Парадоксы теории множеств

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №17»

                                                                          Содержание:

Введение…………………………………………………………………………………………3

Глава 1. Элементы теории множеств…………………………………………………………..4

1.1. Понятие множества…………………………………………………………………………4

1.2. Операции над множествами………………………………………………………………..5

1.3. Краткая история развития теории множеств……………………………………………..7

Глава 2. Парадоксы теории множества………………………………………………………..9

2.1. Понятие парадоксов………………………………………………………………………...9

2.2. Парадокс Рассела……………………………………………………………………………9

2.3. Некоторые другие парадоксы теории множеств………………………………………..11

2.4. Разрешение парадоксов……………………………………………………………………13

2.5. Применение парадоксов для повышения качества обучения…………………………...15

Заключение……………………………………………………………………………………...17

Список литературы……………………………………………………………………………..18

Приложение……………………………………………………………………………………..19

Введение.

Подавляющее большинство людей размышляют и рассуждают, не обращаясь за помощью к особой науке, называемой логикой.

Интуитивно законы мышления известны каждому. Всякое движение мысли, постигающей истину и добро, опирается на эти законы и без них невозможно.

Люди постоянно стремятся расширить свои знания и обогатить свою память, однако, как сказал Гераклид: «Само по себе многознание – это не мудрость. Мудрость предполагает знание оснований и причин».

Парадоксы не самый важный раздел логики. В некоторых учебниках (например, в учебнике Ю.В.Ивлева «Логика», автор им даже не выделил отдельной темы) о них упоминается вскользь. Однако я решила все-таки поближе познакомиться с парадоксами.

Я обратилась к теме парадоксов по нескольким причинам.

Во-первых, считается, что именно софисты заставили задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.

Во-вторых, разбор софизмов и парадоксов сам по себе развивает навыки правильного мышления.

В-третьих, это просто увлекательно.

Парадоксы же, привлекли меня еще и тем, что вызвали не один кризис в обосновании математики (первый кризис в V веке до н.э. и последний в первой половине XX века). Итак, цель моей работы доказать, что парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показать практическое применение парадоксов и их актуальность и в наше время.

Исходя из данной цели, ставим следующие задачи:

1. Рассмотреть парадоксы теории математики с точки зрения их важности для изучения математики.
2. Попытаться классифицировать основные известные парадоксы.
3. Показать применение парадоксов в современной практике.

Объект исследования: различные парадоксы теории множеств.

Предполагается, что парадоксы в математике – это ситуация, когда в рамках той или иной математической теории доказываются два взаимно исключающих друг друга утверждения, причем каждое из этих утверждений выведено законными с точки зрения данной теории методами. Парадоксы в математике, как правило, свидетельствует о глубоких недостатках математической теории. И неудивительно, что обнаружение парадоксов часто ведет к попыткам существенной перестройки всей теории. Наибольшую известность получили парадоксы «наивной» теории множеств и классической математической теории вероятностей. В обеих теориях обнаружение парадоксов стимулировало дальнейшие исследования и привело к появлению соответствующих аксиоматических теорий. Наша задача познакомить обширную аудиторию школьников с парадоксами теории множеств.

При работе над проектами воспользуемся следующими методами исследования: анкетирование, сравнение, обобщение, анализ, изучение литературы и интернет ресурсов.

Глава 1. Элементы теории множеств.

1.1. Понятие множества.

Теория множеств как математическая дисциплина создана Кантором. Теория множеств стала основой многих разделов математики – общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стала широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах.

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Понятие множества настолько общее, что невозможно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами: совокупность, собрание, объединение элементов и т.п. Объекты, из которых образовано множество, называются его элементами.

Итак, множество – одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C – множество комплексных чисел.

Понятие множества и некоторые другие с ним связанные, являются основой начального обучения математики и широко в нем используются. В большинстве учебников по математике для начальной школы термин «множество» отсутствует, и это понятие используется неявно.

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Существуют два способа задания множества.

1.Перечисление всех элементов. Множество можно задать, перечислив все его элементы. В таком случае названия всех элементов множества записывают в строку, отделяя запятыми, и заключают в фигурные скобки.

Например: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

2.Указание характеристического свойства. Множество можно задать, сформулировав характеристическое свойство.

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Например: А = {а|а∈N и а < 10} (множество натуральных чисел меньших 10).

Выделяют три вида множеств:

1. конечные – совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
2. бесконечные – не являющиеся конечными (например, числовые);
3. пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Конечное множество – множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. Конечные множества играют особую роль в комбинаторике, которая изучает дискретные объекты. Рассуждения о конечных множествах используют принцип Дирихле, согласно которому не может существовать инъекция из большего конечного множества в меньшее.

