Исследовательская работа «Решение текстовых задач c помощью графиков линейной функции »

Комитет по образованию администрации г. Улан-Удэ

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №37

XXVII городская научно-практическая конференция

«Шаг в будущее»

Секция: «математика»

Решение текстовых задач c помощью графиков линейной функции

Выполнила: Унагаева Арина

Александровна,

Ученица 9 класса «г»

МАОУ СОШ №37

Научный руководитель:  

Днепровская Татьяна Николаевна,

Учитель математики

МАОУ СОШ №37

Улан-Удэ

2020

Оглавление

Паспорт проектной работы                                                                        

I. Введение                                                                                                  

II. Основная часть:                                                                                      

1. Решение текстовых задач с помощью графиков линейной функции

2. Решение задач на движение

3. Решение задач на совместную работу

4. Решение задач на смеси и сплавы

III. Заключение                                                                                            

Список использованной литературы и интернет-ресурсов    

Приложения

Паспорт проектной работы

1. Название проекта: «Графики линейной функции и решения текстовых задач»

2. Руководитель проекта: Днепровская Т.Н.

3. Учебные предметы, в рамках которых проводится работа по проекту:

математика

4. Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: алгебра

5. Возраст учащихся, на которых рассчитан проект: 9 класс (15 лет)

6. Тип проекта: индивидуальный, исследовательский

7. Заказчик проекта: учитель

8. Цель проекта:

  -  Научиться решать задачи с помощью графиков функций

9. Задачи проекта:

    Научиться:

- Решать текстовые задачи с помощью графиков линейной функции

- Решать задачи на движение

- Решать задачи на смеси и сплавы 

- Решать задачи на совместную работу

10.Этапы работы над проектом:

1. Подготовка: Определение темы и целей проекта.

2. Планирование: Определение источников информации; определение способов ее сбора и анализа. Определение способа представления результатов (формы отчета). Установление процедур и критериев оценки результата и процесса разработки проекта.

3. Исследование: Сбор информации. Решение промежуточных задач.

4. Анализ и обобщение: Анализ информации, оформление результатов сначала в виде презентации, формулировка выводов.

5. Представление проекта: Выступление перед одноклассниками и руководителем проекта, в рамках промежуточной аттестации.

6. Оценка результата и процесса: Анализ выполнения проекта; причины успехов и неудач.

11. Аннотация.

Данный проект является индивидуальной работой. В процессе работы над проектом я должна не только разобраться с решение задач, но и сделать выводы о работе с графиками. В результате работы над проектом я приобрела навыки работы с текстом, взаимодействия со взрослыми (родителями, учителем, библиотекарем). Защита проекта способствовала формированию коммуникативной компетенции. Формирование информационной компетенции происходило на всех этапах работы над проектом: во время поиска и обработки информации, подготовки и защиты презентации.

I. Введение

     Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

     Решению текстовых задач в школе уделяется достаточно много внимания, так как современный человек, независимо от рода деятельности и уровня образования, должен уметь решать задачи.

     Традиционными способами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический. При решении алгебраических задач можно также использовать графический метод. Этот метод требует точного построения графиков функций, ответ задачи читается по чертежу. Начерченный график – это краткое и наглядное описание какого – либо процесса.

     Несмотря на практическое значение графиков, в школьной математике графики служат обычно для иллюстрации и лучшего запоминания свойств изучаемых функций.

     Построение чертежей дает возможность «увидеть» задачу, т. е. установить и исследовать связи, существующие между величинами, входящими в задачу, выбрать кратчайший путь решения.

     Работа посвящена текстовым задачам, при решении которых применяются графики линейной функции.

     Актуальность работы в том, что знание нескольких методов решения задачи увеличивает возможность её правильного решения.

      Методы, используемые при работе над темой: теоретический анализ учебно-методической литературы, материалов из интернета, экспериментальная работа, анализ собственного опыта.

II. Основная часть

1. Решение текстовых задач с помощью графиков линейной функции

     Графический метод решения задач появился во времена Евклида (III век до нашей эры) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Особенность его применения в алгебре состояла тогда в том, что он предполагал решение задач только с помощью построений и законов геометрии.

