Теорема Пифагора и ее автор

Слайд 1

Слайд 2

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах». Нам стало интересно, почему открытие этого утверждения приписывается именно Пифагору, хотя оно было известно ещё задолго до его рождения, кто же такой Пифагор и как он связан с этой теоремой. Нас также заинтересовала история самой теоремы, в каких странах и в какие века она существовала и какие доказательства этой теоремы существовали тогда и существуют в наше время.

Слайд 3

Содержание. Вступление. Краткая биография Пифагора. История теоремы Пифагора и её формулировка. Некоторые доказательства. Вариации и обобщения. Пифагоровы тройки. Значение теоремы Пифагора.

Слайд 4

Пифагор. Великий древнегреческий ученый Пифагор (570-496 гг. до н.э.) родился на острове Самос . В молодости побывал в Египте, где учился у жрецов. Говорят, что он был допущен в сокровенные святилища Египта, посетил халдейских мудрецов и персидских магов. Около 530 г. д о н.э. Пифагор переехал в Кротон – греческую колонию в Южный Италии, где основал пифагорейский союз. Деятельность союза была окружена тайной, поэтому никаких текстов от ранних пифагорейцев не осталось. Пифагорейцы называли собственные исследования « математа », что означает «науки», и делили их на 4 части: арифметику, геометрию, астрономию и гармонию (учение о музыке). Считается, что Пифагор был первым европейцем, который настаивал на выборе в геометрии некоторых аксиом и на последующим построении высказываний в помощью дедуктивного рассуждения, опирающегося на эти аксиомы. Пифагор ввел в математику доказательство , и это было его величайшим достижением.

Слайд 5

Теорема Пифагора. Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение : треугольник, сумма квадратов длин двух сторон которого равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.

Слайд 6

История. По мнению историка математики Морица Кантора в Древнем Египте (около XXIII век до н. э .) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5, его использовали « натягиватели верёвок ». В древневавилонском тексте (XX век до н. э.) приведено приближённое вычисление гипотенузы. В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин » ( V-III веков до н. э .) приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы. Общепринято , что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором. Имеется свидетельство Прокл а , что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки, но при этом в течении пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу , Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около в 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Слайд 7

Формулировка. Основная формулировка содержит алгебраические действия - в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b , а длина гипотенузы - c , выполнено соотношение : Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел а , b и с , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Слайд 8

Некоторые Доказательства. В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия), метод площадей, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Слайд 9

Через подобные треугольники. В этом доказательстве для треугольника ∆ АВС с прямым углом при вершине С со сторонами а, b , c противолежащими вершинам А, В, С соответственно, проводится высота СН , при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: ∆ АВС ~ ∆ АСН и ∆ АВС ~ ∆СВН, из чего непосредственно следуют соотношения : При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства : ∙ ; ∙ П окомпонентное сложение которых даёт требуемый результат : = c ∙ ( ) = ⇔

Слайд 10

Доказательство через равнодополняемость . Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a , b и гипотенузой с , расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной a+b и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной c . Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна он состоит из внутреннего квадрата площадью и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью , в результате из соотношения ∙ при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

Слайд 11

Доказательство Евклида . Д ля прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С , квадратов над катетами ACED и BCFG и квадрата над гипотенузой ABIK строится высота CH и продолжающий её луч s , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника AHJK и BHJI . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника AHJK c квадратом над катетом AC ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом . Равенство площадей прямоугольника AHJK и ACED устанавливается в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников AHJK и BHJI , равна сумме площадей квадратов над катетами.

Слайд 12

Доказательство Леонардо да Винчи . К методу площадей относится также доказательство, найденное Леонардо да Винчи. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и квадраты ACED, BCFG и ABHJ . В этом доказательстве на стороне HJ последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный ABC , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть JI=BC и HI=AC ). Прямая CI разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники ABC и JHI равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников CAJI и DABG , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Слайд 13

Доказательство методом бесконечно малых . Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов a, b и гипотенузы с, и сохраняющие подобие с исходным прямоугольником, то есть, обеспечивающие выполнение следующих дифференциальных соотношений: Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение c ∙ dc = a ∙ da+ b ∙ db интегрирование которого даёт соотношение . Применение начальных условий a=b=c=0 определяет константу как 0, что в результате даёт утверждение теоремы. Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Слайд 14

Вариации и обобщения. Теорема косинусов. Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике: Где ⍬ - угол между сторонами a и b . Если угол равен 90°, то cos ⍬= 0 и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Слайд 15

Теорема Паппа о площадях. Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

Слайд 16

Пифагоровы тройки. Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел ( a, b, c) удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению : При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты значительно раньше . Некоторые варианты Пифагоровых троек:

Слайд 17

Значение теоремы Пифагора. Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство терем геометрии. Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его “ослиный мост” или “бегство убогих”, т.к. некоторые убогие ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть, без понимания, и прозванные потому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Учащиеся придумывали к ней разные карикатуры, стихи и т.д.

Слайд 18

Спасибо за внимание.