Бесконечное множество – множество, не являющееся конечным. Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью – таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности.

Пустое множество (в математике) – множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество – единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого пустого множества). Также, пустое множество – единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

1.2. Операции над множествами.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Операции бывают бинарные (которые выполняются над двумя множествами) и унарные (которые выполняются над одним множеством). К бинарным операциям относятся: пересечение, объединение, вычитание, симметрическая разность, декартово или прямое произведение и др. К унарным операциям можно отнести: нахождение мощности множества, разбиение множества и др. Рассмотрим основные из них.

1. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В одновременно.

На диаграммах Эйлера-Венна результат операций пересечения множеств изображается как общая часть геометрических фигур, представляющих эти множества.

Процесс нахождения множества А∩В называется операцией пересечения. Операцию пересечения можно выполнить над любыми множествами, вне зависимости от того, в каких отношениях находятся сами множества, т. е. пересечение любых множеств всегда существует и единственно. Рассмотрим пример. A – множество однозначных натуральных чисел, кратных 3. B={1, 3, 5, 9, 11}, отсюда А∩В={3,9}.

2. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

На диаграммах Эйлера-Венна результат операций объединения множеств изображается как часть плоскости, занимаемая геометрическими фигурами, представляющими эти множества.

Процесс нахождения множества А∪В называется операцией объединения. Операцию объединения можно выполнить над любыми множествами, вне зависимости от того, в каких отношениях находятся сами множества, т. е. объединение любых множеств всегда существует и единственно. Рассмотрим пример. A – множество однозначных натуральных чисел, кратных 3. B={1, 3, 5, 9, 11}, откуда А∪В={1, 3,5, 6, 9, 11}.

3.Разностьюмножеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

На диаграммах Эйлера-Венна результат операций вычитания множества В из множества А изображается как часть геометрической фигуры, представляющей множество А после удаления фигуры, изображающей множество В.

Операцию вычитания можно выполнить над любыми множествами, вне зависимости от того, в каких отношениях находятся сами множества, т. е. разность любых множеств всегда существует и единственна. Пример A – множество однозначных натуральных чисел, кратных 3. B= {1, 3, 5, 9, 11}, значит А\В={6}, В\А={1, 5, 11}.

4. Симметрическая разность двух множеств – это множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества А и В, их симметрическая разность есть объединение элементов А, не входящих в В, с элементами В, не входящими в А.

На диаграммах Эйлера-Венна результат операций симметрической разности изображается следующим образом:

5. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Если множества А и В конечны, то декартово произведение этих множеств можно изобразить при помощи графа и таблицы, а декартово произведение любых числовых множеств удобно изобразить на координатной плоскости. Например, декартово произведение множеств А={3, 5, 7} и B={2, 4} можно представить следующим образом:

1.3. Краткая история развития теории множеств.

До второй половины 19-го века понятие «множества» не рассматривалось в качестве математического («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т. д. – всё это чисто бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» – который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах.

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее – дело рук человеческих»). Тем не менее, некоторые другие математики – в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт – поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

В начале 20-го века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наименее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC – теория Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более – о существовании модели для неё) остаётся нерешенным.

Глава 2. Парадоксы теории множества.

2.1. Понятие парадоксов.

Парадокс в широком смысле – это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями. Парадокс в современном значении – это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы. Грань между софизмом и парадоксом не является сколько-нибудь определенной. В случае многих конкретных рассуждений невозможно решить на основе стандартных определений софизма и парадокса, к какому из этих двух классов следует отнести суждение. В разных источниках, мы встречали термин «апории» (греч. «затруднение») по отношению и к софизмам и к парадоксам. Даже в отношении таких знаменитых «апорий», как «Покрытый», «Протагор и Еватл» не решено, относить их к софизмам или парадоксам. Однако это лишь подогрело наш интерес к проблеме софизмов и парадоксов. Попытка систематизировать и классифицировать парадоксы по некоторому основанию весомых результатов не принесла даже у великих математиков, поэтому, мы, естественно, не стремимся побить все рекорды и классифицировать парадоксы. Мы попытаемся распределить их в контексте заинтересовавших нас проблем.

Парадоксы в математике – ситуация, когда в рамках той или иной математической теории доказываются два взаимно исключающих друг друга утверждения, причем каждое из этих утверждений выведено законными с точки зрения данной теории методами. Некоторые из логических парадоксов были известны с античных времён, однако по причине того, что математическая теория ограничивалась одной лишь арифметикой и геометрией, соотнести их с теорией множеств было невозможно. В XIX веке ситуация изменилась коренным образом: Кантор в своих работах вышел на новый уровень абстракции. Он ввёл понятие бесконечности, создав тем самым новый раздел математики и позволив тем самым сравнивать различные бесконечности с помощью понятия «мощность множества». Однако тем самым он породил множество парадоксов.

