Проект по Математике «Метод выделения полного квадрата у ал-Хорезми»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №313

Фрунзенского района Санкт-Петербурга

Проект по Математике

«Метод выделения полного квадрата у ал-Хорезми»

     Выполнил:

     Ученик 8 «А» класса

     Марк Максим

     Руководитель:

     Учитель по Математике

     Васильева Н.В

2018-2019 уч. год

Содержание:                                                                                                стр.

1. Введение------------------------------------------------------------------------  
2. Изложение материала--------------------------------------------------------
3. Вывод----------------------------------------------------------------------------
4. Список литературы-----------------------------------------------------------
5. Приложение--------------------------------------------------------------------

1. Введение:

1. Актуальность:

Я считаю выбранная мною тема является актуальной и в наше время именно из-за того, что она относится к теме уравнений в математике. Уравнения – это, пожалуй, самая важная часть математики, ведь именно к ним, в основном, сводятся все задачи, гипотезы, вопросы и загадки данной науки.

2. Цель:

Цель моего проекта – рассказать слушателям о том, как ал-Хорезми решал квадратные и линейные уравнения. Я хочу чтобы люди узнали о том, как можно решать уравнения иными способами, не похожими на те, к которым мы привыкли.

3. Задачи:

Я ставлю перед собой задачу рассказать слушателям о методе выделения полного квадрата, которым пользовался ал-Хорезми. Также я хочу чтобы кто-то из слушателей узнал что-то новое о математике, начал использовать представленный мною метод. Мне необходимо раскрыть тему проекта и объяснить все понятным для каждого языком.

4. Методы исследования:

Методы исследования данного проекта – изучение и обобщение, а также анализ информации из учебной литературы и интернета. Можно еще добавить то, что я также использовал метод ал-Хорезми и на практике, при решении квадратных уравнений.

5. Объект исследования:

Метод выделения полного квадрата у ал-Хорезми и алгоритм решения, который использовал ал-Хорезми.

6. Практическая значимость:

Метод выделения полного квадрата ал-Хорезми можно применять и на практике, например, при решении квадратных уравнений. Но, есть проблема связанная с отрицательными числами, ведь метод ал-Хорезми не подразумевает работу с ними.  

2. Изложение материала:

В IX веке ал-Хорезми написал трактат, в котором он собственно и дал название алгебре (от «ал-джебр»). Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. В этом трактате он рассмотрел различные приемы решения уравнений:                                                                  1. «ал-джебр», то есть «восстановление», или же простым языком – перенос слагаемых.

2. «вал-мукабала», то есть «приведение», или же простым языком – отбрасывание слагаемых.                                                                                          С помощью этих приемов ал-Хорезми решал линейные и квадратные уравнения.                                                                                                                    В алгебраическом трактате ал – Хорезми также дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

 Ал - Хорезми избегал употребления отрицательных чисел, поэтому члены каждого уравнения слагаемые, а не вычитаемые, то есть, в своих уравнениях он рассматривал только действия сложения. При этом он заведомо не брал во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Ал-Хорезми любое линейное или квадратное уравнение всегда приводил к одному из шести видов уравнений, которые он знал, а затем решал его, используя приемы ал-джебр и ал-мукабала.

 Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

 Например, уравнение x2+12x-40=2x-1 ал-Хорезми решил бы следующим образом:

1. Применил бы «ал-джебр» (перенес бы «вычитание» из одной части уравнения в другую) и получил бы x2+12x+1=2x+40;

2. Применил бы «вал-мукабала» (отбрасывая из каждой части уравнения 1 и 2x) и получил бы x2+10x=39.

При решении уравнения x2+10x=39 в своем трактате «Китаб ал-джебр вал-мукабала» ал-Хорезми приводит фактически геометрическую иллюстрацию вывода формулы корней квадратного уравнения методом выделения полного квадрата.

Ал-Хорезми рассуждал так: площадь большого квадрата равна (x+5)2. Эта площадь складывается из площади закрашенной фигуры, равной x2+10x (что соответствует левой части уравнения) и площади четырех квадратов со сторонами 5/2 (пять вторых), равной 25. Значит, (x+5)2=39+25, откуда x+5=8 (значение x+5=-8 в то время не рассматривалось) и, значит, x=3.                                             

Также, в трактате ал-Хорезми есть такая задача:

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так:

1. Раздели пополам число корней (получишь 5);

2. Умножь пять на само себя и отними от полученного 21 (получишь 4);

3. Извлеки корень из 4 (получишь 2) и отними 2 от 5 , получишь 3, это и будет корень!(Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень).

3. Вывод:

Я рассказал слушателям о том, как ал-Хорезми решал линейные и квадратные уравнения и убедился в том, что его методы действительно работают и их можно использовать на практике, даже несмотря на то, что у них есть недостаток, связанный с тем, что ал-Хорезми не употреблял отрицательных чисел в своих решениях.

4. Список Литературы:

1. Учебник по Алгебре: 8 класс. Авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин (изд. Просвещение, 2012 год).                                   2. Сайт «Студопедиа» - https://stydopedia.ru/2xac91.html

5. Приложением:

Приложением к моему проекту является презентация на тему «Метод выделение полного квадрата у ал-Хорезми»