Исследовательская работа по математике "Мир и числа. Разные способы умножения"

Мир и числа. Разные способы умножения

Автор работы: Ашимов Рамазан

Руководитель проекта: Лиджиева И.П.

 Учреждение: 

 МКОУ "Ульяновская СОШ» Яшалтинский район Республика Калмыкия

Класс: 6

Оглавление

Введение
1. Первые ступени вычисления.
1.1. Китайский счёт.
1.2. Японский счёт.
1.3. Русский счёт.
1.5.Таблица умножения на пальцах.
2. Умножение.
2.1.Умножение на 11.
2.2. Умножение на 12.
2.3.Умножение двузначного числа на 101,111.
2.4 Умножение числа на 5,25,125.
2.5. Умножение методом Ферроля.
2.6.Простое умножение чисел близких к 100.
3. Нестандартные способы умножения.
3.1. Русский способ умножения.
3.2. Китайский способ умножения.
3.3.Итальянский способ умножения ("Сеткой").
3.4. Индийский способ умножения.
3.5. Японский способ умножения.
Заключение
Литература
Приложение

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Математика развивает способность к логическому мышлению, что позволяет человеку жить интересно и никогда не скучать. Эта прекрасная наука развивает умение мыслить нестандартно, находить выход из любых ситуаций.

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Такие навыки помогут человеку в учёбе, в быту, в профессиональной деятельности. Проанализировав много информации, мы открыли для себя очень интересные исторические данные о необычных способах быстрого счёта, способов умножения. Приложив немного усилий, мы теперь сможем и сами вести быстрый счёт и поделиться этими познаниями с одноклассниками и со знакомыми.

Актуальность работы: не смотря на то, что наша жизнь в последние годы стала значительно легче благодаря обилию доступных электронных счетных устройств, навык быстрых и удобных вычислений не потерял своей актуальности для человека. Поэтому в своей работе мы хотим показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.

Гипотеза исследования:показать, что применение нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков повышает вычислительную культуру учащихся, усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Цель: изучить приемы быстрого счета, показать на практике и на теории, как интересно и удобно можно делать действия с числами.

Задачи проекта:

• познакомится с историей создания счёта;
• изучить различные способы умножения ;
• научиться умножать числа легко, быстро и удобно;
• донести найденную информацию до наших сверстников;
• составить буклет по выполнению умножения нестандартными способами.

Объектом нашего исследования являются приемы быстрого счета, математическое действие – умножение.

Методы исследования:сбор материала по теме, его анализ и обработка, оформление работы, создание презентации.

Выход проектного продукта: буклет по выполнению умножения нестандартными способами.

Практическая значимость работы: «Гибкость ума может заменить красоту». (Стендаль)

Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала с целью появления заинтересованности к учебному предмету и пробуждения желания к изучению математики у учеников, а также для расширения их кругозора.

Первые ступени вычисления

Пальцевый счёт, счёт на пальцах — математические вычисления, осуществляемые человеком с помощью сгибания, разгибания или указывания пальцев рук (иногда и ног). Пальцы рук считаются самым первым счётным инструментом древнего человека с эпохи верхнего палеолита.

Таким образом, пальцы для того человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшим пособием. Счёт на пальцах широко применялся в древнем мире и в средневековье. Наши предки умели производить при помощи пальцев некоторые действия.

В настоящее время используется ограниченно, арабскими и индийскими торговцами на Среднем Востоке, в европейских странах — в примитивном виде преимущественно детьми или для отображения цифр жестами, ради убедительности в споре по мере перечисления аргументов, а также судьёй в боксе при отсчете секунд во время нокдауна.

Китайский счёт

Китайский метод счёта основан на количестве и символике пальцев. Используя этот метод, на двух руках можно посчитать до 20. Стоит заметить, что в некоторых провинциях жесты могут отличаться.

• 0 — сложенный кулак; 1 — разжатый указательный палец;
• 2 — разжаты и растопырены указательный и средний пальцы;
• 3 — разжаты и растопырены указательный, средний и безымянный пальцы;
• 4 — кроме прижатого к ладони большого пальца, остальные разжаты;
• 5 — открытая ладонь и т.д.

Древнекитайская позиционная десятичная система счёта по двум рукам является наиболее сложной из существующих подобных.

Японский счёт

В Японии счёт начинается с открытой ладони. Поджатый большой палец представляет число 1, мизинец является числом 5. Таким образом, пальцы, сложенные в кулак, указывает на число 5. Затем совершается обратное действие: число 6 обозначается разжатым мизинцем.

Возврат к открытой ладони означает число 10. Например, число 7 отображают указательный и средний палец.

Русский счёт

Русский счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой.

Таблица умножения на пальцах

А). При помощи пальцев можно умножать числа от 6 до 9. Этот способ издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. При умножении руки располагаются естественным образом, ладонями к себе. Пусть нам нужно умножить 7 и 8. На одной руке возьмем столько пальцев, на сколько 7 больше 5, т. е. 2 пальца, а на другой – столько, на сколько другой множитель больше 5, т. е. 3 пальца.

2 пальца на одной руке да 3 пальца на другой руке составят десятки. Получим 5 десятков. К этим трем десяткам прибавим произведение чисел загнутых пальцев. На одной руке 3 загнутых пальца, а на другой – 2. Их произведение – 6. К пяти десяткам прибавляем 6 единиц и получаем число 56, т. е. наш счет только подтвердил, что 7 умноженное на 8 равняется 56.