Итак, парадоксы теории множеств – это рассуждения, результат которых интуитивно кажется ложным или «парадоксальным», но которые, тем не менее, являются следствием аксиом формальной теории множеств. В математике таких парадоксов большое количество, некоторые из них постараемся разобрать.

2.2. Парадокс Рассела.

Самым знаменитым из открытых уже в XX веке парадоксов, является парадокс Рассела. Парадокс Рассела (1901 г.) – парадокс, открытый в начале XX века Бертраном Расселом и демонстрирующий противоречивость наивной (или канторовской) теории множеств.

Бертран Артур Уильям Рассел (1872 – 1970 г.г.) – британский философ, логик, математик и общественный деятель. Известен своими работами в защиту пацифизма, атеизма, а также либерализма и левых политических течений. Внёс значительный вклад в математическую логику, историю философии и теорию познания.

Парадокс Рассела формулируется следующим образом:

Пусть K – множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K – противоречие. Если нет – то, по определению K, оно должно быть элементом K – вновь противоречие.

Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении «наивного» понятия множества всех множеств. Существование такого множества запрещается в аксиоматизациях теории множеств. Доказательство несовместимости существования множества всех множеств с аксиомами теории множеств по сути представляет собой повторение рассуждения, составляющего парадокс Рассела.

А именно, допустим, что множество U всех множеств существует. Выделим среди элементов U те и только те, которые не содержат себя в качестве элемента. Из аксиомы выделения следует, что полученная совокупность – тоже множество. Далее, вопрос, содержит ли это новое множество себя в качестве элемента, приводит к противоречию, из чего следует невозможность существования U.

Этот парадокс, по мнению Д. Гилберта, вызвал в математике «эффект полной катастрофы». Сразу же стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю долгую историю их существования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения этого парадокса. Явным оказался необходимым отход от привычных способов мышления. Но из какого места, и в каком направлении? Насколько радикальным должен стать этот отказ? С дальнейшим исследованием данной антимонии убеждение в необходимости принципиально нового подхода росло. И. Бар-Хиллел, и А. Френкель писали: «Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для этих целей. Итак, в чем же заключается этот парадокс? Начнем с определения множества. Множество есть объединение в единое целое определенных вполне различимых элементов. Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является ли оно своим собственным элементом или нет. Множество, не содержащее себя в качестве элемента, назовем обычным (например, множество, объединяющее всех людей – обычное). Множества являющиеся собственными элементами будут необычными (например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество, а, значит, содержит себя в качестве элемента). Очевидно, что каждое множество является либо обычным, либо необычным. Поскольку множество всех обычных множеств есть множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное. Если оно обычное, то не может содержать себя в качестве элемента, если необычное, то содержит себя в качестве элемента, но элементы данного множества – обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычном. Но почему оно не может существовать, ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих строго определенному условию, причем само условие не кажется каким – то исключительным или не ясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможным и невозможным множествами? Вывод о не существовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить новые парадоксы. Многие математики вообще предлагали отказаться от теории множеств. Однако, поскольку антимония Рассела не затрагивала непосредственно рассуждения и выводы в анализе и геометрии, в которые теория множеств внесла ряд интереснейших результатов, большинство математиков согласились с заявлением Д.Гилберта: никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор…». Предпринятые же с начала XX в. различные попытки преодоления антимонии Рассела привели к различным точкам зрения на существо понятий множества, число и других понятий, лежащих в основах математики. Примером псевдопарадокса по аналогии парадокса Рассела является парадокс каталога:

Можно ли создать каталог, в который входили бы только те каталоги, которые не содержат ссылку на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя? Нетрудно доказать, что такой каталог создать нельзя. Следовательно, данная задача не парадокс.

Существует много популярных формулировок этого парадокса. Одна из них традиционно называется задачей (или пародоксом) брадобрея и звучит так:

Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого кто сам не бреется и не брить того кто сам бреется», как он должен поступить с собой?

Еще один вариант:

В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе Мэров», аналогично, где должен жить мэр Города Мэров?

2.3. Некоторые другие парадоксы теории множеств.

Парадокс Кантора (1899 г.). Георг Кантор (1845 – 1918) – немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств.

Парадокс Кантора – парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Парадокс Кантора формулируется следующим образом:

С каждым множеством связана такая характеристика, как его мощность. Приближенно это может быть охарактеризовано как число элементов множества. Мощности множества Х (состоящего из пяти берез) и множества Y (состоящего из пяти коров) совпадают, так как можно к каждой березе привязать по одной корове, и не останется коров, не привязанных ни к одной березе.

