Флексагоны

Флексагоны

Творческий проект

  Авторы:

Розанов Максим

ученики 5д класса

МБОУ «Бутовской СОШ №1»

 Руководитель проекта:

Зайцева Наталья Дмитриевна,

учитель математики

МБОУ «Бутовская СОШ №1»

Содержание

Ведение……………………………………………………………………………..3

1. История открытия флексагона…………………………………………………4

2. Изготовление флексагона………………………………………………………4

        2.1 Тригексафлексагоны……………………………………………………..4

        2.2 Гексагексафлексагоны…………………………………………………...6

3. Путь Таккермана………………………………………………………………..7

4. Флексагоны  как средство математического моделирования………………...8

5.Теоретические и практические наработки изготовления флексагона……….8

6.Заключение………………………………………………………………………11

7.Литература……………………………………………………………………….12

Предмет математики настолько серьезен,

 что нужно не упускать случая делать его

немного занимательным.

Паскаль

Ведение

        Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

      Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы  хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

      В Атлантическом океане есть место, по форме напоминающее геометрическую фигуру. Это место, расположенное между Бермудскими островами, государством Пуэрто- Рико, полуостровом Флорида и называется « бермудским треугольником». А ещё его называют «дьявольский  треугольник», « треугольник проклятых». Загадочность его заключается в том, что в нём бесследно исчезают корабли и самолёты. Природа « бермудского треугольника» остаётся тайной и по сей день. Что таит в себе треугольник?

      Треугольник - « жесткая» фигура. Если заданы три его стороны, то форму его изменить нельзя, не разрушив его. Это свойство широко используется на практике.

    У треугольника есть пространственные  родственники.

1) тетраэдр, 2) октаэдр, 3) икосаэдр. Эти геометрические тела являются родственниками треугольника потому, что  грани этих тел – треугольники.

Родственником треугольника является геометрическая бумажная игрушка,  так как её поверхность состоит из треугольников. Эта игрушка называется флексагон.

Кусочек бумаги, способный увлечь не только  ребенка, но и взрослых. Для некоторых не это не просто игрушка-головоломка, а настоящий первый шаг в мир математики. Яркие линии скрученной бумажки завораживают не хуже детского калейдоскопа с разноцветными стеклышками. Да еще и название такое звучное и загадочное – флексагон. Что же это такое на самом деле? Очень часто тема «головоломок» в школе является сложной и непонятной, но у некоторых учащихся все же вызывает интерес. В творческий процесс по изготовлению игрушек флексагонов включаются родители. На дополнительных занятиях этому вопросу уделяется внимание.

Все вышеперечисленные факторы и обусловили актуальность нашего проекта.

Целью работы является изучить мир флексагонов и  показать, что головоломки бывают не только из дерева и железа - привычных для нас форм, но и из бумаги, которые мы можем сделать своими руками.

В соответствии с поставленной целью решалась  основная задача:

- познакомиться с методикой изготовления флексагонов.

Методы исследования:

- обработка, анализ научных источников;

- анализ научной литературы, учебников и пособий по исследуемой проблеме.

Объект исследования –  флексагоны.

Методика работы -  сбор информации по данной теме, анализ периодической и научной литературы, необходимые расчеты при построении, создание наглядных моделей и конкретизация имеющегося материала

Источниками для данного послужили  материалы, размещенные в сети Интернет, беседы с учителем математики.

Флексагон – это уникальный сплав математики и оригами. Можно сказать, единственное явление в своем роде. Бумажная головоломка, при выворачивании которой мы получаем другую плоскость с иным рисунком, но фактически идентичную предыдущей.

Эту занимательную головоломку создали в результате скуки. А развивали и совершенствовали уже как серьезное увлечение.

Я приглашаю на короткую экскурсию в загадочный мир флексагонов - бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

История открытия флексагона

Флексагон пришел к нам из Англии. Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур X. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник.

Первый флексагон имел три плоскости. Потом появились флексагоны с шестью и более плоскостями, а так же были изобретены тетрафлексагоны. В свое время был создан даже «Флексагоновый комитет», который вполне серьезно занимался изучением и развитием флексагона, как математического явления.

В Россию, точнее тогда еще Советский Союз, флексагон попал при помощи развивающих журналов: «Наука и техника», «Юный механик» и т.д.

Сейчас флексагоны умело используют на уроках и занятиях в  школах и детских садах.

Флексагон можно сделать интересной игрушкой для ребенка, если использовать вместо цифр и геометрических узоров, например, рисунки зверей, птиц, насекомых, игрушек и т.д. Разворачиваешь «бутон», а там кролик, развернул снова – птичка. Или можно сделать поздравительную открытку, где каждое «раскрытие» это сюрприз – поздравление.
Кроме того, флексагон – игрушка-головоломка для разных возрастов. Есть варианты попроще, а есть посложнее. И здорово сближает семью, если посидеть вместе собирать флексагоны, соревнуясь на сложность, яркость и оригинальность идеи.

Как сделать свой первый флексагон?

Изготовление флексагона

Тригексафлексагоны

Понадобятся: лист бумаги, карандаш, линейка и клей для бумаги. Вот и все, что нужно для того, чтобы собрать свой первый флексагон.

Для начала  нужно вырезать длинную полоску. Её расчерчиваем треугольниками, как на схеме а)  

Затем  намечаем линии сгибов, чтобы бумажка легче сгибалась. И сворачиваем эту бумажную полоску.

