Доклад на тему "Инвариант"

Государственное автономное общеобразовательное учреждение «Аграрный лицей-интернат Республики Тыва»

Секция Математика

Научно-исследовательская работа на тему:

«Инварианты»

Выполнил:

Ондар Менги-ученик 8 «в» класса

Руководитель:

Карыма Любовь Сорадаковна

 учитель математики

Сукпак 2019 г.

Оглавление:

Оглавление

1. Введение…………………………………………………………………….3
2. Основная часть

1. Исторические сведения и понятие инварианта..……….…………….4
2. Использование инварианта при решении нестандартных задач…. .6
3. Инвариант и периодические свойства многозначных чисел  ………11

3. Заключение………………………………………………………………....14
4. Список использованной литературы……………………………………...15

Введение.

        Недавно, решая задачи дистанционной олимпиады столкнулся с задачами, где требуется, используя условие задачи определить инварианты. Тогда я решил изучить понятие «инвариант» и изучить использование инварианта при решении олимпиадных задач. При изучении данной темы узнал, что при решении некоторых математических задач применяется совокупность  преобразований искомого объекта и требуется,  используя данные  преобразования, получить из одного состояния объекта другое. С помощью  перебора вариантов во многих случаях можно убедиться в правомерности ответа “нельзя”, но доказать правильность  полученного  результата будет сложным. Таким  математическим методом решения таких задач считается метод инвариантов. Меня это очень заинтересовало, ведь инвариантные задачи встречаются в различных олимпиадах и, что особенно важно, в заданиях ЕГЭ «инвариант» один из возможных способов решения сложных задач.

        Цель исследования: Изучение применение инвариантов при решении нестандартных задач1,  логических и олимпиадных задач.

Объект исследования: понятие «инвариант» и его свойства.

Предмет исследования: многозначные числа, нестандартные задачи.

Научно-практическая значимость исследования в том, что оно может развивать умение решать олимпиадные задачи с использованием инварианта, классификацию нестандартных задач по применимости инварианта, продолжить составление рекомендаций – подсказок для учащихся по решению задач на инварианты.

Методы  работы над темой: изучение статей по данной теме, анализ решений различных задач, самостоятельное решение задач, классификация задач; экспериментальное исследование многозначных чисел на инвариант, наблюдение, описание, обобщение.

2.1 Исторические сведения и понятие инварианта.

        Теория инвариантов за более чем 150- летнюю историю своего развития прошла множество этапов. Она была создана трудами, главным образом, английских математиков Кэли и Сильвестра; из математиков континента ею занимались Аронгольд, Клебш, Эрмит и др. Символические обозначения инвариантов введены Клебшем.  

        Первоначально теория инвариантов имела приложение только при исследовании свойств чисел, но по мере своего развития эта теория получила большое значение в новейшей геометрии. В течение 2-й половины 19 века теория инвариантов была одной из наиболее разрабатываемых математических теорий. Гильберт завершил эту эпоху и одновременно дал толчок к развитию современного понимания того, что является предметом (алгебраической) теории инвариантов в наиболее общей постановке этого вопроса. Вследствие частого приложения к различным математическим исследованиям, учение об инвариантах получило большое развитие и в настоящее время составляет самостоятельную отрасль математики. Инварианты вводят при помощи отношения эквивалентности, разбивающего совокупность объектов на классы, или при помощи некоторой группы преобразований.

        Концепция инварианта является одной из важнейших в математике, поскольку изучение инварианта непосредственно связано с олимпиадными задачами.

Понятие инвариант употреблялось ещё немецким математиком Отто Гессе (1811-1874) еще в 1844 году,

но систематическое развитие теория инвариантов получила у английского математика Джеймса  Сильвестра(1814-1897). Каждый, кто сталкивается с математикой, может вспомнить, что такое матрица, дискриминант,  инвариант. Но, наверное, мало кто знает, что эти и другие понятия, давно ставшие общепринятыми, ввёл в науку Джеймс Джозеф Сильвестр.

 Давид Гильберт (23 января 1862 – 14 февраля 1943) – немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910 – 1920-е годы, после смерти Анри Пуанкаре,  был признанным мировым лидером математиков. В 1885 году Гильберт защитил диссертацию по теории инвариантов

        Инвариант - это некоторая характеристика объекта, которая остается неизменной в результате какого-либо процесса. Инвариант (от латинского invarians, в родительном падеже invariantis) – «неизменяющийся». Термин был введён английским математиком Джеймсом Джозефом Сильвестром в 1851 году. 