      Решить задачу графическим способом - значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат. Решение задач графическим методом требует творческого подхода и глубокого понимания процессов, описанных в задаче. Изображая графики процессов, можно находить зависимости между величинами, применяя геометрические знания, а можно решать задачу привычным способом. Построенная модель зависимости между величинами помогает увидеть отношения между этими величинами. На этих двух подходах основано использовании графиков при решении текстовых задач.

     В школьных задачах, как правило, описываются процессы с постоянной скоростью его протекания. Поэтому, независимо от вида процесса, его характеристики связаны одной и той же линейной зависимостью: результат процесса равен произведению скорости и времени его протекания.

     Действие движения характеризуется тремя компонентами: пройденный путь, скорость и время. Известно соотношение между ними S= v t. Работу характеризуют также три компонента действия: время работы, объем работы и производительность (количество произведенной работы в единицу времени). Существует следующее соотношение между этими компонентами: V=N  t. В задачах на смеси и сплавы обычно присутствуют тоже три величины: концентрация (доля чистого вещества в смеси (или сплаве)), количество чистого вещества в смеси (или сплаве), масса смеси (сплава). Соотношение между этими величинами: масса смеси  концентрация = количество чистого вещества.

     Решение текстовой задачи графическим способом осуществляется в три этапа:

Построение графической модели задачи.

Решение получившейся графической задачи.

Перевод полученного ответа с графического языка на естественный.

Рассмотрим подробно реализацию этих этапов процессе решения текстовых задач. 

2. Решение задач на движение 

     Немаловажное значение в математике имеют задачи на движение. Задачи на движение подразделяются на следующие типы: по количеству движущихся объектов, по направлению движущихся объектов, по времени начала движения.

     Методы решения текстовых задач на движение, использующие графики, обладают большой простотой и изяществом. При решении задач на движение вводится система координат, причем на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат – пройденное расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированной точки. Движущийся объект в любой момент времени занимает определённое положение, т.е. находится на определённом расстоянии от этой фиксированной точки, а значит, изображается некоторой точкой в данной системе координат. В процессе движения объекта изменяет своё положение и изображающая его точка, вычерчивая некоторую линию – график движения. В разбираемых задачах будем считать движение равномерным и графики движения прямолинейными.

Задача. Из пункта A вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?

Решение. За начальный отсчет времени берется момент выхода грузовой машины (приложение 1), тогда момент выхода легковой машины будет через два часа. Зная скорости движения объектов, построим графики движения. По чертежу видно, что точка пересечения графиков показывает встречу машин, она состоялась на расстоянии 360 км. Ответ: 360 км.

3. Решение задач на совместную работу 

     При решении задач на совместную работу, на вертикальной оси откладывается отрезок, соответствующий количеству работы, а на горизонтальной время работы объектов, данных в задаче. Рассмотрим примеры решений задач двумя способами.

Задача. Чтобы выкачать воду из котлована, поставили два насоса. Оба насоса могли бы выкачать всю воду за 10 часов. Однако после 3 часов совместной работы один насос сломался, и другому насосу пришлось работать ещё 14 часов, чтобы выкачать оставшуюся воду. За сколько часов, действуя отдельно, каждый насос мог бы выкачать всю воду из котлована?

Решение. По вертикали отложим отрезок, условно соответствующий количеству воды в котловане. По горизонтали – время работы насосов (пусть они начнут работу в 6 ч. утра) (приложение 2). По графику видно, что если второй насос один начал бы выкачивать воду в 3 часа, то окончил бы работу в 23 часа. Значит, второму насосу потребуется для выкачивания всей воды 20 часов. Т.к. оба насоса вместе выкачивают воду за 10 часов, то первому насосу потребуется также 20 часов для работы.

3. Решение задач на смеси и сплавы

    Графический метод можно применить при решении задач, не связанных с движением каких-либо объектов. Сложными считаются задачи на смеси и сплавы. Рассмотрим решение таких задач двумя способами.

