Магические квадраты

Слайд 1

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №3» г.Рассказово Тамбовской области Название проекта: Магические квадраты : Авторы проекта: Березнякова Анастасия, Кордубан Валерия, Мещерякова Виктория Научный руководитель проекта: Капранова Т.В. г.Рассказово -2016

Слайд 2

Творческое название проекта: Что это: математика или магия?

Слайд 3

Распознать сущность магических квадратов и их влияние на развитие познавательных интересов человека. Цель проекта:

Слайд 4

Изучение свойств магических квадратов позволит определить общие способы их построения. Гипотеза:

Слайд 5

1.Изучить историю возникновения магических квадратов. 2.Изучить свойства магических квадратов . 3.Ознакомиться с основными методами построения магических квадратов. 4.Научиться строить магические квадраты. Задачи проекта:

Слайд 6

Магические квадраты Предмет исследования: Свойства магических квадратов Объект исследования:

Слайд 7

1 . Поисковый метод (использование справочной и учебной литературы, а также информационных ресурсов глобальной сети Интернет); 2. Практический метод (составление магических квадратов на основе полученных знаний); 3. Исследовательский метод (составление психологического портрета личности по квадрату Пифагора). Методы исследования:

Слайд 8

Темы и проблемы исследования обусловлены выявленными противоречиями. С одной стороны, еще учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира, и многие выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам, а с другой стороны эта тема не рассматривается в школьном курсе математики. С одной стороны, раньше многим были известны способы составления магических квадратов, например Бенджамин Франклин писал: «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял магические квадраты», а с другой стороны, как показал опрос моих одноклассников, сегодня практически никто составлять магические квадраты не умеет. А между тем, изучение магических квадратов, их свойств может помочь в развитии познавательного интереса к предмету математики, к истории её развития, развитии любознательности и логического мышления. Актуальность исследования:

Слайд 9

Магический квадрат - квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу. Магический квадрат: 2 7 6 9 5 1 4 3 8 15 15 15 15 15 15 15 15

Слайд 10

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n 2 клеток и называется квадратом n –го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n 2 последовательных натуральных чисел (т.е. числа от 1 до n 2 ) . Такие квадраты называют нормальными. Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали магического квадрата называется магической константой M . Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой: М = n ( n 2 + 1)/2. Магическая константа:

Слайд 11

Страна , в которой был впервые придуман магический квадрат , точно неизвестна , неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. И, вероятно, самым старым из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу. Она имеет размер 3х3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом магическом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Согласно одной из легенд прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной священной черепахи, всплывшей из вод реки Хуанхэ. История создания магических квадратов:

Слайд 12

История создания магических квадратов: Рис.1 Таблица Ло Шу 15 15 15 15 15 15

Слайд 13

В IX веке. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры. Получение магических квадратов считалось популярным развлечением среди математиков. Ими создавались огромные квадраты, например, 45х45, содержащий числа от 1 до 2025. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера. История создания магических квадратов:

Слайд 14

История создания магических квадратов (амулеты):

Слайд 16

Свойство 1. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число ( например, увеличим все числа на 4) Свойства магических квадратов: 2 7 6 9 5 1 4 3 8 6 11 10 13 9 5 8 7 12 … +4

Слайд 17

Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и тоже число (например, умножим на 2) Свойства магических квадратов: 2 7 6 9 5 1 4 3 8 4 14 12 18 10 2 8 6 16 … х 2

Слайд 18

Свойство 3. Отражение магического квадрата относительно главной (побочной) диагоналей. Свойства магических квадратов: 2 7 6 9 5 1 4 3 8 8 1 6 3 5 7 4 9 2 2 9 4 7 5 3 6 1 8

Слайд 19

Свойство 4. При повороте вокруг центра на угол 90, 180, 270 магического квадрата, получим магический квадрат. Свойства магических квадратов: 2 7 6 9 5 1 4 3 8 4 9 2 3 5 7 8 1 6 8 3 4 1 5 9 6 7 2