Если все-таки останутся лишние коровы, после того, как оказалась занятой какой-нибудь коровой каждая береза, говорят, что мощность множества коров больше, чем мощность множества берез. Очевидно, что два множества имеют одинаковую мощность, если их можно поставить друг с другом в однозначное соответствие.

Понятие мощности можно распространить и на бесконечные множества, так сказать, «численно измерить бесконечность».

Очевидно, что по любому множеству можно образовать новое множество, а именно множество всех его подмножеств.

Очевидно, что по любому множеству можно образовать новое множество, а именно множество всех его подмножеств.

Пусть Х = {А, В}. Тогда Х*= { {А}, {В}, {А, В}, ∅ } так как {А} ⊆ {А, В}, {В} ⊆ {А, В}, {А,В} ⊆ {А, В}, ∅ ⊆ {А, В}.

Пусть Х = ∅ . Тогда Х*= { ∅ }, т.е. непустое множество так как ∅ ⊆ { ∅ }.

Так же «очевидно», что мощность Х* всегда больше, чем мощность Х, и равна 2 М (Х), где М (Х) – мощность Х. Мощность Х* всегда больше, чем мощность Х, и равна 2 М (Х), где М (Х) – мощность Х.

Кантор впервые определил сравнение произвольных множеств, включая бесконечные, по их «мощности» (обобщению понятия количества) через понятие взаимно-однозначного соответствия между множествами. Он классифицировал множества по их мощности, определил понятия кардинальных и порядковых чисел, арифметику кардинальных и порядковых чисел.

Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята как нарушение многовековых традиций, заложенных ещё древними греками и отрицающих актуальную бесконечность как легальный математический объект. Со временем канторовская теория множеств была поставлена на аксиоматическую основу и стала краеугольным камнем в современном построении оснований математики, на неё  опираются математический анализ, топология, функциональный анализ, теория меры и многие другие разделы математики.

Парадокс Бурали-Форти (1897 г.). Чезаре Бурали-Форти (1861 – 1931 г.г.) был итальянским математиком. Он родился в Ареццо и был помощником Джузеппе Пеано в Турине, за это время он обнаружил то, что стало названным парадоксом Бурали-Форти  теории множеств.

Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а, следовательно, непригодна для нужд математики.

Парадокс Бурали-Форти – предположение о том, что идея о возможности множества порядковых чисел может привести к противоречиям, а это значит, что противоречивой будет теория множеств, в которой возможно построение множества порядковых чисел.

Не существование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех х таких, что Р» ({х|Р}).

В теории множеств парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Сущность же парадокса в том, что при образовании множества всех порядковых чисел образуется новый порядковый тип, которого ещё не было среди «всех» трансфинитных порядковых чисел, существовавших до образования множества всех порядковых чисел. Этот парадокс был обнаружен самим Кантором, независимо открыт и опубликован итальянским математиком Бурали-Форти, ошибки же последнего были исправлены Расселом, после чего формулировка приобрела окончательный вид.

Парадокс Банаха (1926 г.). Стефан Банах (1892 – 1945) – выдающийся польский математик, профессор Университета Яна Казимира, декан физико-математического факультета Львовского университета.

Альфред Тарский (1901 – 1983) – выдающийся польско-американский математик, логик, основатель формальной теории истинности.

Теорема в теории множеств, утверждающая, что трехмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Парадокс был открыт в 1926 году Стефаном Банахом и Альфредом Тарским. Очень похож на более ранний парадокс Хаусдорфа, и его доказательство основано на той же идее. Хаусдорф показал, что подобное сделать нельзя на двумерной сфере, и, следовательно, в трёхмерном пространстве, и парадокс Банаха – Тарского даёт этому наглядную иллюстрацию.

Ввиду того, что вывод этой теоремы может показаться неправдоподобным, она иногда используется как довод против принятия аксиомы выбора, которая существенно используется при построении такого разбиения. Принятие подходящей альтернативной аксиомы позволяет доказать невозможность указанного разбиения, не оставляя места для этого парадокса. Тем не менее, некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число частей и составить из них квадрат равной площади. Но, к сожалению, во многих случаях он на практике или вовсе неприменим, или чрезвычайно затрудняет спор и ослабляет впечатление.

В определённых моментах этот парадокс используется для опровержения аксиомы выбора, однако проблема в том, что то, что мы считаем элементарной геометрией, — несущественно. Те понятия, которые мы считаем интуитивными, должны быть расширены до уровня свойств трансцендентных функций .