        "Концепция инварианта является одной из важнейших в математике, поскольку изучение инварианта непосредственно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. По существу, целью всякой математической классификации является построение некоторой полной системы инвариантов (по возможности, наиболее простой), то есть такой системы, которая разделяет любые два неэквивалентных объекта из рассматриваемой совокупности" (В.Л.Попов Инвариант // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 526.)

2.2        Использование инварианта при решении нестандартных задач

        Найти инвариант в сложной задаче непросто, однако это очень мощный, а часто и наиболее быстрый способ получить решение.

В ряде задач встречается следующая ситуация. Некоторая система последовательно изменяет своё состояние, и требуется выяснить нечто о её конечном состоянии. Полностью проследить за всеми переходами может оказаться делом сложным, но иногда ответить на требуемый вопрос помогает вычисление некоторой величины, характеризующей состояние системы и сохраняющейся при всех переходах - инварианта. Ясно, что тогда в конечном состоянии значение инварианта будет то же самое, что и в начальном, т.е. система не может оказаться в состоянии с другим значением инварианта. На практике этот метод сводится к тому, что некоторая величина вычисляется двумя способами: сначала она просто вычисляется в начальном и конечном состояниях, а затем прослеживается её изменение при последовательных мелких переходах.

Рассмотрим следующую задачу:

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка. Одним ходом разрешается любые две фишки передвинуть в соседние секторы, причем так, чтобы одна фишка двигалась по часовой стрелке, а другая против. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

Решение:

Пронумеруем сектора. Проследим за ходом четности фишек находящихся в нечетных номерах.

Первоначально-  3(нечетное). После первого хода: фишка из 1-го в 6-й и из второго  в третий. Количество фишек в нечетных номерах: -1+1=0 не меняется равен – 3. После второго: +1+1=2 (Из 6-го в 5-й и из 4-го в 5-й) Количество фишек в нечетных номерах – 5. Четность количество фишек на нечетных номерах не меняется при добавлении 0 , +2, -2. Значит это инвариант и он помогает решить данную задачу т.е ответ: нельзя т.к. если они соберутся в одном секторе то четность количества фишек на нечетных номерах будет равен 0 или 6-четное.

Всегда ли можно использовать данный инвариант, если количество секторов 12, 2018 и т.д.

Рассмотрим более общий случай данной задачи: Круг разделён на n секторов, в каждом из которых стоит фишка. Одним ходом разрешается любые две фишки передвинуть в соседние секторы, причем так, чтобы одна фишка двигалась по часовой стрелке, а другая против. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

Пусть n=2m, тогда при каждом перемещении число фишек в нечетных секторах либо не меняется либо увеличивается на 2 или уменьшается на 2. Чётность количества фишек в нечётных номерах не меняется. В предыдущем примере m=2k+1 тогда нельзя собрать все фишки в одном секторе и при решении можно использовать инвариант-четность количества фишек на нечетных номерах.

Рассмотрим случай m=2k или n=4k (4,8,16…) Тогда первоначальное количество в нечётных секторах – чётное, а в конце, когда они если соберутся вместе тоже чётное. Инвариант чётность количества фишек в

нечётных номерах не даёт возможности определить условие «собраться в одном секторе». (В этом можно убедиться при n=4)

Рассмотрим следующую функцию q=1+2+…+n.

Является ли функция q инвариантом?

При 1 ходе меняется 4 слагаемых суммы:

=

Значит q инвариант?

Мы забыли что n-й сектор граничит с первым. Подсчёт, аналогичный только что сделанному ,показывает q либо уменьшается на n или увеличивается на n. Значит остаток от деления q на n инвариант.

Значение q в начальной позиции:

При n=2m,

В конечной позиции, когда все фишки собраны вместе на i-ом секторе

х1=х2+х3=…=хn=0, а хi=n, тогда функция q=n·i остаток от деления на n равен 0 и переход из первоначальной позиции в конечную невозможен.

При n=2m+1, , а остаток от деления на n равен 0, значит можно собрать все фишки вместе, хотя и в этом случае инвариант остаток от деления функции q на n полностью не отвечает на вопрос.

Наиболее простым и часто встречающимся инвариантом является четность числа; инвариантом может быть также и остаток от деления не только на 2, но и на какое-нибудь другое число, а также сумма или произведение каких-нибудь чисел.. Для построения инвариантов иногда бывают полезны вспомогательные раскраски, т.е. разбиения рассматриваемых объектов на несколько групп (каждая группа состоит из объектов одного цвета).

1. Задачи на четность.

К задачам на четность относятся:

• задачи на чередование;
• задачи на разбиение на пары;
• задачи на четность и нечетность.

Задачи на чередование.

Свойства чередования:

1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).

2. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов:

• начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов,

• начало и конец одного вида, то нечетное число.

