Геометрические экстремумы и их применение в задачах
Важным разделом геометрии как науки и темой школьного курса геометрии являются геометрические экстремумы, но на изучение данной темы в школьной программе не выделяется времени.
Целью работы является изучение способов решения задач на доказательство геометрических экстремумов, их отыскание и изучение экстремальных свойств геометрических фигур.
В своей работе Куракин Владислав рассмотрел:
- понятие геометрического экстремума;
- способы нахождения экстремальных значений в геометрии;
- экстремальные свойства многоугольников;
- свойства изопериметрических фигур максимальной площади;
- экстремальные свойства правильного тетраэдра.
В работе рассмотрены следующие способы нахождения экстремальных значений в геометрии:
- использование экстремальных значений квадратного трёхчлена;
- использование экстремальных свойств суммы и произведения положительных чисел;
- применение геометрических преобразований;
- использование экстремальных значений синуса и косинуса;
- использование эквивалентности задач на экстремум;
- использование математического анализа в геометрии;
- использование принципа крайнего.
В работе доказаны:
- экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, вписанных в данную окружность;
- экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, описанных около одной окружности;
- экстремальные свойства правильного тетраэдра.
В исследовании представлено решение задач с помощью всех рассмотренных методов, сделана подборка задач для самостоятельного решения.
Данное пособие может быть использовано при углубленном изучении математики, при подготовке к различным олимпиадам и на факультативных занятиях как учителями математики, так и учащимися
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 nou_kurakin_11g.pptx | 926.9 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели работы Изучить понятие геометрического экстремума. Изучить способы нахождения экстремальных значений в геометрии. Научиться применять полученные знания при решении задач. Применить полученные знания для исследования экстремальных свойств многоугольников. Применить полученные знания для исследования экстремальных свойств правильного тетраэдра.
Историческая справка
Использование свойств квадратного трёхчлена
Использование неравенств Неравенство, утверждающее, что среднее геометрическое n положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, называется неравенством Коши :
Использование геометрических преобразований Центральная симметрия: Осевая симметрия: Параллельный перенос: Поворот:
Использование экстремальных значений тригонометрических функций
Использование эквивалентности Бывают случаи, когда в задачу о нахождении одного экстремума можно свести к задаче о нахождении другого экстремума. Этот метод имеет смысл применять, если значение второго экстремума известно, или его найти проще, чем значение первого.
Использование методов математического анализа Теорема. Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f ( x ), то =0.
Использование принципа крайнего Для решения многих экстремальных задач бывает полезно рассмотреть какой-либо «крайний» элемент, т.е. элемент, на котором некоторая величина принимает наибольшее (наименьшее) значение: наибольшую или наименьшую сторону, угол и т.д. Этот метод решения задач иногда называют принципом крайнего.
Задача: На плоскости расположено n точек, причём площадь любого треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.
Задача: Укажите точки на поверхности куба, из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.
Свойства изопериметрических фигур максимальной площади. Теорема 1. Многоугольник данного периметра, обладающий максимальной площадью, обязательно выпуклый Теорема 2 . Прямая, которая делит пополам заданный периметр многоугольника максимальной площади, делит пополам и его площадь.
Доказательство: Пусть S PQCDE > S PQBA . S EDCQC 1 D 1 E 1 P = 2 S PQCDE S ABCDE = S PQCDE + S PQBA , где S PQBA < S PQCDE Теорема 2 . Прямая, которая делит пополам заданный периметр многоугольника максимальной площади, делит пополам и его площадь.
Экстремальные свойства правильных многоугольников Теорема 1 . Из множества n -угольников с данным числом сторон, вписанных в одну окружность, правильный многоугольник имеет наибольшую площадь и наибольший периметр. Теорема 2 . Из множества всех n -угольников с данным числом сторон, описанных около одной окружности, правильный n -угольник имеет наименьшую площадь и наименьший периметр.
Вспомогательные задачи для доказательства экстремальных свойств правильного тетраэдра. Утверждение 1. Д ля тетраэдра радиус R описанной сферы не меньше утроенного радиуса вписанной сферы: , причем равенство достигается только для правильного тетраэдра . Утверждение 2 . Д ля тетраэдра выполняется условие , где S 1 , S 2 , S 3 , S 4 – площади боковых поверхностей, R – радиус описанной сферы, причем равенство выполняется только для правильного тетраэдра. Утверждение 3. Для тетраэдра справедливо , где V – объём тетраэдра, R – радиус описанной сферы . Задача 4. Даны треугольник ABC и отрезок h . Найти тетраэдр ABCD с заданной высотой h , который имел бы минимальную площадь поверхности.
Экстремальные свойства правильного тетраэдра Теорема 1. Из всех тетраэдров с заданной площадью поверхности правильный тетраэдр имеет минимальную описанную сферу . Теорема 2. Из всех равновеликих тетраэдров правильный тетраэдр имеет минимальную описанную сферу . Теорема 3. Среди всех равновеликих тетраэдров наименьшую площадь поверхности имеет правильный тетраэдр . Теорема 4. Из всех равновеликих тетраэдров максимальную вписанную сферу имеет правильный тетраэдр. Теорема 5. Из всех тетраэдров с постоянной площадью поверхности максимальный объём имеет правильный тетраэдр.
Решение : Обозначим высоту пирамиды h, радиус данных шаров r, угол, образуемый высотой и апофемой α, сторону основания 2 a. ) При , получим , при этом Область допустимых значений h: , тогда Ответ : Задача: В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два шара радиуса r , центры которых находятся на высоте пирамиды. Один из шаров касается всех боковых граней пирамиды, а другой – основания пирамиды и первого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объём пирамиды наименьший.
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Экстремальные задачи по геометрии. Москва: Чистые пруды, 2007. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Том 1, Москва: МЦНМО, 2004. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Том 2, Москва: МЦНМО, 2006. Протасов Ю.В. Максимумы и минимумы в геометрии. Москва: МЦНМО, 2005. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. Москва: Наука, 1970. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Геометрия. Москва: Просвещение, 1992. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Москва: МЦНМО, 1995. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Планиметрия. Задачник 9-11 классы. Москва: Дрофа, 2001. Интернет-ресурсы : http://sernam.ru/book_e_math.php http://www.edubrilliant.ru/brigens-702-1.html http://www.treugolniki.ru http://files.school-collection.edu.ru http://mmmf.msu.ru http://www.math.md http://www.intuit.ru Список литературы
В.А. Сухомлинский. Самое красивое и самое уродливое
Сказка "12 месяцев". История и современность
Как представляли себе будущее в далеком 1960-м году
Солнечная система. Взгляд со стороны
Владимир Высоцкий. "Песня о друге" из кинофильма "Вертикаль"