СРАВНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

СРАВНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

 Автор: Кусов Анатолий Юрьевич, студент 4 курса ГБПОУ МО «Серпуховский колледж» г. Серпухов Московской области.

Научный руководитель: Соколова Марина Анатольевна, преподаватель специальных дисциплин.

Аннотация.

 В данной статье рассматривается сравнение методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, с применением электронных таблиц Microsoft Excel.

Annotation.

This article shows methods for solving algebraic and transcendental equation comparison using Microsoft Excel spreadsheets. Ключевые слова: трансцендентные, алгебраические, уравнения, электронная таблица Keywords: transcendental, algebraic, equations, spreadsheet

Актуальность

 В результате решения практических задач составляются и решаются разные уравнения. Большинство нелинейных уравнений с одной переменной не могут решиться с помощью точных методов или путем аналитических преобразований, на практике их решают только численными методами.

Задача нахождения корней уравнения считается решенной, если они вычислены с заданной степенью точности. Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов отделения и уточнения корней.

В своей работе я буду проводить сравнительный анализ методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, с применением электронных таблиц Microsoft Excel.

 Объект исследования: трансцендентные и алгебраические уравнения;  

Предмет исследования: методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Цель работы: изучить и сравнить методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений с применением электронных таблиц Microsoft Excel.

Задачи работы:

1. Изучить и провести анализ литературы, интернет-ресурсов теоретической и практической основы методов решения трансцендентных и алгебраических уравнений;

2. Исследовать различные методы решения трансцендентных и алгебраических уравнений;

3. Выполнить решение трансцендентного или алгебраического уравнения с применением электронных таблиц Microsoft Excel.

 Введение:

 Трансцендентное уравнение — это уравнение, содержащее трансцендентную функцию; не алгебраическое уравнение.[4]

В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

1. Постановка задачи построение математической модели;

2. Выбор метода и разработка алгоритма;

3. Запись алгоритма;

4. Отладка и использование программы;

5. Анализ полученных результатов.

Общая постановка задачи

Найти действительные корни уравнения f(x) = 0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция. Точные методы решения уравнений подходя только для узкого класса уравнений (квадратные, биквадратные и т. д.).

Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение (локализация) корня;

2. Приближенное вычисление корня до заданной точности (уточнение корней).

Уточнение корня[1] Если искомый корень уравнения f(x) = 0 отделен, т. е. определен отрезок [a, b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение корня с заданной точностью.

Уточнение корня может производить разными методами[1][3]:

1. Графический метод;

2. Метод половинного деления;

3. Метод итераций;

4. Метод хорд (метод секущих);

5. Метод касательных (метод Ньютона);

6. Комбинированный метод.

 Применяя электронные таблицы Microsoft Excel, я решил уравнение перечисленными методами. Пример:

 При расчете воздушного стального провода получили уравнение для определения усиления натяжения при гололеде  .Найти положительный корень(усиления натяжения),применяя электронные таблицы Microsoft Excel.

Результаты:

Исследование методов показало различные способы решения алгебраических и трансцендентных уравнений с помощью графического метода в электронной таблице Microsoft Excel. Следующие методы были изучены:

• Графический метод;

• Метод половинного деления;

• Метод итераций;

• Метод хорд (метод секущих);

• Метод касательных (метод Ньютона);

• Комбинированный метод.

 Вывод:

 Я изучил методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений с помощью электронных таблиц:

• Самый простой метод: метод деления пополам. Метод хорд использует деление на интервалах. [1][2][3]

• В методе Ньютона интервал расположения корня определяется не исходным, а его начальным значением. [1][2][3]

 • Метод хорд и метод Ньютона имеют общие закономерности: точность проверяется на каждом этапе; [1][2][3]

• Я сделал вывод, что электронные таблицы – это очень мощный компьютерный инструмент, позволяющий проводить сложные расчеты.

Список использованных источников:

 1. Lectures on Numerical Analysis /Dennis Deturck, Herbert S. Wilf. — 1-е издание. — Philadelphia: Department of Mathematics University of Pennsylvania, 2002. — 125с.

 2. Numerical analysis [Электронный ресурс] / Wikipedia contributors. — Электрон. текстовые дан. — San Francisco: Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2019. — Режим доступа: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Numerical_analysis&oldid=895278527, свободный. — Online encyclopedia (Дата обращения: 13.05.2019);

3. Numerical methods /John D. Fenton. — 1-е издание. — Vienna: Institute of Hydraulic Engineering and Water Resources Management. Vienna University of Technology, 2019. — 33с.;

 4. Numerical Methods for Physicists [Электронный ресурс] / Anthony O’Hare. — Электрон. текстовые дан. — Belton: MMHB. Department of Computer Science and Engineering, 2005. — Режим доступа: http://mars.umhb.edu/~wgt/engr2311/NMfP.pdf, свободный (Дата обращения: 12.05.2019)