Все вышеуказанные парадоксы с логической точки зрения идентичны «Лжецу» либо «Брадобрею»: высказываемое суждение обращено не только на нечто объективное по отношению к нему, но и само на себя. Однако следует обращать внимание не только на логическую сторону, но и на понятие бесконечности, которое тут наличествует. В литературе ссылаются на работу Пуанкаре, в которой он пишет: «вера в существование актуальной бесконечности… делает необходимым эти непредикативные определения».
В целом же имеют место основные моменты:

• в данных парадоксах нарушается правило чётко разделять «сферы» предиката и субъекта; степень смешения близка к подмене одного понятия другим;
• обычно в логике предполагается, что в процессе рассуждения субъект и предикат сохраняют свой объём и содержание, в данном же случае происходит
  переход из одной категории в другую, что даёт в результате несоответствие;
• наличие слова «все» имеет смысл для конечного числа элементов, в случае же бесконечного их количества возможно наличие такого, которое
  для определения себя потребует определение множества;
• нарушаются основные логические законы:
• закон тождества нарушается тогда, когда обнаруживается нетождественность себе субъекта и предиката;
• закон противоречия – когда с одинаковым правом выводятся два противоречащих друг другу суждения;
• закон исключённого третьего – когда это третье приходится признавать, а не исключать, поскольку ни первое, ни второе не могут быть признаны одно без другого, т.к. они оказываются одинаково правомерными.

2.4. Разрешение парадоксов.

Создание теории множеств породило то, что считают третьим кризисом математики, который до сих пор не был разрешён удовлетворительно для всех.
Исторически сложилось, что первым подходом был теоретико-множественный. Он основывался на использовании актуальной бесконечности, когда считалось, что любая бесконечная последовательность является завершённой в бесконечности. Идея заключалась в том, что в теории множеств часто приходилось оперировать множествами, которые могли являться части других, более обширных множеств. Успешные действия в таком случае были возможны лишь в одном случае: данные множества (конечные и бесконечные) завершены. Определённый успех был очевиден: аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля, целая школа математики Николя Бурбаки, которая существует уже больше половины столетия и до сих пор вызывает множество критики.

Логицизм был попыткой свести всю известную математику к терминам арифметики, а потом термины арифметики свести к понятиям математической логики. Вплотную этим занялся Фреге, однако после окончания работы над трудом, он вынужден был указать о своей несостоятельности, после того, как Рассел указал на имеющиеся в теории противоречия. Тот же Рассел, как уже был упомянуто ранее, попытался исключить использование импредикативных определений с помощью «теории типов». Однако его понятия множества и бесконечности, а так же аксиома сводимости оказались нелогичными. Основной проблемой было то, что не учитывались качественные различия между формальной и математической логикой, а так же наличие лишних понятий, в том числе и интуитивного характера.

В итоге теория логицизма не смогла устранить диалектических противоречий парадоксов, связанных с бесконечностью. Имели место лишь принципы и методы, которые позволяли избавиться хотя бы от непредикативных определений. В своих же рассуждениях Рассел был наследником Кантора.

В конце XIX – начале XX в. распространение формалистической точки зрения на математику было связано с развитием аксиоматического метода и той программой обоснования математики, которую выдвинул Д. Гильберт. Фактически Гильберт поставил вопрос о соотношении теории и объективной реальности.

Более или менее полное представление о финитных методах дает ученик Гильберта Ж. Эрбран. Под финитными рассуждениями он понимает такие рассуждения, которые удовлетворяют следующим условиям: логические парадоксы:

• всегда рассматривается лишь конечное и определенное число предметов и функций;
• функции имеют точное определение, и это определение позволяет нам вычислить их значение;
• никогда не утверждается «Этот объект существует», если не известен способ его построения;
• никогда не рассматривается множество всех предметов X какой-либо бесконечной совокупности;
• если известно, что какое-либо рассуждение или теорема верны для всех этих X, то это означает, что это общее рассуждение можно повторить для каждого конкретного X, причем само это общее рассуждение следует рассматривать только как образец для проведения таких конкретных рассуждений.

Последним в этой череде попыток объяснить теорию множеств был интуиционизм.
Он прошел ряд этапов в своей эволюции – полуинтуиционизм, собственно интуиционизм, ультраинтуиционизм. На разных этапах математиков волновали разные проблемы, но одной из основных проблем математики является проблема бесконечности. Математические понятия бесконечности, непрерывности служили предметом философского анализа с момента их появления (идеи атомистов, апории Зенона Элейского, инфинитезимальные методы в античности, исчисление бесконечно малых в Новое время и пр.). Наибольшие споры вызывало применение различных видов бесконечности (потенциальной, актуальной) как математических объектов и их интерпретация. Все эти проблемы, на наш взгляд, были порождены более глубокой проблемой – о роли субъекта в научном познании. Дело в том, что состояние кризиса в математике порождено эпистемологической неопределенностью соизмерения мира объекта (бесконечности) и мира субъекта. Математик как субъект имеет возможность выбора средств познания – или потенциальной, или актуальной бесконечности. Применение потенциальной бесконечности как становящейся, дает ему возможность осуществлять, конструировать бесконечное множество построений, которые можно надстраивать над конечными, не имея конечного шага, не завершая построение, оно только возможно. Применение актуальной бесконечности дает ему возможность работать с бесконечностью как с уже осуществимой, завершенной в своем построении, как актуально данной одновременно.