В итоге  получится шестиугольник с одним торчащим треугольником

 Этот хвостик-треугольник смазываем клеем и приклеиваем.

Получился тот самый первый флексагон, с которого все и начиналось когда-то. Он называется тригексафлексагоном.

Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету.

Гексагексафлексагоны

    Другая модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое “гекса” - шесть –  означает число поверхностей этой модели).

От греческого “гекс”, что означает шесть, to flex (англ.) – складываться, сгибаться, гнуться.

Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента для кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников. В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рис. порядке цифры 1, 2, 3.

Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным.

Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой  пронумеровать цифрами 4, 5, 6. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга — 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка гексагексафлексагона. Перегнув ее по линиям АВ и СD, получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

Если все сделано верно, то во всех треугольниках на видимой стороне шестиугольника должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на обратной стороне — цифра 2. В таком виде флексагон готов к перегибаниям. Взявшись за два смежных треугольника согнем шестиугольник по общей стороне этих треугольников и подогнем противоположный угол флексагона. При этом откроются треугольники с цифрами 3 или 5. Перегибая флексагон наугад,  без труда можно обнаружить и остальные поверхности.

Теперь, если  раскрасить все три поверхности разными цветами, вывернуть этот неровный кружок будет в разы интереснее. И можете узоры какие-нибудь нанести. Или рожицы нарисовать.

Путь Таккермана

Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой либо угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она “открывается”, а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как “путь Таккермана”, позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл за двенадцать перегибаний. Поверхности с цифрами 1,2 и 3 будут появлятся в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4,5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы. Стрелки указывают в каком порядке становятся видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона.

Флексагоны как средство математического моделирования

Флексагоны как средство математического моделирования имеют следующие отличительные черты:

1)  Экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм.

2)  Доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке.

3)  Развитие: флексагоны способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизируют формирование различных представлений.

Теоретические и практические наработки изготовления флексагона

Для изготовления  понадобятся:
Белая плотная бумага или тонкий картон. Эта открытка выполнена из бумаги для визиток. Если у  бумаги есть лицевая и изнаночная сторона - внимательно следите за схемой сгибов и сборки.
Цветная бумага для аппликации.

Способ изготовления открытки:

Нарисуйте на изнаночной стороне листа большой прямоугольник 280 х 140 мм. Разделите его на прямоугольники, но пока не разрезайте. Прочертите линии сгиба и пройдитесь по ним краем ножниц, чтобы сгибы были ровнее.

Теперь вырежьте прямоугольники и согните, как показано на схеме по готовым линиям сгиба. Разверните.

Возьмите два прямоугольника и лицевой стороной положите на стол в плотную друг к другу. Линия соприкосновения - по вертикали.

Наклейте по уголкам получившегося квадрата двухсторонний скотч, размером примерно 30 х 30 мм, можно и меньше.

Приготовьте рядом другой квадрат из сдвоенных прямоугольников. Он должен быть лицевой стороной вверх и линия соединения прямоугольников у него по горизонтали.

Аккуратно по очереди приклеивайте прямоугольники верхнего квадрата к нижнему квадрату.

Покрутите открытку в руках и если где-то заедает - срежьте лишнее. Особо срезкой не увлекайтесь, а то получатся щели в некоторых позициях.

Основа для открытки перевёртыша готова.

Схема изготовления флексагона «Открытка – перевертыш»

Теперь можно заняться аппликацией. Клеим все, что хотим, соблюдая простое условие - на линии сгиба ничего не клеить.
В этой открытке мы использовали пасхальную тему. Курица с петухом - пасхальное яйцо - цыпленок - курица. Наверху размещены только три стороны открытки из четырех.

В одном месте соединения прямоугольников мы сделали декоративный разрез в виде расколотого яйца, но это не обязательно.

Советы по изготовлению флексагонов

Прежде чем приступать к изготовлению флексагона, полезно несколько раз перегнуть в обе стороны его развертку по всем линиям сгиба. Это намного облегчает последующие манипуляции с флексагонами.

Для более долговечных моделей, нужно вырезать треугольники из картона или металла и соединить их липкой лентой или же наклеить на длинную полоску ткани.

Между треугольниками остаются небольшие зазоры, что позволяет легко сгибать флексагоны.

Заключение

     Данная тема вызывала  интерес у всех учащихся  класса и даже некоторых родителей, потому что изготовление  флексагонов  —это  очень интересный и глубоко творческий процесс. Для этого нужно хорошо изучить теоретические и практические наработки по данной теме и  создавать свои. Представленные  материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще не знали.

Литература

Афонькин С. Игры и фокусы с бумагой / С. Афонькин, Е. Афонькина. — М.: Рольф, АКИМ, 1999. — С. 12–67.

Михайлова З.А. Игровые занимательные задачи для дошкольников. — М.: Просвещение, 1990.

Никитин Б.П. Ступеньки творчества или развивающие игры. — М.: Просвещение, 1991.

Оригами и педагогика: Материалы первой Всероссийской конференции преподавателей оригами. — СПб., 1996.

http://book.tr200.net/v.php?id=61285">Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения.

http://models-paper.com/index.php?option=com_kunena&Itemid=11&func=view&catid=30&id=222

http://usamodelkina.ru/soveti/page,6,39-bumaga-vse-sterpit.html

http://frg-64.ucoz.ru/publ/modelirovanie_fleksagony/1-1-0-4