Б) Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 ... 9·10

- легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится "на пальцах". Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип "вычисления".

Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве "счетной машинки" не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.

Умножение

Математики тоже бывают с богатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всех учат в школе, они придумывают более необычные способы математических вычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то – сложными и неприемлемыми.

Способов умножения и деления много, Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения, причем это ещё не все. А мы просто предлагаем вашему вниманию некоторые из них.

Умножение на 11

А) Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого равна 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

32х11= 3(3+2)2 = 352;

35х11= 3(3+5)5 = 385;

Б) Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

78х11= 7(7+8)8 = 7(15)8 = 858; 94х11= 9(9+4)4 = 9(13)4 =1034;

Умножение на 12

Чтобы умножить на 12 число, надо:

1. последнюю цифру множимого удваиваем и записываем как самую правую цифру результата;
2. каждую следующую цифру множимого удваиваем и складываем со своим правым соседом и записываем в результат (если ответ содержит больше одной цифры, то просто переносим 1 или 2 в следующий разряд);
3. первую цифру множимого ставим самой левой цифрой результата.

124 х 12 =1 4 8 8;

4 х 2 = 8; 2 х 2 + 4 = 8; 1 х 2 + 2 = 4

Правила умножения

а) Умножение двузначного числа на 101. Чтобы умножить двузначное число на 101, надо рядом записать полное число два раза.

36 х 101 = 3636.

Б)Умножение двузначного числа с суммой цифр, меньшей 10, на 111.

Находим сумму цифр данного двузначного числа (4 + 2 = 6). Раздвигая цифры множимого, дважды пишем между ними сумму цифр данного двузначного числа.

42 х 111 = 4662

Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000.

Например:

1246 х 5 = 6230, так как 1246 : 2 = 623;

6428 х 25 = 160700, так как 6428 : 4 = 1607;

8032 х 125 = 1004000, так как 8032 : 8 = 1004.

Умножение методом Ферроля.

Для умножения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.

Например:

12х14=168

а)2х4=8, пишем 8
б)1х4+2х1=6, пишем 6
в)1х1=1, пишем 1

Простое умножение чисел близких к 100.

Например, нам надо перемножить числа 96 и 97.

Не надо бросаться за калькулятором или начинать считать столбиком. Мы найдем вспомогательные числа. Их находим вычитанием доступного нам числа от 100. В нашем случая получается, что вспомогательные числа это 4 и 3.

Дальше можем забыть о данных на числах. Теперь найдем цифры стоящие в начале необходимого на числа: мы складываем 4 и 3, а затем получившееся число отнимаем от 100. Получается: 4+3=7, 100-7=93. Значит в начале нашего числа стоит цифра 93.

Затем найдем последние цифры необходимого нам числа: мы просто перемножаем 4 и 3. Получается 12 — это последние цифры нашего числа. У нас получилось число 9312. Значит 96*97=9312.

Нестандартные способы умножения

Русский способ умножения

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности.

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат (рисунок 1). Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Для рисунка 2: 192 + 48 + 12 = 252

Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:

5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48

21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12

Ясно, что числа 48, 12, утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение. Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно.

Китайский способ умножения

А теперь представим метод умножения, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Предлагаем Вашему вниманию пример (в правом верхнем углу проверочный столбик).

Например: 12 × 321 = 3852

В первом множителе 1 десяток и 2 единицы, значит, строим одну зелёную прямую (1) и ей параллельно две оранжевые прямые (2).

Во втором множителе 3 сотни , 2 десятка и 1 единица. Строим параллельно три голубые (3) прямые , две красные(2) и поодаль одну синею. Прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Теперь по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2, 5, 8, 3. Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки), получили 3852.

Итальянский способ умножения («Сеткой»)

В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

Например: умножим 1234 на 576.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

Т.е. 4х5 = 20. Записываем 2 и 0.

1х5*3 = 6. Если при умножении получается однозначное число, записываем

вверху 0, а внизу это число.

3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Индийский способ умножения

Для умножения, например, 385 на 64 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого. Полученные произведения пишем в сетку.

Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам.

Японский способ умножения

Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский. Даже чем-то на него похож.

Например: умножим 12 на 34. Так как второй множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.

Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.

Количество частей, на которые разделились круги и является ответом, то есть 12 х 34 = 408.

Заключение

Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит ее можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладеть.

Мы рассмотрели нестандартные способы умножения, деления и выявили, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный. Из представленных нами необычных способов умножения, более интересным показался китайский.

Мы познакомили с ним своих одноклассников, научили им пользоваться, и он им тоже очень понравился. Ведь не нужно обладать сверхъестественными способностями, чтобы уметь пользоваться разными способами умножения.

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Все рассмотренные нами методы вычислений говорят о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами.

Гипотеза подтвердилась: возрос интерес учащихся к математике, следовательно, они смогут использовать свои знания и умения в практической и повседневной жизни.

Таким образом, пока мы только изучали и анализировали уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы умножения.

Литература

1. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. - М., 1978.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.,1981.
3. Депман И. «Рассказы о математике».– Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
4. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.
5. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.

1. Савин А.П. Математические миниатюры. Занимательная математика для детей. - М.: Детская литература, 1998, 175 с.
2. Интернет – источники

Приложение №1.Таблица умножения на пальцах

Умножение на 9 с помощью пальцев

Умножение русским способом

Умножение китайским способом