Ультраинтуиционизм (А.Н. Колмогоров, А.А.Марков и др.) – последняя стадия развития интуиционизма, на которой модернизируются, существенно дополняются и преобразуются основные его идеи, не изменяя его сущности, но преодолевая недостатки и усиливая позитивные стороны, руководствуясь критериями математической строгости. Слабостью подхода интуиционистов было узкое понимание роли интуиции как единственного источника обоснования правильности и эффективности математических методов. Принимая «интуитивную ясность» в качестве критерия истинности в математике, интуиционисты методологически обедняли возможности математика как субъекта познания, сводили его деятельность лишь к мыслительным операциям на основе интуиции и не включали практику в процесс математического познания. Ультраинтуиционистская программа обоснования математики является российским приоритетом. Поэтому отечественные математики, преодолевая ограниченность интуиционизма, принимали действенной методологию материалистической диалектики, признающей человеческую практику источником формирования, как математических понятий, так и математических методов (умозаключений, построений). Проблему существования математических объектов ультраинтуиционисты решали, опираясь уже не на неопределяемое субъективное понятие интуиции, а на математическую практику и конкретный механизм построения математического объекта — алгоритм, выражаемый вычислимой, рекурсивной функцией.

Ультраинтуиционизм усиливает достоинства интуиционизма, заключающиеся в возможности упорядочивания и обобщения приемов решения конструктивных проблем, употребляемых математиками любого направления. Поэтому интуиционизм последней стадии (ультраинтуиционизм) близок конструктивизму в математике. В гносеологическом аспекте основные идеи и принципы ультраинтуиционизма таковы: критика классической аксиоматики логики; использование и значительное усиление (по явному указанию А.А. Маркова) роли абстракции отождествления (мысленного отвлечения от несходных свойств предметов и одновременного вычленения общих свойств предметов) как способа построения и конструктивного понимания абстрактных понятий, математических суждений; доказательство непротиворечивости непротиворечивых теорий. В формальном аспекте применение абстракции отождествления оправдывается тремя ее свойствами (аксиомами) равенства – рефлексивности, транзитивности и симметрии.

 Новый вариант соотношения логики и математики в рамках интуиционистских требований к интуитивной ясности суждений, особенно тех, которые включали отрицание, А.Н. Колмогоров предложил следующим образом: интуиционистскую логику, тесно связанную с интуиционистской математикой, он представил в форме аксиоматического импликативного минимального исчисления высказываний и предикатов. Тем самым ученый представил новую модель математического знания, преодолевающую ограниченность интуиционизма в признании лишь интуиции как средства познания и ограниченность логицизма, абсолютизирующего возможности логики в математике. Эта позиция позволила в математической форме продемонстрировать синтез интуитивного и логического как основы гибкой рациональности и ее конструктивной эффективности.

2.5. Применение парадоксов для повышения качества обучения.

Чтобы показать и подтвердить значимость парадоксов в жизни, мы провели исследовательскую работу в сфере учебной деятельности (приложение). Данная работа была направлена:

• на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее;
• на развитие логического мышления;
• на формирование математической грамотности учащихся.

Исследование проводилось среди учащихся восьмого и девятых классов.

В 9 «А» классе был проведен урок с использованием постановки и последующим разрешением проблемной ситуаций по теме «Угловой коэффициент прямой», а в 9 «Б» форма урока была традиционной. Затем по этой теме была проведена самостоятельная работа. По итогам самостоятельных работ средние баллы в каждом из классов разошлись.

Так, средний балл в 9 «А» классе составил – 3,05 , в 9 «Б» – 2,6. Все учащиеся 9 «А» класса приступили к заданию по составлению уравнения прямой с помощью углового коэффициента, тогда как в 9 «Б» классе 5 учащихся (25 %) даже не приступали к выполнению задачи на применение углового коэффициента.  

Такая же работа была проведена в 8 «В» и 9 «В» классах, где в первом из них был проведен урок с использованием постановки проблемной задаче, приводящей к противоречию по теме «Свойства квадратного корня», а затем проведена самостоятельная работа в каждом классе. В 8 «В» классе средний балл был равен – 3,16, а в 9 «В» классе – 2,6. Среди учащихся 8 «В» класса только 6 чел. (24 %), которые вообще не приступали к выполнению заданий по пройденной теме урока, тогда как в 9 «В» классе таких оказалось 8 чел. (44,44 %).