Слайд 20

Свойство 5. При отражении, относительно одной из осей симметрии (горизонтальной , вертикальной) магического квадрата получим магический квадрат. Свойства магических квадратов: 2 7 6 9 5 1 4 3 8 4 3 8 9 5 1 2 7 6 6 7 2 1 5 9 8 3 4

Слайд 21

Индийский способ построения магических квадратов (7х7): 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20 М = 7 ( 7 2 + 1)/2 = 175 Выполнила: Березнякова Анастасия

Слайд 22

Индийский способ построения магических квадратов (9х9): М = 9 ( 9 2 + 1)/2 = 369 47 58 69 80 1 12 23 34 45 57 68 79 9 11 22 33 44 46 67 78 8 10 21 32 43 54 56 77 7 18 20 31 42 53 55 66 6 17 19 30 41 52 63 65 76 16 27 29 40 51 62 64 75 5 26 28 39 50 61 72 74 4 15 36 38 49 60 71 73 3 14 25 37 48 59 70 81 2 13 24 35 Выполнила: Березнякова Анастасия

Слайд 23

Индийский способ построения магических квадратов (11х11): М = 11 ( 11 2 + 1)/2 = 671 68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66 82 98 106 119 11 13 26 39 52 65 67 92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79 104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91 116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103 7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115 19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6 31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18 43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30 55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42 56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54 Выполнила: Березнякова Анастасия

Слайд 24

Способ построения магического квадрата Дюрера(4х4) М = 4 ( 4 2 + 1)/2 = 34 Выполнила: Мещерякова Виктория 1 14 15 4 12 7 6 9 8 11 10 5 13 2 3 16

Слайд 25

Способ построения магического квадрата Дюрера(8х8) М = 8 ( 8 2 + 1)/2 =260 Выполнила: Мещерякова Виктория 1 63 62 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64

Слайд 26

1 143 142 4 5 139 138 8 9 135 134 12 132 14 15 129 128 18 19 125 124 22 23 121 120 26 27 117 116 30 31 113 112 34 35 109 37 107 106 40 41 103 102 44 45 99 98 48 49 95 94 52 53 91 90 56 57 87 86 60 84 62 63 81 80 66 67 77 76 70 71 73 72 74 75 69 68 78 79 65 64 82 83 61 85 59 58 88 89 55 54 92 93 51 50 96 97 47 46 100 101 43 42 104 105 39 38 108 36 110 111 33 32 114 115 29 28 118 119 25 24 122 123 21 20 126 127 17 16 130 131 13 133 11 10 136 137 7 6 140 141 3 2 144 Способ построения магического квадрата Дюрера(12х12) Выполнила: Мещерякова Виктория . М = 12 ( 12 2 + 1)/2 =870

Слайд 27

1) 11 4) 4 7) 2) 2 5) 8) 8888 3) 6) 9) Квадрат Пифагора. Квадрат Пифагора Мещеряковой Виктории

Слайд 28

Наша гипотеза об изучении и построении магических квадратов подтвердилась . Вывод:

Слайд 29

1) Трошин В.В.. Магия чисел и фигур. М.: - ООО «Глобус», 2007. 2) Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3 3) Шарыгин И., Ф. Шевкин А. В. Подумай и реши: задачи на смекалку. - М.: ГАЛАС, 1993. 4) Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1985. 5) Энциклопедия для детей. – М.: Издательское объединение « Аванта », 2003. 6) https://ru.wikipedia.org/wiki/ - Амулет 7) https://ru.wikipedia.org/wiki/ - Магический_квадрат 8) http://www.diary.ru/~Organon/p59697517.htm?oam 9) magicheskie_kvadraty4.docx 10) Http ://infourok.ru / 11) https ://e.mail.ru/message/14567602990000000804 Используемая литература: