Применение графов в повседневной жизни

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа № 7 им. Д. М. Карбышева» МО ГО «Охинский»

Математика

ТЕМА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ

«ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФОВ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ»

Автор:

Гайфуллина Амина Ринатовна

Ученица 10 класса «Б»

Научный руководитель:

Ханжина Елена Алексеевна,

учитель математики

Оха 2018г.

Содержание

Введение

При подготовке к различным мероприятиям, связанным с математикой, довольно часто сталкиваешься с проблемой выбора метода решения той или иной задачи. Хочется найти такой способ, чтобы он не только помогал решить задачу, но и был интересным и легко запоминаемым.

Изучая различные способы решения задач, наталкиваешься на графический способ, который содержит в себе метод, основанный на теории графов.

Актуальность этого исследования очевидна, так как графы эффективно используются  в различных науках и сферах деятельности человека. Теория графов быстро развивается и  находит все новые приложения.

Цель работы – выяснить, как при помощи графов можно решать математические задачи и выявить их роль в окружающем нас мире.

Объектом исследования является метод графов.

Предметом исследования - основные понятия, термины, учащиеся 5 класса.

Для достижения своей цели, я определила ряд задач:

• выявить новые методы решения математических задач;
• выявить роль «метода графов» в окружающем нас мире;
• провести собственные исследования.

Таким образом, появилась гипотеза: «С помощью графов можно решать задачи не только школьного уровня, но и задачи повседневной жизни»

Методы исследования: поисковый метод, исследовательский метод, практический метод.

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и их применение в повседневной жизни. Граф - это геометрическая фигура, состоящая из точек и линий, их соединяющих. Точки называются вершинами, а линии – ребрами графа. Граф называется полным, если каждые две различные вершины его соединены одним и только одним ребром. В полном графе каждая его вершина принадлежит одному и тому же числу ребер. Для задания полного графа достаточно знать число его вершин. Граф, не являющийся полным, можно преобразовать в полный с теми же вершинами, добавив недостающие ребра.

Исследовательская часть.

1. Графы в медицине

Известно, что у разных людей кровь отличается по группе. Существуют четыре группы крови. Оказывается, что при переливании крови от одного человека к другому не все группы совместимы.

Граф на рис.1 показывает возможные варианты переливания крови. Группы крови – это вершины графов с соответствующими номерами, а стрелки указывают на возможность переливания одной группы крови человеку с другой группой крови. Из графа видно, что кровь 1-й группы можно переливать любому человеку, а человек с 1-й группой крови воспринимает кровь только своей группы.

Видно также, что человеку с 4-й группой крови можно переливать любую, но его собственную кровь можно переливать только в ту же группу. В настоящее время при необходимости перелить кровь больному человеку, стараются подобрать кровь той же группы, однако в экстренных случаях надо иметь в виду эту схему.

2.  Графы в экономике

В последнее время все чаще наблюдается проникновение математики в разные сферы и отрасли многих наук. Этот процесс затронул и экономическую сферу. Для нахождения кратчайшего или объездного пути, рационального маршрута передвижения, для оптимизации производственного цикла применяется теория графов.

В экономической сфере задачи теории графов применяются для принятия более оптимальных решений на каждом этапе, причем конечное решение также окажется оптимальным (рис.2).            

3.  Графы в архитектуре

К настоящему времени возникла устойчивая область взаимодействия архитектуры и математики, имеющая при этом довольно четкую структуру: определенный круг задач градостроительства и объемной архитектуры, решаемых определенными математическими методами из теории графов.

На рис.3 (а,б)  представлены два плана квартир проектируемого современного жилого дома, финальная корректировка которых будет произведена на основе моделирования.

4. Графы в астрономии.

    Чтобы выделить отдельные созвездия из общего «звездного хаоса», первые астрономы условно соединили наиболее яркие звёзды линиями (построили графы). Всё множество видимых звёзд разделилось на отдельные группы – созвездия (рис.4 и 5). Если граф ассоциировался с каким-либо знакомым объектом, то созвездию давалось соответствующее название.

5. Моё исследование

В каждой школе имеется школьный психолог, который должен знать о взаимоотношениях между собой в каком-нибудь классе и, чтобы представить более детальную и наглядную картину отношений, сложившихся в классе, можно получить, построив специальные диаграммы, называемые социограммами. Чаще строятся так называемые социограммы – мишени, учитывающие статистическую значимость количества полученных выборов. Испытуемые, получившие достоверно большее, чем у других, количество выборов, располагаются в центре социограммы – «звезды». Индивиды, количество выборов которых не достигает верхней границы, находятся внутри социограммы – «предпочитаемые»; если количество выборов равно или меньше нижней границы - «игнорируемые»; если выборы отсутствуют, то – «изолированные» – располагаются в пределах самой большой окружности.