Все полученные данные мы оформили в виде диаграмм (приложение), которые наглядно показали нам различия по уровню усвоения темы самостоятельной.

Таким образом, проанализировав полученные результаты, мы сделали вывод, что ученики, разобравшие варианты возможных ошибок, научились находить и устранять их. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме.

В математике имеется множество парадоксов, которые способны опровергнуть основные понятия теории множеств. Эти парадоксы затрагивают многие понятия и приводят неподдельные доказательства своим теориям. Парадоксы теории множеств поспособствовали развитию математики, открыли возможные пути изучения новых знаний.

Заключение.

Теория множеств является основой практически всех математических знаний. А следовательно, исследования в данной области затронут многие понятия других областей математики.

Обладая достаточно простым языком основных понятий, элементы данной теории широко используются в повседневной жизни человека.

Несмотря на все это, данная теория требует дальнейшей разработки для устранения существенных противоречий. Это и должно стать определяющим направлением в развитии теории множеств.

Теория множеств – одна из тех тем математики, которая охватывает не только математические понятия, но и широкий круг общественных отношений. Поэтому изучение данной теории необходимо не только для будущих студентов математических факультетов, но и для широкого круга лиц, желающих развить свой аппарат логического мышления.  

Приступив писать заключение, я вспомнила о парадоксе описания чистого листа. Это описание бесконечно, как песенка «У попа была собака, он ее любил…». Так же бесконечно хочется писать о парадоксе. И видимо, знание о парадоксе будет постоянно меняться, и никто никогда не скажет: «Я знаю о парадоксе все». И от этого наша тема становится еще более притягательной. Мы рассмотрели наиболее интересные парадоксы, еще больше их не рассмотрели. В разные эпохи ученые искали выходы из парадоксов, предложенных великими математиками. Со стороны величайших математиков и философов апории подвергались разнообразной критике. Благодаря парадоксам Зенона, Демокрит из Абдеры впервые высказал идею о том, что отношение малых отрезков пути к соответствующим малым промежуткам времени остается конечным и определяет скорость движения. Как далека тогда еще было математика от дифференциального исчисления, но идея-то уже витала в воздухе. А Диоген пошел для опровержения другим путем, вернее он просто пошел, обратился непосредственно к опыту, встал и ни слова не говоря, стал ходить возле своей бочки, в которой он проводил ночь. Вот как описывает этот случай А.С. Пушкин:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не смог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый… А вот здесь, по легенде, Пушкин ошибается, Диогена в этом случае побили, за подмену тезиса в споре. И мы не будем больше уходить от темы и вернемся к поставленной перед собой цели. В своей работе мы доказали, что парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показали практическое применение парадоксов и их актуальность и в наше время. Парадокс это пара утверждений, которые в равной степени приемлемы, но которые в тоже время противоречат друг другу, т.е. не могут быть приняты вместе. То есть его-то мнимой проблемой назвать нельзя. Исключения составляют псевдопарадоксы, они чаще всего разрешимы. Классифицировать основные известные парадоксы трудно, даже невозможно, однако это не делает их менее привлекательными. Мы показать, что древнейшие парадоксы нашли свое если не решение, то отражение в современной науке. И вообще, парадоксальность – характерная черта современного научного познания.

Список литературы:

1. Гусев В.А. Мордкович А.Г. Математика. Справочник. М.: Просвещение, 1990.
2. Дмитриева М.В., Павлова М.В. Элементы теории множеств. Система: ее структура и состояние//Журнал ЦПО. Дистанционное обучение, №2, 2004.
3. Элементы теории множеств: Учебно-методическоепособие/Сост.: Кулагина Т.В., Тихонова Н. Б. Пенза: ПГУ, 2014..
4. Ивлев Ю.В. Логика. М.: Проспект, 2006.
5. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ./под ред.и с предисл. В.И.Аршинова, А.Ю. Сачкова. М.:-Мир,1988.
6. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Наука, 1970.
7. Микиша А.М. Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов. М.:Рус.яз.,1989.
8. Тихомирова А.Ф.Развитие интеллектуальных способностей школьника. Ярославль: Академия развития, 1997.
9. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. М.: Наука, 1965.
10. https://habr.com/ru/post/197578/
11. https://www.wikiwand.com/ru/Кантор,_Георг
12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Тарский,_Альфред
13. https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Бурали-Форти
14. https://forany.xyz/a-344?pg=11
15. https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Банаха_—_Тарского
16. https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Бурали-Форти
17. https://ru.wikipedia.org/wiki/Конечное_множество
18. https://ru.wikipedia.org/wiki/Бесконечное_множество
19. https://ru.wikipedia.org/wiki/Пустое_множество
20. https://nauka.club/matematika/algebra/mnozhestvo.html
21. https://math-helper.ru/elementarnaya-matematika/matematika-dlya-postup/primeryi-mnozhestv-elementyi-mnozhestva-pustoe-mnozhestvo

Приложение 1.

