиотека. Само по себе здание сложное сопоставление различных идей и концепций. Оно образует спиральную окружность вокруг крепкого вертикального стержня, который позволяет посетителям библиотеки передвигаться между этажами. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Лента Мёбиуса активно применяется в технике. Она участвовала в создании кинолент, используется в шлифовальных лентах, матричных принтерах, ленточных конвейерах и силовых сооружениях.

Лента Мебиуса вдохновляла деятелей искусства на прекрасные произведения. Чудесные свойства ленты Мебиуса породили множество фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившейся в путь по сути, замкнутом в ленту Мебиуса. А в рассказе известного писателя-фантаста Артура Кларка «Стена Мрака» один из героев совершает путешествие по необычной планете, изогнутой в виде листа Мебиуса.

Лента Мебиуса привлекательна не только для физиков и математиков, но также для фокусников.

 Мы провели серию опытов-фокусов, результаты которых сейчас вам покажем.

Опыт первый: афганская лента;

Для её создания нам нужно взять ленту Мёбиуса и разрезать её пополам.

Опыт второй: 1/3 от края;

Нужно взять ленту Мёбиуса и разрезать её на 1/3 от края. И вы получите большое кольцо, переплетенное с маленьким.  

 Мы поэкспериментировали с этими соотношениями.                                                                             1) Лист Мебиуса шириной 5 см, разрезали на расстоянии 1 см от края. Результат: получили 2 сцепленных кольца. 1 кольцо – лист Мебиуса шириной 1см, длина равна длине исходного, 2 кольцо – 2см, длина в 2 раза длиннее исходного, кольцо оказалось перекручено на 2 пол – оборота.

2) Лист Мебиуса шириной 5 см разрезали вдоль на расстоянии 2 см от края. Получили: 2 сцепленных друг с другом кольца, 1 кольцо – лист Мебиуса шириной 1 см. 2 кольцо – ширина  - 2см.                                                                                                                                    

Опыт третий: квадратик;

Этот интересный опыт не связан с лентой Мёбиуса. Нужно взять два кольца, склеить их между собой и разрезать вдоль по середине. Получившееся повергнет вас в шок, из двух колец получился квадрат.

Опыт четвертый: сердечки;

Нужно склеить две ленты Мёбиуса и разрезать их вдоль по середине. И получатся два бумажных сердца. Проводя этот опыт, мы установили закономерность. Если взять две ленты, закрученные в разные стороны, получатся скрепленный между собой сердечки. А если взять ленты, закрученные в одну, то получатся раздельные сердечки.

Опыт пятый: квадрат с лентой Мёбиуса;

Для этого нужно склеить ленту Мёбиуса и обычное кольцо. Сначала разрезать ленту Мёбиуса на 1/3 от края, а затем кольцо вдоль по середине. Мы получим квадрат как из опыта 3 с, надетой на него, лентой Мёбиуса.

Опыт шестой: трилистник;

Нужно разрезать ленту с тремя полуоборотами, получится лента завитая в узел трилистника.

Опыт седьмой: стопочки;

1)Нужно взять две ленты и скрутить из них кольца Мебиуса. При их развороте получается Афганская лента.

2) Нужно взять три полоски и скрутить из них ленты Мебиуса. В результате мы получить ленту Мёбиуса, скрепленную с афганской лентой.

Делая эти опыты, мы вспомнили, что лента Мёбиуса относится к торовым поверхностям.

Мы решили воссоздать макет ленты Мёбиуса в торе, но так, чтобы было видно, что происходит внутри. Для этого мы взяли ленту Мёбиуса и оклеили её бумажными кольцами. Рассматривая полученный тор, мы открыли, что кольцо Мёбиуса не делит внутренний объём тора на две изолированные друг от друга полости. Другими словами: из любой точки, находящейся внутри тора со, встроенным в него, кольцом  Мёбиуса, можно попасть в любую другую точку внутри, не пересекая плоскость кольца Мёбиуса и поверхность тора. Что можно применить в каких-нибудь изобретениях и новациях.

Для нас важно было  выяснить при каком соотношении длины к ширине можно сделать ленту Мёбиуса и где тот момент, когда это будет сделать невозможно без смятия бумаги. Мы провели опыт. Зафиксировав длину – 20см, мы постепенно увеличивали ширину листа. Сначала мы взяли соотношение , ,  - свернуть ленту было очень просто.

Но увеличив ширину еще на чуть-чуть, мы выяснили максимально возможное соотношение. И это - . При условии, что бумагу мять можно ленту Мёбиуса можно свернуть из листа с любым соотношением, просто сложив его гармошкой.

Когда мы разгадаем все законы ленты Мёбиуса, мы станем на шаг ближе к познанию вселенной, а так же, поскольку спираль ДНК повторяет фрагмент кольца Мёбиуса, объясняя тем самым наступление биологической смерти, мы получим возможность увеличить возможность увеличить срок жизни человека.

Источники:

Джин Акияма, Мари-Джо Руис, «Страна математических чудес»

Д.С. Аносов, А.А. Садовин, М.В. Величко «Лента Мёбиуса и ее свойства»