Исследовательская работа «Задачи с экономическим содержанием на проценты»

Комитет по образованию администрации г. Улан-Удэ

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №37»

Городская научно-практическая конференция

«Обыкновенное чудо»

Секция: «Математика»

Задачи с экономическим содержанием на проценты

                  Выполнила: Сигачева Валерия Романовна,            

                                                                                           учащаяся 7 класса «д»

                                                                                          МАОУ «СОШ №37».

                                                                                Научный руководитель:

Днепровская Татьяна Николаевна,

                                                                          учитель математики

                                                                            МАОУ «СОШ №37».

Улан-Удэ

2020

Введение

Задачи разные на свете существуют,
И способов решенья много к ним.

В работе данной тема нас волнует:

«Как экономику понять

И научиться задачи решать.»

Не просто задачи, не просто примеры

Ведь всё на проценты решать нужно смело.
Давайте сейчас же мы все разберем

И тему эту трудную мы вместе все поймём!

Объект исследования: Задачи с экономическим содержанием на проценты

Предмет исследования: ученики 7-х классов МАОУ «СОШ №37»

Цель исследования: обобщить методы решения задач с экономическим содержанием как базового, так и повышенного уровня сложности;

• сформировать у учащихся навыки перевода реальных предметных ситуаций в различные математические модели;

• показать учащимся необходимость изучения процентов для применения их в реальных практических ситуациях.

• облегчить работу учителя по подбору задач экономического содержания

Задачи исследования:

1.Изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач;

2.Рассмотреть разные типы задач с экономическим содержанием на проценты

3.Рассмотреть различные способы решения задач.

Гипотеза: существует множество видов задач с экономическим содержанием на проценты и способов их решения, которые пригодятся в повседневной жизни.

Глава I

Теоретическая часть

1. История экономики

Термин «экономика» ввел в научный оборот выдающийся философ Древней Греции Аристотель (384-322 гг. до н. э.), составив его из двух греческих слов «эйкос» - хозяйство и «номос» - закон. Поэтому «экономика» в переводе с греческого означает «законы хозяйства». Первоначально под словом «экономика» понималось искусство ведения домашнего хозяйства.

Семья выполняет важнейшую экономическую функцию. Совместно проживающие супруги, их дети и родители не просто объединяются для совместного проживания, но и решают важные экономические задачи. Семья находится в постоянных связях с государственными учреждениями, предприятиями и фирмами. Она является важнейшим поставщиком рабочей силы для предприятий и фирм, которые в свою очередь выплачивают им заработную плату, различные социальные пособия, пенсию. Домашние хозяйства являются основными потребителями товаров и услуг, поставляемых предприятиями и частными лицами.

2. История возникновения процента

 Процент — одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому.

Слово «процент» происходит от лат. «procentum», что означает в переводе «сотая доля» . В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.                                  

3. Задачи с экономическим содержанием

Экономические задачи- задачи, решаемые в процессе экономического анализа, планирования, проектирования, связанные с определением искомых неизвестных величин на основе исходных данных. В отличие от математических, Э.з. не всегда удается формализовать, свести только к расчету. Их решение сопровождается поиском.

Глава II

Экономико-математические модели

2.1. Простейшие задачи на проценты.

Для того, чтобы решать задачи с экономическим содержанием, необходимо понимать, что такое процент, уметь производить процентные расчеты.

    Процент – сотая доля целого (принимаемого за единицу); обозначается знаком «%».

Поэтому процентом (от) какого-либо числа называется сотая часть этого числа.

При решении задач на проценты необходимо помнить:

1)Как выразить число в процентах?

Чтобы выразить число в процентах достаточно умножить его на 100 и поставить знак %

Пример: 4 = 4∙100%=400%; = 0,75 = 0,75∙100% = 75%

2)Как выразить проценты в виде десятичной дроби?

Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби достаточно число процентов разделить на 100

Пример: 300% = 300:100 = 3;

36, 7% = 36,7:100 = 0,367;

9% = 9:100 =0,09

Пусть число а составляет k % от числа b ( k называется процентным отношением числа а к числу b).

Чтобы найти проценты от данного числа, надо:

1)выразить проценты в виде дроби;

2)умножить данное число на эту дробь.

Запишем это формулой:

Чтобы найти проценты от числа, надо число процентов выразить десятичной дробью, а затем найти дробь от числа.

При определении процента от числа следует помнить, что:

1) Если процент меньше 100 % , то число, полученное в результате вычислений, должно быть меньше заданного числа;

2) Если процент больше 100%, то число, полученное в результате вычислений, должно быть больше заданного числа.

Следовательно, при вычислении процента от числа для самоконтроля нужно проверить:

1.  Заданный в условии процент больше или меньше 100 %;
2.  Результат вычисления больше или меньше числа, от которого находится процент.

Чтобы найти число по данным его процентам, надо:

1)выразить проценты в виде дроби;

2)разделить данное число на эту дробь.

Запишем это дробью:

Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби и

решить задачу на нахождение числа по данной его дроби.

При определении числа по его проценту следует помнить, что:

1.  Если процент меньше 100%, то число, полученное в результате вычислений, большезаданного числа;
2. Если процент больше 100%. то число, полученное в результате вычислений, меньшезаданного числа.

Следовательно, при вычислении числа по его проценту для самоконтроля нужно проверить:

 заданный в условии процент больше или меньше 100%;

 вычисления больше или меньше

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо:

1)найти отношение этих чисел;

2)умножить это отношение на 100 и приписать знак %.

Запишем это формулой:

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо найти отношение этих чисел ивыразить его в процентах

При сравнении двух величин та, с которой производится сравнение, - базовая величина, и онапринимается за 100%. В задачах на проценты сначала следует понять, какая величинапринимается за 100%.