3. Обратно: По четности длины чередующейся цепочки можно узнать, одного или разных видов её начало и конец.

Задача 1: На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?

Решение: Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой

стрелки. Третья – снова по часовой, четвертая – против и т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «четные» – против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие.

Задача 2. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки а1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

Решение: Нет, нельзя. Чтобы обойти все клетки шахматной доски, надо сделать 63 хода. После каждого нечетного хода конь находится в белой клетке, после каждого четного — в черной. Значит на 63-м ходу конь обязательно придет в белую клетку. Но клетка h8 — черная, следовательно, после последнего хода в этой клетке конь оказаться не может.

Задача 3. Шахматный король обошёл всю доску 8×8, побывав на каждой клетке по одному разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку.

Докажите, что он сделал чётное число диагональных ходов.

Решение: При каждом недиагональном ходе меняется цвет поля, на котором стоит король; при диагональном – не меняется. Поскольку король обошёл всю доску и вернулся обратно, то цвет поля менялся с белого на чёрный столько же раз, сколько с чёрного на белый, значит, недиагональных ходов король сделал чётное число. Число диагональных ходов равно 64 минус число недиагональных ходов – тоже чётное число.

Задачи на свойства четности сумм и произведения.

Свойства четности и нечетности чисел:

ЧЕТНОЕ+ЧЕТНОЕ=ЧЕТНОЕ

ЧЕТНОЕ+НЕЧЕТНОЕ=НЕЧЕТНОЕ

НЕЧЕТНОЕ+НЕЧЕТНОЕ=ЧЕТНОЕ

Утверждение 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Утверждение 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Задача 1. По кругу расставлено 101 натуральное число. Доказать, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.

Решение: Предположим, что среди всех 101 чисел есть хотя бы одно нечётное. Рассмотрим два случая.

  1) Сумма всех чисел чётна. Тогдае все 101 чисел нечётными быть не могут. Поэтому найдутся чётное и нечётное числа, стоящие рядом. Выкинем их. Сумма оставшихся чисел нечётна, следовательно, их нельзя разбить на две группы с равной суммой.

  2) Сумма всех чисел нечётна. Если нечётных чисел больше половины, то найдутся два нечётных числа, стоящие рядом. Если же нечётных чисел меньше половины, то аналогично найдутся два соседних чётных числа. Выкинем два соседних нечётных или чётных числа, тогда у оставшихся чисел сумма нечётна и их нельзя разбить на искомые группы.

  Пусть все числа чётные. Будем делить их на два, пока хотя бы одно из чисел не станет нечётным. В результате каждое из чисел разделится на некоторое число N. Из получившегося набора выкинем два соседних числа так, чтобы оставшиеся числа нельзя было разбить на две группы с равной суммой. После умножения этих чисел на N их также нельзя будет разбить на две группы с равной суммой.

Задача 2. . По кругу написано 50 натуральных чисел, причём соседние два числа отличаются на 1. Может ли сумма всех чисел равняться 1234?

Решение: Разбиваем числа на пары (четные и нечетные т.к. отличаются на 1) сумма пар нечетное так как  получится 25 пар нечетных чисел. Значит сумма не может равняться 1234.

Задача 3. Подпольный миллионер Тарас Артёмов пришёл в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100-рублёвых купюр старого образца. Ему была выдана 1991 купюра более мелкого достоинства, причём среди них не было 10-рублёвых. Докажите, что его обсчитали.

Решение: Исходная сумма денег (сумма какого-то числа 50-рублёвых и 100-рублёвых купюр) чётна, а полученная сумма (сумма 1991 купюры по 1, 3, 5 или 25 рублей) нечётна. 

2.2        Инвариант и периодические свойства многозначных чисел

 Свойство многозначных чисел иметь цифровой корень или, по-другому -

инвариант, известно с древних времен. В частности, это свойство чисел

используется в практической магии чисел и по сей день для, якобы, определения характера, судьбы и пр. человека. Суть этого свойства многозначных чисел сводится к следующему:

- если складывать в произвольном порядке цифры целого многозначного числа друг с другом до получения в итоге однозначного числа, то результат сложения всегда будет один и тот же, т.е. - конечный результат сложения всех цифр этого числа и будет называться инвариантом;

- количество инвариантов для всех многозначных произвольных чисел равно девяти.

Пример:

1. 5871036 → 58+7+10+36=111→1+11=12 →1+2=3,

 5871036 → 5+871+0 +3+6=885 → 88+5=93 → 9+3=12 → 1+2=3, т.е.

цифра 3 есть инвариант числа 5871036.