Цель исследования: выявить лидеров и «ведомых» детей в 5 «Г» классе.

Ход исследования:

I этап. Опрашиваемым предложены 3 вопроса по следующим критериям:

- деловой критерий: «С кем из одноклассников ты больше всего хотел бы сидеть за одной партой?»;

- коммуникативный критерий: «С кем из одноклассников ты больше всего хотел бы общаться на перемене?»;

- эмоциональный критерий: «Кого из одноклассников ты больше всего хотел бы пригласить на свой день рождения?».

Ученики и ученицы из 5 «Г» ответили на вопросы и я получила следующие результаты.

II этап. В этом опросе участвовали 20 человек из 5 «Г» класса:

Результаты выбора приведены в таблице (Приложение 1).

III этап. Изучив данный материал, я применила всё на практике и результаты исследуемых вывела на этой социограмме. Анализируя полученные результаты теста в 5 «Г» классе, можно сделать вывод, что 2 человека (№ 7 и № 13) имеют высокий уровень мотивации одобрения, что говорит о их стремлении выглядеть как можно лучше в глазах окружающих, и о предпочтении соответствовать социально желательным формам поведения.

Средний же уровень мотивации одобрения, обнаруженный у 6 испытуемых, свидетельствует о сбалансированном отношении к мнению о самом себе со стороны окружающих.

В результате проведённого исследования выяснилось, что низкий уровень мотивации одобрения, выявленный у 12 испытуемых, говорит об отсутствии стремления выглядеть как можно лучше в глазах окружающих.

Число концентрических окружностей, из которых состоит социограмма – мишень, обычно соответствует максимальному количеству выборов, полученных в данной группе кем-либо из её членов. На примере социограммы – мишени (Приложение 2)  мы можем убедиться в том, что в данной гипотетической группе максимальное число полученных выборов равняется 6.

Это - то число выборов, которые получили лидеры в группе. Они условно показаны на социограмме в центральной окружности. Остальные участники группы располагаются на социограмме – мишени на периферии в пределах тех окружностей, которые соответствуют числу полученных ими выборов. От центра к периферии это число уменьшается. Наконец, за пределами всех окружностей, имеющихся на социограмме – мишени, располагаются те члены, которых не выбрал никто. Это – изолированные от остальных участники группы, не имеющие положительных взаимоотношений с другими членами. Эту работу практически выполняет каждый психолог, который хочет рассмотреть взаимоотношения между одноклассниками или группами людей. Значит, с помощью графов можно выявить все нужные результаты.

Заключение

В ходе изучения данной темы я приобрела  новые знания и новые методы решения задач, значение которых очень важно в различных направлениях. В своей работе я показала применение графов в мире в целом и их значение в той или иной области. Также, на основе изученного материала была проделана исследовательская работа, в которой используются графы.

В результате исследования были решены определенные мною задачи:

• выявила новые методы решения математических задач;
• исследовал роль «метода графов» в окружающем нас мире;
• провел собственные исследования.

Моя цель была достигнута, значит гипотеза «С помощью графов можно решать задачи не только школьного уровня, но и задачи повседневной жизни» подтвердилась.

На основании проделанной работы можно сделать выводы:

• Теория Графов очень актуальна среди людей.
• Теория Графов встречается во многих средах жизни.

Анализируя всё выше сказанное можно увидеть большую актуальность теории графов.

Список литературы

1. Засенок, В. П. Графы в математике и в жизни: программа интеллектуального развития учащихся: выпуск 6 / Инновационно-образовательный центр - М.,1997.
2. Касьянов, В. Н. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003.
3. Березина, Л. Ю. Графы и их применение. - Москва, «Просвещение», 1979.
4. Е.В. Галкин. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера . Книга для учащихся 5-11 классов. “Просвещение” – “Учебная литература” Москва 1996.
5. Литвинова С.А., Куликова Л.В., Шиловская С.В., Тараева Г.Ю. За страницами учебника математики. 8-11 классы. Издательство «Панорама» 2006 г.
6. О.И.Мельников. Незнайка в стране графов. М.: КомКнига,2006.
7. Энциклопедический словарь юного математика.  Москва, Педагогика, 1985г.

Приложение 1

Результаты выбора учащихся

Приложение 2