Анализ  самостоятельной работы по геометрии

по теме «Угловой коэффициент прямой» в 9А классе  МБОУ школа № 17

Всего в классе 30  чел: 100   %

Выполняли  работу: 21 чел / 70,0 %

Выполнили: на «5» 1 чел  /  4,76 %

                       на «4» 5  чел / 23,81%

                       на «3» 9 чел / 42,86%

                       на  «2» 6 чел / 28,57 %

Результаты оценки индивидуальных достижений учащихся:

Допустили ошибки:

1. Выполнена неверная подстановка координат: 2 чел.
2. Уравнение прямой: 7 чел.
3. Отсутствует решение: 7 чел.
4. Вычислительные: 7 чел.
5. Оформление решения не соответствует требованиям: 3 чел.
6. Не выполнена смена знака при подстановке координат точек: 3 чел.
7. Перенос слагаемых при решении уравнения: 2 чел.
8. Неверно использовано условие параллельности прямых: 1 чел.
9. Невнимательность: 1 чел.

Приложение 2.

Анализ  самостоятельной работы по геометрии

по теме «Угловой коэффициент» в 9Б классе МБОУ школа № 17

Всего в классе 27  чел: 100   %

Выполняли  работу: 20 чел / 83,33 %

Выполнили: на «5» 0 чел  /  0 %

                       на «4» 1  чел / 5,0 %

                       на «3» 10 чел / 50,0 %

                       на  «2» 9 чел / 45,0 %

Результаты оценки индивидуальных достижений учащихся:

Допустили ошибки:

1. Выполнена неверная подстановка координат: 4 чел.
2. Уравнение прямой: 14 чел.
3. Применение формул сокращенного умножения: 2 чел.
4. Отсутствует решение: 5 чел.
5. Вычислительные: 2 чел.
6. Оформление не соответствует требованиям: 8 чел.
7. Перенос слагаемых при решении уравнения: 1 чел.
8. Смена знаков при подстановки координат в формулы: 7 чел.
9. Невнимательность: 1 чел.

Приложение 3.

Анализ самостоятельной работы по алгебре по теме «Квадратные корни»

в 8В классе МБОУ школа № 17

Всего в классе 28  чел: 100   %

Выполняли  работу: 25 чел: 89,29 %

Выполнили: на «5» 4 чел  /  16 %

                       на «4» 4 чел /  16 %

                       на «3» 9 чел / 36 %

                       на  «2» 8 чел / 32 %

Результаты оценки индивидуальных достижений учащихся:

Допустили ошибки:

1. Отсутствие решения: 7 чел.
2. Не соблюдение оформления: 2 чел.
3. Вычислительные: 4 чел.
4. Описка: 4 чел.
5. Внесение множителя под знак корня: 7 чел.
6. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения: 8 чел.
7. Применение свойства степени и корня: 2 чел.
8. Вынесение множителя за знак корня: 5 чел.
9. Применение формул сокращенного умножения для раскрытия скобок: 6 чел.
10. Вынесение множителя за скобки: 5 чел.

Приложение 4.

Анализ самостоятельной работы по алгебре по теме «Квадратные корни»

в 9В классе МБОУ школа № 17

Всего в классе: 21  чел: 100   %

Выполняли  работу: 18 чел/ 85,71 %

Выполнили: на «5» 1 чел  /  5,56 %

                       на «4» 1 чел /  5,56 %

                       на «3» 5 чел / 27,78 %

                       на  «2» 11 чел / 61,11%

Результаты оценки индивидуальных достижений учащихся по алгебре:

Допустили ошибки:

1. Отсутствие решения: 6 чел.
2. Не соблюдение оформления: 5 чел.
3. Вычислительные: 4 чел.
4. Описка: 2 чел.
5. Внесение множителя под знак корня: 3 чел.
6. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения: 3 чел.
7. Применение свойства степени и корня: 5 чел.
8. Вынесение множителя за знак корня: 3 чел.
9. Применение формул сокращенного умножения для раскрытия скобок: 10 чел.
10. Вынесение множителя за скобки: 6 чел.
11. Умножение иррациональных чисел: 2 чел.
12. Неверно выполнено сокращение дробей: 1 чел.
13. Упрощение выполнено не полностью: 5 чел.

Приложение 5.

Качество выполнения заданий самостоятельных работ

Уровень обученности учащихся

Средний балл выполнения заданий самостоятельных работ