Исследовательский проект «Замечательные точки треугольника»

МБОУ «Родомановская средняя школа» Гагаринского района Смоленской области

Исследовательский проект

«Замечательные точки треугольника»

                                                                                                 Работу выполняла    

обучающаяся 9 класса

                                                                                                 Морозова Ольга

Руководитель:

                                                                                                   учитель математики  

Сырокоренская Е. И.        

Родоманово, 2018 г.

Объект исследования: раздел математики - геометрия.

Предмет исследования: треугольник.

Гипотеза: существует ли взаимосвязь между замечательными точками треугольника.

Цель работы: исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств.

Задачи: 

1. Изучить необходимую литературу.
2. Изучить классификацию замечательных точек треугольника и познакомиться с их свойствами.
3. Научиться строить замечательные точки.
4. Изучить область применения замечательных точек треугольника.
5. Выпустить математическую газету к предметной неделе.

Актуальность: Знания  замечательных точек и линий треугольника способствуют более эффективному и рациональному решению задач; развивают мышление и творческую активность. Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к олимпиадам и ОГЭ (ЕГЭ).

Методы исследования:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литературы;
• практический метод решения задач;
• исследовательский метод решения задач;
• анализ полученных результатов.

Замечательные точки треугольника

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не только символ, треугольник – атом геометрии.                                                

 Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства.О некоторых из них, а точнее говоря, о некоторых замечательных точках, связанных с треугольником, я расскажу в своем проекте.

Первая замечательная точка треугольника – точка пересечения биссектрис треугольника

• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

•Точка пересечения  биссектрис треугольника равноудалена от сторон этого треугольника и является центром вписанной в него окружности.

Вторая замечательная точка треугольника –точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

•Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

•Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника – центр описанной около него окружности.              

•Центр описанной околотреугольника окружности, находится в треугольнике с острыми углами, вне треугольника с тупымуглом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.

Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан

•Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

•Если точку пересечения медиан треугольника соединить с его вершинами, то треугольник разобьётся на три треугольника, равных по площади.

•Важным свойством точки пересечения медиан является тот факт , что сумма векторов, началом которых является точка пересечения медиан, а концами – вершины треугольника, равна нулю.

•  Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.      

Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высоттреугольника

•Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

•Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

Прямая Эйлера

Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, что некоторые из них связаны друг с другом определенными соотношениями. Например, точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н и центр описанной окружностиР лежат на одной

прямой,названной позже прямой Эйлера. 

Окружность девяти точек

В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Впоследствии было обнаружено, что на той же окружности лежат ещё триточки - середины отрезков , соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Это и есть окружность девяти точек.

Точка Торричелли

Пусть дан ∆АВС. Точкой Торричелли данного треугольника называется такая точка М внутри этого треугольника, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120⁰, т. е. углы АМВ, АМС и ВМС равны 120⁰.  (Замечание: точка Торричелли существует, если все углы треугольника меньше 120⁰.)

Точки Брокара

Точками Брокара ∆АВС называются такие его внутренние точки Р и Q, что <АВР=<ВСР=<САР и

Примеры решения задач

Задача 1. В остроугольном ∆АВС проведена медиана ВМ, биссектриса АК и высота АН (Н лежит между К и В) так, что МК=КН=НВ. Найти отношение сторон ∆АВС.

Решение. Пусть МК=КН=НВ=х, тогда МС=3х. По свойству биссектрисы ===. Так как АН высота, то в прямоугольных треугольниках АНВ и АНС по теореме Пифагора следует, что АН2=АВ2-ВН2=АС2-НС2 или АВ2-х2=4АВ2-25х2, отсюда х=АВ. Получаем, что ВС=6х=АВ. Следовательно, АВ:АС:ВС=1:2:

Ответ: АВ:АС:ВС=1:2:.

Задача 2. Серединный перпендикуляр к стороне АС ∆АВС пересекает сторону ВС в точке D. Найти ВD и DС, если АD=5 см, ВС=9см.

Решение.Пусть КD серединный перпендикуляр к стороне АС. В ∆АDС КD-высота и медиана, а значит он равнобедренный. Следовательно, АD=DС=5см, тогда ВD=ВС-DС=4см

Ответ: ВD=4см, DС=5см

Связь геометрии с природой

       Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Я хочу остановиться на примере точки Торричелли, практическом применении этой точки.

В этом положении (положении равновесия) потенциальная энергия рассматриваемой системы имеет наименьшее значение и сумма отрезков МА+МВ+МС будет наименьшей, а сумма векторов, лежащих на этих отрезках с началом в точке Торричелли, равна нулю.

Выводы.В результате выполнения работы мои знания по математике расширились. Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров к сторонам треугольника существуют еще замечательные точки и линии треугольника. Полученные знания можно использовать в своей учебной деятельности, применять изученную теорию к решению определенных задач и в реальной ситуации. Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих задач.

Гипотеза подтвердилась:  замечательными точки и линии треугольника взаимосвязаны некоторыми соотношениями.

Источники

И. Л. Никольская Факультативный курс по математике, Москва «Просвещение»1991 год

ПАСПОРТ ПРОЕКТНОЙ РАБОТЫ

Рецензия

на проектную работу ученицы  9 класса

МБОУ «Родомановская средняя школа»

Морозовой Ольги.

Для проектной работы была выбрана тема "Замечательные точки треугольника".Работа отвечает выбранной теме, соответствует стандартам второго поколения, расширяет рамки программы общеобразовательной школы, может использоваться на уроках  математики и во внеклассной работе по предмету.

Содержание проектной работы отвечает выбранной теме, которая полностью раскрыта.

Работа  показала, что  ученицей самостоятельно  изучен большой объем информации сети Интернет и специализированной литературы, исследовательские качества, компьютерную грамотность в оформлении.

Работа   выстроена логично и правильно: представлены цели и задачи, обоснование проблемы, актуальность выбранной темы, изложен теоретический материал и показано его практическое применение, имеются выводы по работе. Ученицей изучен материал, выходящий за рамки школьной программы.

Проектная работа   изложена грамотно, прослеживается логическая связь между частями работы, отличается завершённостью.

   Руководитель проекта:Е. И. Сырокоренская, учитель математики

                                                                   первой  квалификационной категории