2. 39016395 → 39+0+16+395=450 → 4+50=54 → 5+4=9,

 39016395 → 3+90+1+63+9+5=171 → 17+1=18→1+8=9 и здесь цифра 9 -

инвариант числа 39016395.

        Для множества целых чисел натурального ряда инвариантами являются девять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Легко также заметить, что добавление (сложение) цифры 0 и 9 не изменяют значения инварианта. Поэтому, при подсчете инварианта произвольного числа указанные цифры отбрасывают.

Обобщая свойства числа 9 можно сказать, что сложение и вычитание любого

произвольного многозначного числа с числом 9 не изменяют его (многозначного числа) инвариант.

Более того, число 9 является периодом для инварианта целого числа в десятичной системе счисления. Оказалось, при делении многозначных чисел на число 9 и кратные ему числа в остатке всегда получается инвариант данного многозначного числа. Это значит, что любое многозначное число N можно записать в виде суммы: N = а + 9 • n, где а—числовой инвариант, n— целое число, получившееся при делении N на 9. С помощью этой формулы  получили несколько числовых рядов, которые в совокупности образуют натуральный ряд чисел.

1+9n                1,10,19, 28,...

2+9n                2,11,20,29, ...

3+9n                3,12,21,30, ...

4 +9n               4,13, 22,31,-...

5 +9n               5,14,23,32, ...

6 +9n               6,15,24,33, . . .

7 +9n               7,16,25,34, .. .

8+ 9n               8,17, 26,35, .. .

9+9n                9,18,27,36,…

Очевидным следствием периодичности инварианта числа является утверждение, что: любое число делится на число 9 без остатка, если перед делением из делимого вычесть инвариант этого числа. Так как натуральный ряд чисел бесконечен, то очевидно, что в  каждом ряду есть сколь угодно   большие    числа  N , сумма   значащих   цифр   которых всегда дает числовой инвариант а, являющийся первым членом соответствующего ряда. Таким образом, подмеченная закономерность, в свою очередь, является отражением более общих свойств самих чисел.

Примерами применения свойства многозначных чисел является следующая задача:

Каждое натуральное число от 1 до 50000 заменяют числом равным сумме его цифр. С получившимися цифрами проделывают ту же операцию, и так поступают до тех пор, пока все числа не станут однозначными. Сколько раз среди этих однозначных чисел встретится каждое из целых чисел от 0 до 8?

Решение.

В данной задаче требуется найти сколько членов групп 1+9n, 2+9n, 3+9n, 4+9n, 5+9n, 6+9n, 7+9n, 8+9n, 9+9n находится от 1 до 50000. В самом деле, при замене натурального числа суммой его цифр остаток от деления числа на 9 остается неизменным, поэтому при переходе от каждого натурального числа к следующему остаток от деления числа на 9 увеличивается на 1 или перескакивает от 8 к 0. Для того чтобы узнать, сколько таких групп цифр по 9 цифр в каждой, разделим 50000 на 9 с остатком : 50000 = 9 5555 + 5.

Следовательно, таких групп 5555 . Еще одну, неполную группу образуют последние 5 цифр : 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ : 1, 2, 3, 4, 5 – по 5556 раз , 6, 7, 8, 0 – 5555 раз .

Заключение.

Принцип применения инварианта часто остается непонятным и тяжелым, но интересным. Поэтому нужно обратить особое внимание на усвоение самой логики применения инварианта. Рассмотренные в ходе исследования задачи дают общие подходы при решении некоторых логических, нестандартных задач, научит ориентироваться в различных ситуациях при решении задач, нестандартно мыслить.

Изученные свойства по выявлению инварианта в многозначных числах показал, что даже в знакомом и привычном скрыто неизведанное, которое можно исследовать и изучать.

Работа над темой исследования помог понять, увлекает ли нас поиск ответов на необычные математические вопросы,  определиться с выбором профиля обучения и сформулировать на перспективу некоторые  направления для углубления и расширения темы научно – исследовательской работы.

В данном исследовании я понял:

1. Инвариант упорядочивает объекты и их системы, не позволяя им перейти к хаосу
2. Инвариант достаточно гибкий, чтобы обеспечивать объектам и их системам разнообразие.

Литература:

1. Попов В.Л. Инвариант // Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1979. - Т. 2. - С. 526.
2. Л.Э.Медников Четность –М. Издательство МЦНМО, 2009
3. А.В.Баяндин К распределению простых чисел на множестве натуральных целых чисел «Наука» Новосибирск, 1999 г.
4. И.В.Григорьева , Л.Н.Коваль Внеклассная работа «Инвариант», Кострома, 2017 г.
5. . https://foxford.ru/o
6. https://sochisirius.ru/obuchenie/
7. http://www.problems.ru