Систематизированы способы построения графиков функций с модулем.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 314.85 КБ |
МБОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи г.Ростова-на-Дону
Донская Академия наук юных исследователей им. Ю.А. Жданова
Красносулинский филиал
Секция «Математика»
Подсекция «Общая математика»
«Построение графиков функций с модулем»
Автор работы:
Марченко Елисей, 8 кл.,
МБОУ СОШ №3
Руководитель:
Чернышев Эдуард Николаевич,
учитель математики
МБОУ СОШ №3
г.Красный Сулин
2019
Введение……………………………………………………………….. | |
Построение графиков функций, содержащих единственный модуль. | |
Построение графиков функций, содержащих два модуля…………… | |
Построение графиков функций, содержащих комбинации модуля с другими функциями либо нелинейные функции…………………….. | |
Заключение……………………………………………………………… | |
Литература……………………………………………………………… |
Построение таких графиков не предполагает «движение» графика вдоль осей координатной плоскости.
Задание № 1. Построить график функции
В “основе” его лежит график функции
и все мы знаем, как он выглядит:
Чтобы получить график функции , достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево:
Теперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функции
Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы:
Далее отражаем симметрично вверх (относительно оси абсцисс) ту часть графика, ординаты точек которой отрицательны:
Задание № 2. Построить график функции
Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=. При х<
функция выглядит так:
При х> функция выглядит так:
То есть прямая х= делит координатную плоскость на две области, в одной из которых (правее) мы строим функцию
а в другой (левее) – график функции
Строим график:
Таким образом, при построении графиков функций, содержащих один модуль, необходимо: строить график исходной функции, а далее,- осуществлять его перенос вдоль осей координат; либо искать «пограничные» прямые (определяемые точками излома) и строить соответствующие графики в каждой части координатной плоскости.
Задание № 3. Следующий график – также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля:
Подмодульные выражения меняют знак в точках излома:
Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:
Раскрываем модули на первом интервале:
На втором интервале:
На третьем интервале:
Таким образом, на промежутке (-∞; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на промежутке [1.5; 2] – график, записанный вторым уравнением, и на промежутке [2;∞) – график по третьему уравнению:
Строим график функции:
Обращаем внимание на то, что допустимо включение точек излома только в один из промежутков. включение
Задание № 4. Построить график функции
В основе - график функции
но, если в знаменателе x стоит под знаком модуля, то график имеет вид:
Теперь произведем сдвиг на три единицы,,при этом сдвинутся обе части: правая – вправо, левая – влево; при этом в полосе от -3 до 3 образуется перевернутая латинская буква U:
График этой функции, умноженной на два ,выглядит так:
Теперь можно поднять график по оси у:
и тогда он будет таким:
Наконец, строим окончательный вид графика, отражая все, что ниже оси абсцисс, вверх:
Таким образом, при построении графиков функций с двумя модулями: разбивают плоскость на пограничные участки и строят графики соответственно полученным функциям; либо строят график исходной функции, а затем преобразуют его в требуемый.
Задание № 5.Построить график функции
В точках 2 и (-2) знак подмодульного выражения меняется, поэтому график состоит из трех кусков (точки 2 и (-2) выколоты).
На промежутках (-∞; -2) и (2; ∞) справедливо первое уравнение, а на промежутке (-2;2) – второе:
Задание № 6. Две следующие функции отличаются знаком, и графики их выглядят по-разному:
Задание 7. Еще два похожих графика, вид которых меняется в зависимости от х в показателе степени:
Первый:
Второй:
Задание № 8.Теперь построим график такой функции:
Здесь точкой перемены знака подмодульного выражения является х=4. Тогда на промежутке (-∞; 4] функция выглядит так:
А на промежутке [4; ∞) так:
Вершина первой параболы (2;-12), сама парабола обращена вниз ветвями; вершина второй параболы (6, -20), а ветви параболы обращены вверх. В итоге имеем:
Задание № 9. Построить график функции
Многочлен в числителе раскладывается на множители:
Точки перемен знака подмодульных выражений – 4 и (-2). Точки эти (они выколоты) разбивают числовую прямую на три интервала, на которых данная функция будет выглядеть:
На интервале (-∞; -2):
На интервале (-2;4):
На интервале (4;∞):
Строим график:
Задние № 10.Внесем небольшие изменения, добавив двойку в знаменатель исходной функции:
Тогда точки перемены знака остаются те же, но функция выглядит иначе на разных интервалах:
На интервале (-∞; -2):
На интервале (-2;4):
На интервале (4;∞):
График изменится:
Задание № 11. Построить график функции
Начнем построение с “базовой” для этого графика функции
она выглядит так:
Далее добавим знак модуля под корень:
Теперь опустим этот график вниз на 4 единицы по оси у:
Заметим, что график пересекает ось абсцисс в точках (-16; 0) и (16;0).
Отразим все, что ниже оси х, вверх, и разделим все ординаты на 2:
Таким образом, при построении графиков функций в описанных случаях исходным положением является нахождение точек излома (или нулей подмодульного выражения); далее: разбивают плоскость на пограничные участки и строят графики соответственно полученным функциям; либо строят график исходной функции, а затем преобразуют его в требуемый посредством переноса вдоль осей или отображение в другую полуплоскость..
Материалы исследования показывают, насколько многообразно множество функций с модулем: модуль может выступать как отдельная единица задающего выражения, либо как базовая модель. При этом в выражениях разнится количество модулей, вид подмодульного выражения, а также включенность точек излома в график исходной функции.
Однако, общим для всех процедур построения графиков является следующее:
а) определение пограничных прямых;
б) определение точек излома (в которых подмодульное выражение меняет знак);
в) возможное построение требуемого графика через движение базового графика (движение вдоль осей координат либо осевая симметрия).
Следование этим общим подходам позволит восьмиклассникам и девятиклассникам, более осознанно и безошибочно строить графики функций, содержащих модуль. Это касается не только школьной алгебры, но и вопросов подготовки к ОГЭ, олимпиадам и конкурсам по математике.
Ледяная внучка
Ночная стрельба
Развешиваем детские рисунки дома
Заповеди детства и юности
Цветок или сорняк?