2.2 Пропорциональное деление величины

Чтобы разделить число А на части, прямо пропорциональные данным числам a,b,c (разделитьв данном отношении a:b:c), надо разделить это число на сумму данных чисел и результатумножить на каждое из них:

, отметим, что

Чтобы разделить число А на части, обратно пропорциональные данным числам a,b,c, надо разделить это число на части, прямо пропорциональные числам

Пусть требуется найти, в каком процентном соотношении находятся числа а,в и с. В этомслучае необходимо определить, какой процент составляет каждое число по отношению к суммеэтих чисел. Пусть- искомые проценты, тогда

Отметим, что

2.3 Процентное изменение величины.

Задачи на процентное изменение величины уже нельзя отнести к простейшим. Они решаются внесколько действий. В большинстве случаев эти задачи удобно решать с помощью формул.

В данном пункте можно выделить три задачи (прямая и две обратные), которые имеются в задании № 1 КИМов.

Пусть в задаче требуется определить число а, большее числа b на p%.

Это условие записывают формулой или кратко

В случае, если число а меньше числа b на p%, используется формула:

Пусть некоторая величина А, меняющаяся со временем, имеет в начальный момент

значение, а через известный промежуток времени значение . Обозначимпроцентный «прирост» (увеличение или уменьшение) величины А через р%. Длянахождения через и р используются формулы:или

Было сделано дома☺☺☺

Формулы процентного «прироста»:

a) при увеличении величины А:(%)

б)при уменьшении величины А:

Последние формулы можно прочитать так: из большего числа вычитаем меньшее число и делим на исходное число, затем умножаем на 100 и ставим знак процента.

Следует запомнить:

1. Если значение а выросло на p%, то новое значение будет

2. Если значение с уменьшилось на p%, то новое значение будет

3. Если А больше В на p%, то ;

Выразим из последней формулы p:

; ;

Эта формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.

4. Если В меньше А на q%, то

;

Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим

Однако, если А больше, чем В на p%, то это не означает, что В меньше А на p%.

2.4 Проценты и соотношения между величинами.

В некоторых задачах величины связаны формулой и необходимо ответить на вопрос, как процентное изменение одних величин влияет на процентное изменение других велечин.

Пример. За некоторый период времени у господина Иванова количество акций увеличилось на 15%. На сколько процентов увеличилась общая стоимость акций господина Иванова, если цена каждой акции увеличилась на 20%?

Решение. Пусть  – цена одной акции, n – количество акций, · n – общяя стоимость акций. Эти величины связаны формулой S = · n.

Составим таблицу:

Можно сразу сделать вывод: общая стоимость акций S увеличилась в 1,38 раз, поэтому стоимость акций увеличилась на 38%.

Или, используя формулу процентного «прироста», находим искомую величину:

100=38(%)

Ответ: 38%

2.5 Формула простых процентов

В зависимости от способа начисления процентов (от выбора базы начисления) выделяют два основных вида процентов: простые и сложные.

 Если величина А через равные промежутки времени  имеет процентный прирост p только на первоначальное значение , то в момент времени  =  её значение  будет равно:

)- формула простых процентов.

Формулу простых процентов используют, например, при начислении штрафов. Также удобно применять начисление простых процентов тогда, когда по истечении каждого года вкладчик снимает со своего счета проценты, начисленные за этот год.

2.6 Формула сложных процентов

Согласно статистике, почти каждая семья берет кредит на приобретение того или иного товара! В сегодняшние дни потребительские кредиты, кредитные карты, автокредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие финансовые услуги очень распространены и играют важную роль в экономике страны и каждой семьи.

Если величина А через равные промежутки времени  будет иметь процентный прирост p и процент будет начисляться на измененную величину, то в момент времени  = её значение  будет равно:

-формула cложных процентов,

где знак «+» или «-» ставятся в соответствии с тем, к чему приводит «прирост» - к увеличению или уменьшению величины.

3.Сюжетные задачи.

Сюжетные математические задачи являются моделями жизненных ситуаций, связующим звеном между разнообразными сюжетами реального мира и строгими формами математических выражений и операций. Сюжетные математические задачи являются полигоном для 40 распознавания проблемных ситуаций, возникающих в окружающей среде, которые можно решить математическими средствами. Таким образом, формируя общие способы и методы решения сюжетных математических задач мы учим детей определенным образом действовать, на основе математических знаний, в ситуациях, возникающих в повседневной жизни.

Методы решения сюжетных задач.

 Сюжетные задачи многими людьми, окончившими школу, вспоминаются как самые трудные. Для того чтобы понять, в чем состоит сложность решения этих задач, необходимо проанализировать собственный опыт их решения.

В каждой сюжетной задаче можно выделить:

1. числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);

 2. некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно    связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);  

3. требование или вопрос, на который надо найти ответ.

Существуют различные методы решения данного класса задач:

1.арифметический метод;  

2.алгебраический метод;

3.функционально-графический метод решения текстовых задач;

Сюжетные задачи с экономическим содержанием, встречающиеся в КИМах чаще всего это задачи на кредиты и вклады. Решая сюжетную задачу надо четко понимать ее математическую модель.

Говорят, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

Заключение.

Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.

Литература.

1. Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций, СПб.: Союз, 1999.

2. Прокопьев А.А., Корянов А.Г. Социально – экономические задачи. «Легион». Ростов на Дону,2016

3. Методика работы с сюжетными задачами: Учебно-методическое пособие / Н.А. Малахова, В.В.Орлов, В.П.Радченко, В.Е.Ярмолюк; под ред. к.п.н., доц. Радченко, к.п.н. В.В.Орлова. С. Петербург: «Образование», 1992

4. А.А. Прокофьев, А.г. Корянов. «Социально-экономические задачи»

5. Интернет-ресурсы