Задача. Один сплав содержит металлы в отношении 1: 5, другой сплав содержит эти же металлы в отношении 5: 7. В какой пропорции нужно взять первый и второй сплавы, чтобы получить сплав, содержащий те же металлы в отношении 1: 3?

Решение. По вертикальной оси отложим вес сплава в условных единицах (приложение 3). По горизонтальной оси - вес первого металла в тех же условных единицах. Первый металл в первом сплаве составляет 1/6 часть. Взяв по горизонтали 1 у.е., а по вертикали 6 у.е., получим точку С. Прямая ОС будет характеризовать первый сплав. Взяв произвольную точку на этой прямой и спроецировав ее на оси, мы определим, сколько условных единиц весит весь сплав и сколько условных единиц составляет в нем вес первого металла. Взяв по горизонтали точку 5 и по вертикали точку 12,получим точку D. Соединив ее прямой линией с началом координат, получим график, характеризующий второй сплав. Аналогично получим характеристику третьего сплава. Из любой точки вертикальной оси, например, на уровне точки D, проведем горизонтальную прямую, пересекающую характеристики в точках М, N и D. Отношение длины отрезка ND к длине отрезка MN даст пропорцию, в которой нужно взять сплавы I и II соответственно, так как в данном случае отрезок ND в 2 раза больше отрезка MN, то необходимо взять 2 части первого сплава и 1 часть второго сплава. Можно просто измерить отрезки линейкой. Ответ: сплавы необходимо брать в пропорции 2: 1.

IV. Заключение

       Целью данной работы было изучение применения графиков линейной функции в решении текстовых задач. В процессе работы над данной темой, выяснилось, что при решении текстовых задач наряду с традиционными методами, можно использовать и графический метод, который предполагает построение графиков линейных функций.

      Были изучены материалы учебно-методической литературы, материалы из интернета. Решено множество задач из экзаменационных материалов разными способами, проведен сравнительный анализ. Гипотеза подтвердилась частично. Конечно, алгебраический способ – универсальный, но знание различных способов часто упрощает решение задачи. И, если есть сомнения, что получен правильный ответ, то можно решить задачу другим способом.

     По результатам исследования можно сделать следующие выводы:

     Одно из преимуществ графического метода перед алгебраическим состоит в наглядности решения, что позволяет лучше понять задачу.

Использование этого метода упрощает решение задач: нет громоздких вычислений.

      Графическим методом решаются задачи не только на движение, но и на совместную работу, на смеси и сплавы.

     Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между алгебраическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление.

      График дает возможность определить, есть ли у данной задачи решение и единственно ли оно.

     Есть и «минусы»: иногда получаются приближённые значения в случаях неудачного масштаба.

     Настоящее исследование значительно расширило представление о линейной функции, способствовало глубокому пониманию взаимосвязи этой функции с реальными ситуациями, возникающими в нашей жизни. Есть планы продолжить исследование в этом направлении: при решении некоторых задач применяется графико-геометрический метод, который основан на подобии треугольников.

      Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи, даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче. Результаты работы можно использовать на уроках и дополнительных занятиях по математике при подготовке обучающихся к экзаменам. Этот материал позволит повысить образовательный уровень обучающихся.

Список использованной литературы:

1. Кочагин В.В. ОГЭ 2018. Математика: тематические тренировочные задания: 9 класс. – Москва: Эксмо, 2017. – 192 с.
2. Лунина Л.С. Обучение решению алгебраических задач геометрическим методом //Математика в школе: М.: Изд. «Школа-Пресс»,1996.-№4.- с.34-39.
3. Рудин В.Н., Рудина Е.И. Графическое решение текстовых задач. Учебное пособие по математике для учителей и учащихся. Издание Томского института повышения квалификации работников образования, 1995 г.
4. Ященко И.В., Волчкевич М.А. и др. ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ. – М.: Издательство «Экзамен», 2020. – 263 с.
5. Ресурсы Интернета.

Приложения

(1)

(2)

(3)